В остроугольном треугольнике проведены высоты докажите что треугольники подобны

07.09.202310.09.2023 admin 0 Comments

В остроугольном треугольнике проведены высоты докажите что треугольники подобны

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

Поскольку угол ACB тупой, основания высот A₁ и B₁ будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырёхугольника AA₁B₁B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA₁B и AB₁B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырёхугольника AA₁B₁B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A₁A. Аналогично, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

Укажем общую теорему.

Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.

Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.

Приведем решение Романа Решетилова.

Углы ACB и A₁CB₁ равны как вертикальные, следовательно, треугольники A₁CB₁ и ACB подобны по отношению двух сторон, заключающих равные углы.

Источник

В остроугольном треугольнике проведены высоты докажите что треугольники подобны

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.

А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

А) Рассмотрим прямоугольные треугольники AMB и CNB, у которых В — общий острый угол.

В ΔAMB: В ΔCNB: Откуда:

Итак, в треугольниках MNB и ACB: угол В, заключенный между пропорциональными сторонами, общий. Это значит, что ΔMNB

ΔACB, откуда ∠ACB = ∠MNB, что и требовалось доказать.

Б) Известно, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны. Следовательно,

где k — коэффициент подобия названных треугольников.

Если то непременно По следствию из теоремы синусов:

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

Получен обоснованный ответ в пункте б.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Источник

В остроугольном треугольнике проведены высоты докажите что треугольники подобны

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Прямые B₁C₁ и BC пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники PBC₁ и PB₁C подобны.

б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB₁, ∠ABC = 80°, а точка B лежит между C и P.

а) Точки B, C, B₁, C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому сумма углов BCB₁ и BC₁B₁ равна 180°. Отсюда следует равенство углов PC₁B и PCB₁. А тогда треугольники PC₁B и PCB₁ подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Заметим, что треугольник PBB₁ равнобедренный, поэтому углы BPB₁ и BB₁P равны. А углы HB₁C₁ и HAC₁ опираются на одну и ту же дугу окружности, построенной на AH как на диаметре, поэтому они тоже равны. Последний же угол, как легко видеть равен Теперь получаем, что угол PBB₁ равен Угол ABB₁ же тогда равен откуда

Заметим теперь, что

поэтому треугольники AB₁C₁ и ABC подобны с коэффициентом Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен Диаметры описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому Отсюда AH = 6.

Источник

В остроугольном треугольнике проведены высоты докажите что треугольники подобны

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен