В модели в леонтьева предполагается что

Модель затраты-выпуск Леонтьева

Вы будете перенаправлены на Автор24

Модель «затраты-выпуск» Леонтьева – это метод систематического количественного представления экономических связей между секторами системы хозяйствования.

Задачи межотраслевого баланса

Впервые идея изучения и анализа связей между отраслями экономики была предложена советскими статистиками-экономистами в процессе составления баланса народного хозяйства за 1923-24 год. Предложенный баланс содержал информацию о связях ключевых экономических отраслей и направления использования продукции в производстве.

Научная актуальность и перспективность анализа межотраслевых связей была осознана выпускником Санкт-Петербургского университета В. В. Леонтьевым.

Межотраслевой баланс выполняет следующие задачи:

Сущность модели «затраты-выпуск» Леонтьева

Рассмотрим ключевые положения модели «затраты-выпуск» Леонтьева.

Как правило используются укрупненные показатели. Леонтьев составил для США межотраслевой баланс 1919 года и рассматривал 44 отрасли. В 1947 году был составлен баланс из 40 отраслей. В настоящее время большинстве случае используется баланс, состоящий из 600-700 отраслей.

На рисунке 1 представлена модель «затраты-выпуск».

Готовые работы на аналогичную тему

Строки и столбцы баланса содержат одинаковые отрасли. В строках отображаются выпуск продукции и ее конкретные потребители, а в столбцах – затраты на ее производство. данная система называется моделью Леонтьева «затраты-выпуск».

При пересечении отраслей-покупателей ($j$) и отраслей-продавцов($i$) образуются промежуточный спрос и затраты, т.е. производительное потребление произведенной продукции.

Другими словами, затраты и выпуск для каждой отрасли должны быть одинаковыми.

Каждая отрасль как по затратам, так и по выпуску содержит две принципиально разные части. Рассмотрим эти части по горизонтали. Строки отражают конкретные отрасли и лиц, которые потребляют данную продукцию. В данном примере все отрасли потребляют электроэнергию.

Первый сектор по горизонтали характеризует внутрипроизводительное потребление ($U$).

Как и строки, столбцы содержат две принципиально разные части. К первой части относятся промежуточные расходы, отражающие структуру использования ресурсов в экономике страны в целом, т.е. ресурсные потоки, их назначение и т.д.

Ко второй части столбцов относятся собственные затраты всей отрасли на производство данных товаров. Эти затраты включают заработную плату, амортизацию, прибыль и налоги. Из собственных затрат образуется добавленная стоимость, сумма которой по всем отраслям экономики – это ВВП.

Рассмотрим более подробно затраты. При помощи межотраслевого баланса можно определить коэффициенты затрат трудовых, материальных и финансовых ресурсов.

Анализ данных коэффициентов дает возможность определить структурные сдвиги в экономике, а также показывает темпы развития конкретных отраслей. основываясь на анализе коэффициентов затрат выстраивается экономико-математическая модель.

Разные варианты решения проблем национальной экономики дают различные варианты экономического развития. На основе сравнения всех вариантов вырабатывается самая оптимальная модель роста экономики.

Модель «затраты-выпуск» выполняет статистическую и аналитическую функции.

Статистическая функция состоит в том, что система позволяет проверить согласованность экономической информации, характеризующей потоки производимой продукции.

Аналитическая функция выражается в возможности ее применения при анализе состояния, динамики процессов и моделировании вариантов экономического развития при изменении отдельных факторов. Именно с помощью симметричной модели «затраты-выпуск» Леонтьевым были разработаны методы анализа взаимосвязей выпуска продукции, первичных затрат и конечного спроса. Основу данного анализа составляет предположение о том, что затраты на изготовление продукции в течение конкретного временного периода являются величиной постоянной.

Значение модели Леонтьева для развития экономики

Значение исследований Леонтьева в сфере построения межотраслевых балансов состоит в объединении абстрактных схем математиков-экономистов с практическим решением задач оптимизации деятельности народного хозяйства.

С помощью метода Леонтьева был усовершенствован математический аппарат, статистика, эконометрика, система национальных счетов.

Теория межотраслевого баланса Леонтьева позволила:

Источник

2.5. Межотраслевая модель Леонтьева

Предположим, что рассматривается N отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции, произведенной отраслью, идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, за год). Введем следующие обозначения:

Xi – общий (валовой) объем продукции I-ой отрасли (I = 1, 2,… N);

Xij – объем продукции I-ой отрасли, потребляемой J-ой отраслью в процессе производства (I,J = 1, 2,… N);

Yi –объем продукции I-ой отрасли для непроизводственного (личного и общественного) потребления (I = 1, 2,… N).

