В модели марковица предполагается что

Составление инвестиционного портфеля по Марковицу для чайников

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление оптимального портфеля, то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

wi — доля инструмента в портфеле;

ri — доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции — меры взаимосвязи).

σi — стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij — коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij — ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n — количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности

Максимизируем доходность при заданном уровне риска

Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов — акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход — составление портфеля из нескольких американских акций. Для эффекта диверсификации возьмем представителей различных секторов — платежную систему VISA, ритейлера Macy’s, технологичного гиганта Apple и телеком AT&T.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Все эмитенты интересны, но для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая рыночные мультипликаторы, оценивать технические уровни для входа в позицию.
Этап 1. Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.06.2017 по 31.05.2018.
Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге. Для простоты не будем учитывать эффект дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность VISA за май 2018 = LN(C14/C13)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность VISA = СРЗНАЧ(G3:G14)

Получаем отрицательную доходность AT&T, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.
Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск VISA =СТАНДОТКЛОН(G3:G14)

Указываем окне входной интервал — ежемесячные доходности акций, а в опции «Группирование» выбираем «по столбцам».

В результате получаем ковариационную матрицу.

Этап 5. Расчет общей доходности портфеля. Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1.

Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой G15*G23+H15*H23+I15*I23

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(G23:I23;G20:I22); E20:E22))

Этап 7. Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,2%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню → «Данные» → «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры необходимо изменять (доли акций) и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В результате имеем портфель с 73% долей VISA и 27% долей Macy’s.

Визуально портфель выглядит так:

Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (σp). Возьмем σp 30

Последние новости

Рекомендованные новости

Главное за неделю. В ожидании Санты

Итоги торгов. Под конец сессии выкупили все снижение

IT-сектор США. Во что стоит инвестировать на 5 лет

Дивидендный портфель 2021. Подводим итоги

Ozon — затянутая «история роста»

Какие дивидендные прогнозы на 2021 сработали, а какие нет

Резкое падение цен на газ. Газовое ралли закончилось?

SoFi Technologies. Есть ли перспективы у популярного финтеха

Адрес для вопросов и предложений по сайту: bcs-express@bcs.ru

* Материалы, представленные в данном разделе, не являются индивидуальными инвестиционными рекомендациями. Финансовые инструменты либо операции, упомянутые в данном разделе, могут не подходить Вам, не соответствовать Вашему инвестиционному профилю, финансовому положению, опыту инвестиций, знаниям, инвестиционным целям, отношению к риску и доходности. Определение соответствия финансового инструмента либо операции инвестиционным целям, инвестиционному горизонту и толерантности к риску является задачей инвестора. ООО «Компания БКС» не несет ответственности за возможные убытки инвестора в случае совершения операций, либо инвестирования в финансовые инструменты, упомянутые в данном разделе.

Информация не может рассматриваться как публичная оферта, предложение или приглашение приобрести, или продать какие-либо ценные бумаги, иные финансовые инструменты, совершить с ними сделки. Информация не может рассматриваться в качестве гарантий или обещаний в будущем доходности вложений, уровня риска, размера издержек, безубыточности инвестиций. Результат инвестирования в прошлом не определяет дохода в будущем. Не является рекламой ценных бумаг. Перед принятием инвестиционного решения Инвестору необходимо самостоятельно оценить экономические риски и выгоды, налоговые, юридические, бухгалтерские последствия заключения сделки, свою готовность и возможность принять такие риски. Клиент также несет расходы на оплату брокерских и депозитарных услуг, подачи поручений по телефону, иные расходы, подлежащие оплате клиентом. Полный список тарифов ООО «Компания БКС» приведен в приложении № 11 к Регламенту оказания услуг на рынке ценных бумаг ООО «Компания БКС». Перед совершением сделок вам также необходимо ознакомиться с: уведомлением о рисках, связанных с осуществлением операций на рынке ценных бумаг; информацией о рисках клиента, связанных с совершением сделок с неполным покрытием, возникновением непокрытых позиций, временно непокрытых позиций; заявлением, раскрывающим риски, связанные с проведением операций на рынке фьючерсных контрактов, форвардных контрактов и опционов; декларацией о рисках, связанных с приобретением иностранных ценных бумаг.

