В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются в точке известно что найдите

В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются в точке известно что найдите

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

Заметим, что отрезок AC виден из точек K и M под углом 90°, поэтому точки М, К, С и А лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок АС. Аналогично, точки M, K, H, E лежат на окружности, диаметром которой является MK.

Пусть Тогда так как они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того, так как они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. Так как прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и AC секущей OA. Это и требовалось доказать.

б) Используем подобие треугольников:

кроме того, поэтому тогда EH =

Тем самым искомое отношение длин сторон равно 3:4.

Приведем другое решение пункта б).

Пусть КС = 2x, тогда из треугольника KHC находим HC = X, из ΔOKC: ∠KOC = 30°, тогда OC = 4x, откуда

В силу подобия ΔOEH и ΔОАС получаем:

Приведем решение Александра Шевкина (Москва).

а) Построим вспомогательную окружность с диаметром MK. Она пройдёт через точки E и H, так как

Построим вспомогательную окружность с диаметром AC. Она пройдёт через точки M и K, т. к.

По свойству вписанных углов а значит, А это соответственные углы при прямых ЕН и АС и секущей AE. Из равенства этих углов следует параллельность прямых ЕН и АС, что и требовалось доказать.

б) Прямая MK, проходящая через основания высот треугольника ABC, отсекает треугольник KMB, подобный треугольнику ABC. Коэффициент подобия равен

Рассмотрим треугольники MOK и EOH. Они подобны по двум углам: (свойство вписанных углов), (вертикальные). Коэффициент подобия равен

Умножив полученные равенства

и

найдём отношение оно равно

Ответ:

Приведем решение Софии Николенко (Москва).

а) Пусть высоты АК и СМ пересекаются в точке О. Рассмотрим треугольник AMO. В нем ME является высотой, проведенной к гипотенузе, поэтому треугольники AME и OME подобны, а углы MAE и OME равны. Пусть эти углы равны α, тогда ∠MOE = 90° − α. Углы KOH и MOE равны 90° − α, тогда угол OKH равен α. Углы EMO и OKH равны так как опираются на одну дугу EH, таким образом, четырехугольник EMKH можно вписать в окружность.

Четырехугольник AMKC также можно вписать в окружность с диаметром AC. Углы KAC и KMC равны, углы KEH и KMC тоже равны, поэтому угол KEH равен углу KAC. Углы KEH и KAC являются соответственными при пересечении прямых EH и AC секущей AO. Таким образом, прямые EH и AC параллельны.

б) Рассмотрим треугольник AMO, пусть ME = x, тогда

Отсюда

Рассмотрим треугольник AME, в нем:

Треугольники AOC и EOH подобны по двум углам. Значит, откуда

Источник

В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются в точке известно что найдите

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

Источник

В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются в точке известно что найдите

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC₁ и медиану AA₁. Оказалось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

а) Угол AC₁C равен 90°, следовательно, угол AA₁C равен 90°, так как AC — диаметр окружности. Тогда AA₁ — высота и медиана треугольника ABC. Таким образом, отрезки AB и AC равны, что и требовалось доказать.

б) Треугольники ABA₁ и CBC₁ подобны по двум углам, следовательно, Так как C₁A₁ медиана в прямоугольном треугольнике BC₁C, то

Вычислим площадь равнобедренного треугольника ABC, боковые стороны которого равны 16, а основание BC = 12

Ответ:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ=10 и

а) Рассмотрим окружность с диаметром AC. Углы APC и AQC — прямые, а значит являются вписанными опирающимися на диаметр AC. Значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

А разве не получается

Ведь

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.

а) Докажите, что углы АКР и ABP равны.

б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB = 5, BC = 6, CA = 4.

\sqrtа) Заметим, что точки K и P лежат на окружности с диаметром AB (поскольку Поэтому четырехугольник APKB вписанный и поскольку они опираются на одну дугу.

б) Из вписанности получаем поэтому треугольники CPK и CBA подобны по двум углам, так как угол C общий. Вычислим коэффициент подобия.

По теореме косинусов, в треугольнике ABC имеем: поэтому Следовательно, по определению косинуса из треугольника AKC. Это и есть коэффициент подобия. Окончательно:

Ответ:

В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18,площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна

а) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.

б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

а) Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC (поскольку ). Тогда по свойству вписанного четырехугольника (AQPC) имеем:

поэтому треугольники BQP и BCA подобны по двум углам (угол B у них общий).