Указанные величины можно свести в таблицу:

Так как валовой объем продукции любой I-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой всеми N отраслями, и конечного продукта, то должно выполняться соотношение

(I = 1, 2,… N),

Или, в сокращенной форме

(I = 1, 2,… N). (3.1)

Уравнения (3.1) (их N штук) называются Соотношениями межотраслевого баланса. Единицы измерения содержащихся в уравнениях (3.1) величин могут быть натуральными и для каждого уравнения свои (кубометры, тонны, штуки и т. п.). Но они могут быть и универсальными (стоимостными). В зависимости от этого различают Натуральный И Стоимостной межотраслевые балансы. Для определенности рассмотрим далее стоимостной баланс (все величины, входящие в уравнения (3.1), выражены в рублях).

Введем Коэффициенты прямых затрат

(I = 1, 2,… N), (3.2)

Показывающие затраты I-ой отрасли на производство единицы продукции J-ой отрасли. То есть Aij – стоимость продукции отрасли I, вложенной в 1 рубль продукции отрасли J. Так как эти коэффициенты зависят в основном от существующей технологии производства в производящих отраслях, а эта технология меняется достаточно медленно и за рассматриваемый относительно короткий период времени может считаться неизменной, то их можно считать постоянными. Это означает линейную зависимость объема Xij продукции I-ой отрасли, потребляемой J-ой отраслью, от валового объема Xj J-ой отрасли:

(I = 1, 2,… N). (3.3)

Построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название Линейной, или модели Леонтьева (американский экономист русского происхождения, лауреат Нобелевской премии по экономике).

С учетом линейных соотношений (3.3) равнения межотраслевого баланса (3.1) примут вид:

(I = 1, 2,… N). (3.4)

; ; , (3.5)

Где А – так называемая матрица прямых затрат, X – матрица-столбец валового выпуска, Y – матрица-столбец конечного продукта. Тогда систему (3.4) N линейных уравнений с N неизвестными (X1; X2; …Xn) можно записать в матричном виде:

(3.6)

Система (3.6) представляет собой математическую формулировку модели Леонтьева межотраслевого баланса в матричной форме. А задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такой матрицы-столбца валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор-столбец конечного продукта Y.

В соответствии с экономическим смыслом задачи искомые элементы столбца X должны быть неотрицательны при любых неотрицательных значениях YI и AIj (I = 1, 2,… N). В таком случае модель Леонтьева называется Продуктивной.

Существует несколько различных по форме Критериев продуктивности модели Леонтьева. Один из них формулируется так (доказательство опускаем): если максимум сумм элементов столбцов матрицы A прямых затрат не превосходит единицы, то есть если

(3.7)

И существует номер J такой, что эта сумма строго меньше единицы

, (3.8)

То модель Леонтьева (3.6) (или, что одно и то же, (3.4)) является продуктивной. Отметим, что условия (3.7) и (3.8) естественны, так как они имеют наглядный экономический смысл. Действительно,

– (3.9)

– это доля, которую составляет суммарная стоимость продукции всех отраслей, вложенная в продукцию J-ой отрасли, по отношению к общей стоимости продукции J-ой отрасли. И эта доля для любой отрасли, естественно, не должна превосходить единицу. А точнее, для рентабельной отрасли должна быть меньше единицы, ибо общая стоимость Xj продукции J-ой отрасли включает в себя и другие затраты – стоимость рабочей силы, амортизацию основных фондов и т. д., а также прибыль, получаемую отраслью от продажи продукции.

Пример 1. В таблице ниже содержатся данные баланса промышленности и сельского хозяйства в некотором регионе за некоторый период (в миллиардах рублей):

Источник

Модель Леонтьева

Статическая линейная модель многоотраслевой экономики. Модели определения оптимального плана предприятия, относящегося к задачам целочисленного программирования. Предпочтения потребителя и его функция полезности. Уравнение Слуцкого. Модель Солоу.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Статистические модели экономики

1.1 Модель Леонтьева

Рассмотрим статическую линейную модель многоотраслевой экономики. В основе модели лежат следующие предположения:

— в экономической системе производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов;

— каждая отрасль является «чистой», т.е. производит только один продукт, совместное производство различных продуктов исключается. Различные отрасли выпускают разные продукты;

— под производственным процессом в каждой отрасли понимается преобразование некоторых (возможно, всех) типов продуктов в определенный продукт. При этом соотношение затраченного продукта и выпускаемого предполагается постоянным. Таким образом, если для производства единицы j-го продукта надо затратить а_ij единиц i-го продукта, то выпуск л единиц j-го продукта потребует л а_ij единиц i-го продукта.