Приведенная информация и мнения составлены на основе публичных источников, которые признаны надежными, однако за достоверность предоставленной информации ООО «Компания БКС» ответственности не несёт. Приведенная информация и мнения формируются различными экспертами, в том числе независимыми, и мнение по одной и той же ситуации может кардинально различаться даже среди экспертов БКС. Принимая во внимание вышесказанное, не следует полагаться исключительно на представленные материалы в ущерб проведению независимого анализа. ООО «Компания БКС» и её аффилированные лица и сотрудники не несут ответственности за использование данной информации, за прямой или косвенный ущерб, наступивший вследствие использования данной информации, а также за ее достоверность.

Источник

Что такое современная теория портфеля

Поиск оптимального способа распределения активов

Хоть теория и современная, первому ее упоминанию уже 70 лет.

В основе MPT лежит тезис о том, что риск и доходность взаимосвязаны. Это означает, что желание инвестора получить более высокую доходность непременно повышает уровень риска, а между двумя портфелями с одинаковой ожидаемой доходностью рационально выбирать менее рискованный вариант.

Под риском в теории понимается волатильность портфеля — то есть то, насколько изменчива его цена. Математически волатильность выражается через статистический показатель, который называется стандартным отклонением. Пример его расчета я приводил в статье про всепогодную стратегию.

MPT утверждает, что для каждого уровня риска есть соответствующая комбинация активов, которая максимизирует доход, — такой портфель называется оптимальным. Другая идея MPT заключается в том, что за счет диверсификации по различным классам активов можно сгладить волатильность портфеля. Таким образом, мы либо максимизируем доход при заданном уровне риска, либо минимизируем риск при целевой доходности.

Рассмотрим, как это работает.

Что такое эффективная граница

На диаграмме ниже представлена так называемая эффективная граница для портфелей, составленных из акций и среднесрочных казначейских облигаций в разных пропорциях.

Оптимальные портфели расположены на фиолетовой линии. Варианты выше нее недостижимы: не существует портфелей с таким отношением доходности к риску. А портфели ниже линии неэффективны: они либо дают доходность ниже ожидаемой, либо подразумевают больший риск.

Оптимизация портфеля означает поиск компромисса между риском и прибылью. Поэтому инвестору важно заранее определиться с желаемой доходностью и комфортным для себя уровнем риска. Повторюсь, что речь здесь идет про волатильность, с которой готов мириться инвестор. Этот риск не означает полной потери актива, но может включать ее, например если компания обанкротится. Но диверсификация портфеля обычно снимает этот вопрос.

Источник

Портфельная теория Марковица. Формирование инвестиционного портфеля в Excel

Приведем пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица с помощью программы Excel, разберем достоинства и недостатки данной модели в современной экономике и пути их решения.

Инвестиционный портфель – это совокупность различных финансовых инструментов, удовлетворяющих цели инвестора и, как правило, заключается в создании таких комбинаций активов, которые бы обеспечили максимальную доходность при минимальном уровне риска.

Инфографика: Портфельная теория Марковица (основная информация)

Модель Марковица

Г. Марковиц в 1952 году впервые предложил математическую модель формирования инвестиционного портфеля. В основе его модели лежат два ключевых показателя любого финансового инструмента: доходность и риск, которые были количественно измерены. Доходность по модели представляет собой математическое ожидание доходностей, а риск определяется как разброс доходностей возле математического ожидания и рассчитывается через стандартное отклонение.

До модели Г. Марковица инвестирование происходило, как правило, в выборочные активы или финансовые инструменты, предложенная же им модель позволила снизить систематические (рыночные) риски за счет группировки активов с отрицательной корреляцией доходностей.

Следует заметить универсальность модели, так инвестиционный портфель может быть технически составлен для любых видов финансовых инструментов и активов: акций, облигаций, фьючерсов, индексов, недвижимости и т.д.

★ Excel таблица для формирования инвестиционного портфеля ценных бумаг (рассчитай портфель за 1 минуту) + оценка риска и доходности

★ Программа InvestRatio — расчет всех инвестиционных коэффициентов в Excel за 5 минут (расчет коэффициентов Шарпа, Сортино, Трейнора, Калмара, Модильянки бета, VaR) + прогнозирование движения курса

Цели формирования инвестиционного портфеля

Выделяют две инвестиционные стратегии при формировании портфеля:

► Максимизации доходности инвестиционного портфеля при ограниченном уровне риск.

► Минимизация риска инвестиционного портфеля при минимально допустимом уровне доходности.

Расчет доходности инвестиционного портфеля Марковица

Общая доходность портфеля будут представлять собой взвешенную сумму доходностей каждого отдельного финансового инструмента (актива):

где:

r_p – доходность инвестиционного портфеля;

w – доля i-го финансового инструмента в портфеле;

r_i – доходность i-го финансового инструмента.