б) По условию поэтому они подобны с коэффициентом в частности Пусть Тогда:

аналогично Далее: аналогично Теперь напишем теорему Пифагора для треугольников APC и

Вычитая эти уравнения, получим:

Возможны два случая.

1. Имеем: Сокращая на получим откуда Тогда:

откуда и

2. Имеем: Тогда из начальных уравнений получим:

Если взять то треугольник ABC получится тупоугольным, поскольку

Значит, Но тогда площадь ABC равна:

поэтому такой случай также невозможен. Это может показаться странным, ведь мы учли все условия с перпендикулярностью. Однако условие о том, что в этой системе не учитывалось никак, например.

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁ и CC₁ пересекаются в точке О.

А) Докажите, что треугольники AOC и C₁OA₁ подобны.

Б) Найдите площадь четырехугольника ACA₁C₁, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.

а) Поскольку точки и лежат на окружности с диаметром AC. Тогда по следствию теоремы о вписанном угле и поэтому указанные треугольники подобны по двум углам.

б) Заметим, что из вписанности четырехугольника следует, что аналогично поэтому треугольники BAC и BA₁C₁ подобны с коэффициентом подобия поэтому их площади относятся как Значит,

В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АН₁ и СН₂, затем провели луч НМ, который пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точке К, где М — середина АС, а Н — точка пересечения высот.

а) Докажите, что НМ = МК.

б) Найдите площадь треугольника ВСК, если AC = 1.

Пусть К₁ — точка на луче НМ такая, что НМ = MK₁, тогда четырехугольник СНАК₁ — параллелограмм, поскольку его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Так как СНАК₁ — параллелограмм, углы АК₁С, АНС и АКС равны. Но это невозможно, поскольку если К₁ лежит вне окружности и если К₁ лежит внутри окружности. Значит, точки К и К₁ совпадают, откуда следует, что НМ = МК.

б) Пусть четырехугольник АКСН — параллелограмм. Тогда прямые СК и АН параллельны, поэтому угол КСВ прямой. Углы КВС и КАС вписаны в окружность и опираются на одну дугу, поэтому они равны. Прямые АК и СН параллельны, тогда значит, треугольник КСВ — равнобедренный и прямоугольный. Отрезок ВК является диаметром окружности, поэтому

Найдем площадь треугольника ВСК:

Ответ: б)

В остроугольном треугольнике ABC высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B₁C₁ = 12 и

а) Точки A, C₁, H, B₁ лежат на окружности с диаметром AH. Углы С₁AH и C₁B₁H равны как вписанные, значит, углы тоже BAH и BB₁C₁ тоже равны. Что и требовалось доказать.

б) Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, D — середина стороны BC. Требуется вычислить длину отрезка OD. Заметим, что Поэтому треугольники AB₁C₁ и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, коэффициент подобия равен Значит, BC = 2B₁C₁ = 24, BD = 12.

Угол BOС равен удвоенному углу BAC, то есть 120°. Следовательно, угол OBD равен 30°. Найдем искомое расстояние:

Ответ: б)

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.

А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

А) Рассмотрим прямоугольные треугольники AMB и CNB, у которых В — общий острый угол.

В ΔAMB: В ΔCNB: Откуда:

Итак, в треугольниках MNB и ACB: угол В, заключенный между пропорциональными сторонами, общий. Это значит, что ΔMNB

ΔACB, откуда ∠ACB = ∠MNB, что и требовалось доказать.

Б) Известно, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны. Следовательно,

где k — коэффициент подобия названных треугольников.

Если то непременно По следствию из теоремы синусов:

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.

а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.

б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.

а) Пусть в и — прямоугольные с общим острым углом

б) По свойству секущей и касательной и откуда

Треугольники KMC и АВС подобны: действительно, угол C у них общий, далее, а тогда наконец, углы MEF и MKC равны как вписанные, опирающиеся на дугу MF. Тогда а это соответственные углы при прямых EF и AB, которые пересекает секущая AC. Тем самым, данные прямые параллельны, и Подставляя полученное соотношение в равенство (1), находим:

Далее, и — прямоугольные, Полагая PN = x, получаем:

Наконец, и также прямоугольные, Отсюда находим, что

Разделив (3) на (4) получим Подставляя (2), получим уравнение Его единственным решением является

Источник