Итак, независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат предполагаются постоянными.

Валовой выпуск i-го продукта за год х_i распадается на две части: на производственное потребление во всех отраслях и на конечное (непроизводственное) потребление.

Если приравнять чистый выпуск каждого i-го продукта и конечный спрос на него y_i, то образуется система уравнений:

которая и составляет модель Леонтьева.

Конечный спрос и состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций. Однако в самой модели величины у_i мыслятся как экзогенно заданные. Поэтому при заданных у_i, i = 1,…, n, n линейных уравнений модели Леонтьева позволяют определить n отраслевых выпусков х_i, i = 1,…, n.

Таким образом, сущность метода Леонтьева состоит в определении валового выпуска отраслей по заданному экзогенно конечному спросу на основе данных о технологических возможностях, воплощенных в расходных коэффициентах а_ij. Разумеется, по этим же уравнениям может быть решена и обратная задача: по заданным валовым выпускам определяются объемы конечного спроса y_i на каждый продукт.

Величины х_i, у_i: могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостный межотраслевые балансы.

Квадратная матрица D называется неотрицательно обратимой, если D невырождена и ее обратная матрица неотрицательна.

Система (1.2) может быть записана в матричной форме:

Обозначим через N множество номеров отраслей

N = <1, 2,…, n>. Подмножество отраслей S изолировано, если а_ij= 0

Технологическая матрица называется неразложимой, если ее нельзя путем перестановок строк и столбцов привести к виду (1.6). Неразложимость А означает, что каждая отрасль хотя бы косвенно использует продукцию всех отраслей.

1. Неразложимая матрица А имеет положительное собственное число _A>0, которое превосходит модули всех остальных собственных чисел.

2. Собственному числу _A отвечает единственный собственный вектор х_A (с точностью до скалярного множителя), все координаты которого ненулевые и имеют один знак (т.е. его всегда можно выбрать положительным за счет скалярного множителя).

Рассмотрим математическое равенство, которое легко проверить, если раскрыть скобки в левой части:

т.е. модель Леонтьева продуктивна.

1.2 Модели определения оптимального плана предприятия, относящегося к задачам целочисленного программирования

Более целесообразно целочисленное программирование было бы назвать дискретным программированием. Это есть часть математического программирования, занимающаяся исследованием экстремальных задач на целочисленных решетках и конечных множествах. В терминах дискретного программирования формализуются многие важные задачи экономики, управления, планирования, проектирования, а так же ряд других задач, например: размещение и специализация предприятий; оптимизация комплекса технических средств доставки грузов; важные сельскохозяйственные задачи и т.д.

Рассмотрим задачу математического программирования, в которой требуется, чтобы все переменные принимали целые неотрицательные значения.

Максимизировать линейную функцию

Симплекс-метод приводит непосредственно к целочисленному решению лишь для немногих задач. В общем же случае требуются специальные методы, заключающиеся в подборе дополнительных линейных ограничений к системе ограничений (1.10), обеспечивающих целочисленность решения.

Один из таких методов, приводящий к целочисленному решению за конечное число шагов, предложен Р.Е. Гомори.

Предположим, что задача линейного программирования имеет многоугольник (многогранник) допустимых решений.

Рис. 1.1. Многоугольник (многогранник) допустимых решений

Если наложить требование целочисленности, то допустимое множество решений вырождается в систему точек и уже в общем случае не является выпуклым. Если добавить новые ограничения, связывающие внешние целочисленные точки, а затем в качестве многоугольника (многогранника) решений использовать все выпуклое множество, то получим новую задачу линейного программирования со следующими свойствами:

— новый многоугольник решений содержит все целые точки, заключавшиеся в первоначальном многоугольнике (многограннике) решений; любая угловая его точка является целой;

— так как линейная функция достигает оптимума в угловой точке многоугольника (многогранника) решений, то построением такого многоугольника и обеспечивается целочисленность оптимального решения.

Решение поставленной задачи ведем симплексным методом без учета требования целочисленности. Если оптимальный план целочисленный, то вычисления заканчивают; если же в оптимальном решении такой задачи хотя бы одна компонента не будет целым числом, то вводятся дополнительные ограничения и процесс решения продолжается.