Оценка риска инвестиционного портфеля Марковица

В модели Г. Марковица риск отдельно взятого финансового инструмента рассчитывается как стандартное отклонение доходностей. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить их совокупное изменение и взаимное влияние (через ковариацию), для этого воспользуемся следующей формулой:

где:

σp – риск инвестиционного портфеля;

σ_i – стандартное отклонение доходностей i-го финансового инструмента;

k_ij – коэффициент корреляции между I,j-м финансовым инструментом;

w_i – доля i-го финансового инструмента (акций) в портфеле;

V_ij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n – количество финансовых инструментов инвестиционного портфеля.

Эконометрический вид модели Марковица

Для того чтобы сформировать инвестиционный портфель необходимо решить оптимизационную задачу. Существует два вида задач: поиск долей акций в портфеле для достижения максимальной эффективности при заданном уровне риска (σ_p) и минимизация риска при заданном уровне доходности портфеля (r_p). Помимо этого на уравнения накладываются дополнительные очевидные ограничения: сумма долей активов должна быть равна 1 и сами доли активов должны быть положительными.

В таблице ниже показаны формулы и наложенные на них ограничения для поиска оптимальных долей финансовых инструментов (акций).

Портфель Марковица минимального риска	Портфель Марковица максимальной эффективности

★ Программа InvestRatio — расчет всех инвестиционных коэффициентов в Excel за 5 минут (расчет коэффициентов Шарпа, Сортино, Трейнора, Калмара, Модильянки бета, VaR) + прогнозирование движения курса

Пример формирования инвестиционного портфеля Марковица в Excel

Рассмотрим наглядный пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица в программе Excel. Наш портфель будет состоять из четырех отечественных акций: ОАО «Газпром» (GAZP), ОАО «Норильский никель» (GMKN), ОАО «Мечел» (MTLR) и ОАО «Сбербанк» (SBER). Были взяты акции различных секторов: нефтегазового, промышленного и финансового, такой выбор увеличивает диверсификацию портфеля и снижает его рыночный риск.

Рекомендуется брать период рассмотрения динамики изменения стоимости акций минимум один год. Это позволяет сделать более точный долгосрочный прогноз доходности и риска портфеля. На рисунке ниже показана ежемесячная стоимость акций за период с 01.02.2014 – 01.02.2015г.

Котировки акций Газпрома, ГМКНорНикеля, Мечела и Сбербанка

На следующем этапе формирования портфеля необходимо рассчитать ежемесячные доходности по каждой акции. Для этого воспользуемся формулой процентов в Excel:

Доходность Газпром =LN(B6/B5)

Доходность ГМКНорНикель =LN(C6/C5)

Доходность Мечел =LN(D6/D5)

Доходность Сбербанк =LN(E6/E5)

Расчет ежемесячных доходностей акций для модели Марковица в Excel

Далее определяем математическое ожидание доходностей по каждой акции, для этого найдем среднеарифметическое значение за весь период. Ожидаемая доходность по каждой акции будет следующая:

Ожидаемая доходность Газпром =СРЗНАЧ(F5:F17)

Ожидаемая доходность ГМКНорНикель =СРЗНАЧ(G5:G17)

Ожидаемая доходность Мечел =СРЗНАЧ(H5:H17)

Ожидаемая доходность Сбербанк =СРЗНАЧ(I5:I17)

Оценка ожидаемой доходности акций портфеля в Excel

Доходность акции ОАО «Сбербанк» имеет отрицательное ожидание доходности, поэтому ее следует исключить из портфеля. Оценка риска каждой акции – это ее изменчивость (волатильность) по отношению к математическому ожиданию доходностей.

Формула расчета риска акций следующая:

Риск Газпром =СТАНДОТКЛОН(F5:F17)

Риск ГМКНорНикель =СТАНДОТКЛОН(G5:G17)

Риск Мечел =СТАНДОТКЛОН(H5:H17)

Оценка риска по акции инвестиционного портфеля в Excel

Мы получили первоначальные необходимые данные для оценки долей данных акций в инвестиционном портфеле. Для оценки уровня риска всего инвестиционного портфеля воспользуемся надстройкой в Excel. Для этого зайдем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

Далее в появившемся окне необходимо найти ковариации между доходностями акций. Указываем входной интервал – ежемесячных доходностей акций, а в опции «Группирование» выбираем функцию «по столбцам».

Результатом будет таблица ковариаций доходностей акций между собой. Расположим ее ниже под таблицей. Можно заметить, что диагональные значения представляют собой дисперсию доходностей акций.