Предположим, что, максимизируя (1.9) при условиях (1.10) и (1.11) без учета требования целочисленности переменных мы пришли к оптимальному решению с предпочитаемым эквивалентом системы ограничений (1.10) вида:

Пусть правые части f_i некоторых уравнений оказалиcm дробными. Выберем одну из них, например f₁. Каждый коэффициент е_1j при неизвестной в соответствующем уравнении системы и свободный член f₁ представим в виде суммы целой части и правильной неотрицательной дроби

помня, что целой частью любого числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного числа. Тогда соответствующее уравнение системы можно записать:

Вычитая из левой части новую неотрицательную неизвестную х_n+1, заменим неравенство (d) уравнением:

1.3 Предпочтения потребителя и его функция полезности

Одним из важных понятий экономической теории является домашнее хозяйство (потребитель). Главная проблема при изучении поведения потребителя заключается в том, чтобы установить, в каких объемах он приобретет наличные товары и услуги при заданных ценах и доходе.

— набор х предпочтительнее у;

— набор x менее предпочтителен, чем;

Отношения предпочтения обладают, по крайней мере следующими свойствами:

2) если х > у, то (ненасыщаемостъ; больший набор всегда предпочтительнее меньшего).

Введение функции полезности позволяет заменить отношения предпочтения привычными отношениями между числами: больше, меньше, равно.

В теории потребления предполагается, что функция полезности обладает следующими свойствами:

— с ростом потребления блага полезность растет;

— небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность;

— с ростом потребления блага скорость та полезности замедляется;

— при очень большом объеме блага его дальнейшее увеличение не приводит к увеличению полезности.

Условие 3 обычно используется в более расширительной трактовке: матрица вторых производных (матрица Гессе)

Предельной, полезностью товара называется предел отношения приращения полезности к вызвавшему этот прирост приращению товара:

таким образом, предельная полезность показывает, насколько возрастает полезность, если товар возрастет на малую единицу.

Поверхностью безразличия называется гиперповерхность размера (n-1), на которой полезность постоянна:

или в дифференциальной форме:

Условие (1.18) означает, что касательная к поверхности безразличия перпендикулярна градиенту полезности.

С точки зрения потребителя наличие множества наборов товаров, обладающих одинаковой полезностью (т.е. одинаковой степенью предпочтения), означает возможность замены одного набора другим равноценным набором, в том числе возможность замены одного товара другим.

Пусть в соотношении (1.18) dx_i = 0 для i = 3,…, n, тогда это соотношение примет вид

т.е. предельная норма замены первого товара вторым равна отношению предельных полезностей первого и второго товаров. Норма замены показывает, сколько требуется единиц второго товара, чтобы заменить выбывшую малую единицу первого товара.

Бюджетным множеством называется множество тех наборов товаров, которые может приобрести потребитель, имея доход М:

Модель поведения потребителя

Необходимые условия локального экстремума:

эти условия действительно определяют точку максимума, поскольку матрица U отрицательно определена.

Из (1.22) видно, что потребитель при фиксированном доходе так выбирает набор x*, что в этой точке отношения предельных полезностей равны отношениям цен:

Если разрешить (1.21), (1.22) относительно х*, получим функцию спроса потребителя:

Рассмотрим, как изменится спрос потребителя, определяемый моделью (1.20), если изменится цена одного из товаров.

Пусть цена n-го товара возросла на dр_n, тогда согласно (1.23) спрос на каждый товар изменится следующим образом:

Непосредственной проверкой можно установить, что обратная матрица к матрице уравнений (1.25) имеет вид:

Поэтому решение уравнений (1.25) в матричной форме выглядит так:

2. Динамические модели экономики

Состояние экономики в модели Солоу задается следующими пятью эндогенными переменными:

Кроме того, в модели используются следующие экзогенные (заданные вне системы) показатели:

Экзогенные параметры находятся в следующих границах:

Предполагается, что эндогенные переменные изменяются во времени (аргумент t опущен, но присутствует по умолчанию). Экзогенные показатели считаются постоянными во времени, причем норма накопления является управляющим параметром, то есть в начальный момент времени может устанавливаться управляющим органом системы на любом уровне из области допустимых значений.

Предполагается, что годовой выпуск в каждый момент времени определяется линейно-однородной неклассической прозведенной функцией

Рассмотрим, как меняются ресурсные показатели за небольшой промежуток времени Согласно определению темпа прироста

Износ и инвестиции в расчете на год равны µК?t, I?t, поэтому прирост фондов за это время

откуда получаем дифференциальное уравнение

Инвестиции и фонд потребления следующим образом выражаются через ВВП:

Итак, получаем следующую запись модели Солоу в абсолютных показателях:

то запись модели Солоу приобретает форму в удельных показателях:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1. Структурная схема модели Солоу

Таким образом, каждый абсолютный или относительный показатель изменяется во времени, то есть можно говорить о траектории системы в абсолютных или относительных показателях.

Траектория называется стационарной, если показатели не изменяются во времени:

Как видно из формул (2.3), установленные фондовооруженности на постоянном уровне k E приводит к выводу на стационарную траекторию. На стационарной траектории поэтому

В модели рассматривается рынок одного товара. Время t считается непрерывным. Обозначим через совокупный спрос и предложение в момент t, а через цену товара в этот момент.

В модели постулируется, что спрос и предложение является линейными функциями цены:

(спрос с ростом цены убывает);

(предложение с ростом цены растет).

Кроме того, естественно считать (при нулевой цене спрос превышает предложение!).

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

Используя сделанные предположения, проходит к следующему дифференциальному уравнению относительно цены:

Это уравнение имеет стационарную (равновесную) точку

Из (2.2.) видно, что при при поэтому

Эти выводы получены без непосредственного решения уравнения (2.6). Разумеется, они будут точно такими же, если напрямую использовать решение этого уравнения

2.3 Динамическое программирование. Принцип Белмана

Введем некоторые обозначения и сделаем необходимые для дальнейшего предположения.

Задача состоит в нахождении оптимальной стратегии управления, т.е. такой совокупности управлений u* = (₎, в результате реализации которых система S за n шагов переходит из начального состояния х (0) в конечное х ( n ) и при этом функция дохода W(u) принимает наибольшее значение.

Принцип оптимальности Беллмана. Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы доход на данном шаге плюс оптимальный доход на всех последующих шагах был максимальный.

и соответствующие значения функции (2.10)

Перейдем теперь к рассмотрению функционального уравнения при k= n-2:

Последовательно осуществляя описанный выше итерационный процесс, дойдем, наконец, до первого шага. На этом шаге известно, в каком состоянии может находиться система. Поэтому уже не требуется делать предположений о допустимых состояниях системы, а остается лишь только выбрать управление, которое является наилучшим с учетом условно оптимальных управлений, уже принятых на всех последующих шагах.

Из изложенного видно, что этот процесс является довольно громоздким. Однако использование ЭВМ позволяет находить на основе метода динамического программирования решение и более сложных практических задач.

модель уравнение солоу полезность

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. «Математические методы моделирования экономических систем» М.: Финансы и статистика, 2001.

10. «Математические методы принятия решений в экономике». Под ред. Колемаева В.А.М.: ЗАО «Финстатинформ», 1999.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Общая характеристика макроэкономической модели многоотраслевой экономики В. Леонтьева. Рассмотрение особенностей построения структурной схемы с обратной связью. Знакомство с теориями автоматического управления. Способы настройки контура оценивания.

дипломная работа [2,7 M], добавлен 30.12.2013

Сущность и цель межотраслевого баланса экономики. Отыскание такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Уравнение соотношения баланса, а также матрица прямых затрат.

презентация [1,7 M], добавлен 24.03.2012

Классическая модель совокупного предложения и производственная функция. Кейнсианство и монетаризм. Модель экономического роста Солоу. Влияние запаса капитала на экономический рост. Золотое правило накопления как критерий максимизации уровня потребления.

курсовая работа [398,5 K], добавлен 24.01.2014

Анализ теории экономического роста. Неоклассические модели экономического роста (модель Солоу). Влияние технического и технологического прогресса на экономический рост. Истоки успешности и устойчивости экономической модели Швейцарии, опыт развития.

курсовая работа [70,0 K], добавлен 14.11.2010

Понятие экономического роста. Модели экономического роста Дж. М. Кейнса и Харрода-Домара. Теории «порочного круга нищеты» и перехода к «самоподдерживающемуся росту». Модель экономического роста с двумя дефицитами. Неоклассическая модель роста Р. Солоу.

курсовая работа [82,8 K], добавлен 16.04.2014

Решение задачи Стоуна для случая двух товаров. Условия минимизации расходов потребителя: обратная задача. Задачи Стоуна для случая трех товаров. Максимизация доходов и точка оптимума потребителя. Функция полезности и бюджетные ограничения полезности.

контрольная работа [87,5 K], добавлен 21.08.2008

Цикличность как общая форма экономической динамики. Виды циклов. Экологически безопасный рост. Неокейнсианская модель экономического роста Домара и Харрода. Производственная функция Кобба–Дугласа. Неоклассическая модель Солоу. Золотое правило накопления.

презентация [1,3 M], добавлен 23.08.2016

Источник