Пример расчета ковариационной матрицы для инвестиционного портфеля Марковица в Excel.

Для расчета общего риска портфеля воспользуемся формулой рассмотренной выше и для этого нам необходимо перемножить доли весов акций между собой и значения ковариаций этих акций. Для того чтобы понять принцип расчета, установим доли акций 0.3, 0.3 и 0.4 и рассчитаем общий риск портфеля. Доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенная сумма доходностей отдельных акций. Так как мы будем перемножать матрицы необходимо транспонировать столбец с долям (wT). Формула расчета риска инвестиционного портфеля будет иметь следующий вид:

Общий риск инвестиционного портфеля =КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(F26:H26;F23:H25);D23:D25))

Общая доходность инвестиционного портфеля =F18*F26+G18*G26+H18*H26

Формирование инвестиционного портфеля минимального риска

Для данной задачи необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (r_p). Возьмем r_p ≥ 4%. При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню Excel → «Данные» → «Поиск решений», а также введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля), ввести, какие параметры необходимо изменять (доли акций) и текущие ограничения. Целевая ячейка – это ячейка с формулой общего риска инвестиционного портфеля. Программа будет изменять значения долей акций при выставленных ограничениях. Формула ограничения размера доли в портфеле будет иметь следующий вид:

Ограничение на сумму долей акций (F30) =СУММ(F26:H26)

Расчет долей акций в инвестиционном портфеле в Excel

В результате мы получаем следующий расчет общего риска и доходности портфеля. Общий риск портфеля составил 8,7%, тогда как общая доходность 4%. Доли акций Газпрома получились равными 27%, доли ГМКНорНикель 73% и Мечела 0%. При заданных условиях эффективнее будет формирование портфеля из двух акций ОАО «Газпром» и ОАО «ГМКНорНикель».

Формирование инвестиционного портфеля Марковица в Excel. Пример расчета для минимального риска

Визуально доли портфеля будут соотноситься следующим образом.

Формирование эффективного инвестиционного портфеля

Вторая задача, которая решается на основе модели Г. Марковица – посторонние портфеля с максимальным уровнем доходности и ограниченным уровнем риска. Разберем на примере данную задачу. Установим максимально допустимый уровень риска портфеля σ_p≤10%. С помощью надстройки «Поиск решений» определим доли акций в данной интерпретации задачи. Целевая ячейка будет ячейка с формулой доходности портфеля, ее следует максимизировать, изменяя значения долей акций при ограничениях по риску. На рисунке ниже показаны основные параметры для формирования портфеля с максимальной доходностью.

Оптимизация инвестиционного портфеля для максимизации доходности

В результате мы получили доли акций в инвестиционном портфеле: 9% акций ОАО «Газпром», 88% акций ОАО «ГМКНорНикель» и 2% акций ОАО «Мечел». Общий риск портфеля не превысил 10%, а доходность составила 4,82%.

Формирование инвестиционного портфеля Марковица в Excel. Пример оценки для максимизации доходности акций

Визуально доли инвестиционного портфеля будут соотноситься следующим образом.

Достоинства и недостатки модели Г. Марковица

Рассмотрим ряд недостатков присущих модели Г. Марковица.

Многие из данных недостатков модели были решены последователями: прогнозирование доходности с помощью многофакторных моделей (Ю. Фама, К. Френч, Росс и др.), нейронных сетей; оценка риска на основе моделей ARCH, GARCH и т.д. Следует отметить одно из главных достоинств модели Г. Марковица: систематизация подхода к формированию инвестиционного портфеля и управление его доходностью и риском.

★ Программа InvestRatio — расчет всех инвестиционных коэффициентов в Excel за 5 минут (расчет коэффициентов Шарпа, Сортино, Трейнора, Калмара, Модильянки бета, VaR) + прогнозирование движения курса

Резюме

В данной статье мы рассмотрели, как с помощью Excel можно сформировать инвестиционный портфель по модели Г. Марковица и решить две классические задачи: максимизация доходности портфеля при минимальном риске и минимизация риска при заданной доходности. Портфель Марковица позволяет снизить систематические риски за счет комбинации различных активов. Несмотря на сложности использования данной модели в современной экономике данная модель применима для таких низковолатильных активов как недвижимость, облигации товарные фьючерсы и т.д. В настоящее время сократился срок пересмотра активов в портфеле, так если раньше он мог составлять год, то сейчас это 2-6 месяцев. С вами был Иван Жданов, спасибо за внимание.

Автор: к.э.н. Жданов Иван Юрьевич

Источник