В квадрате в кубе а что дальше

Корни и степени

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Формулы сокращенного умножения

Таблица формул сокращенного умножения

Примеры использования формул

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Пример: (x + 3y) 2 = x 2 + 2 ·x·3y + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

Пример: 9x 2 – 16y 2 = (3x) 2 – (4y) 2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример: (x + 2y) 3 = x 3 + 3·x 2 ·2y + 3·x·(2y) 2 + (2n) 3 = x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример: 64x 3 – 8 = (4x) 3 – 2 3 = (4x – 2)((4x) 2 + 4x·2 + 2 2 ) = (4x – 2)(16x 2 + 8x + 4)

Формулы для квадратов

Формулы для кубов

Формулы для четвертой степени

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Источник

Формулы сокращенного умножения.

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2 ) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономе рностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны, и это значит:

Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.

Источник

Гиперкубы

ВНИМАНИЕ! Вся изложенная ниже информация скорее всего вообще никогда вам не понадобится и не несет никакого юмора в себе. Читать на свой страх и риск.

Все знают квадрат, куб и линию, но мало кто знает о хексеракте и декеракте. Вот я и решил сделать пост о 11 разных измеренях гиперкубов (от 0 до 10). Вся информация была взята из википедии, но было исключено максимум ненужной информации.

0, 1, 2 и 3 измерение:

Да-да, это обычные наши любимые фигуры: точка, отрезок, квадрат и куб (Соответственно 0, 1, 2 и 3-ех мерные гиперкубы). Я посчитал их скучными и неинтересными и совместил. Теперь приступим к тому, что нам в нашем жалком мирке не представить (По-этому, здесь все 2-у мерные проекции).

В двумерной проекции выглядит плоско (тонкая шутка), но чтобы понять всю суть этого и последующих гиперкубов, гифка:

Именно, все эти гиперкубы имеют равные грани, но находятся они внутри него (в проекции, конечно).
Тессеракт содержит:
16 точек
32 отрезка
24 квадратов
8 кубов

Фигурка побольше. А можете это представить равное кубу в кубе, который в кубе? А это только начало.
Пентеракт содержит:
32 точки
80 отрезков и квадратов
40 кубов

Это уже более позитивно. Содержит в себе:
64 точки
192 отрезка
240 квадратов
160 кубов

Красота. В себе пленила:
128 точки
448 отрезка
672 квадрата
560 куба

А вам это точно надо? Содержит:
256 точки
1024 отрезка
1792 квадрата и куба

Зато ровно.
512 точки
2304 отрезка
4608 квадрата
5376 куба

И, наконец, декеракт (10D):

В себе содержит:
1024 точки
5120 отрезка
11520 квадрата
15360 куба

А теперь представьте.
. все это находится на равном расстоянии друг от друга и внутри друг друга. Ужас, трогает сильнее чем хороры, спать точно кто-то не сможет (если сможет осознать все).

Ах да, если вы дочитали, то имеете право прочесть определение.
Гиперкуб — обобщение куба на случай с произвольным числом измерений.

Я че-то так переволновалась, а потом в обратном порядке до точки пролистала и мне как-то полегче стало.

— Как представить 4-мерное пространство?

— Нужно представить N-мерное и взять N равное 4.

А меня вот куб из интерстеллара захватил.
Я считаю, что идёя подобной развёртки это самое охуенное, что было в кино за последние 28 лет

есть годный видос на тему измерений, типа «как представить 10 измерений», на ютубе

более наглядно чем картинки, которые ломают мозг)

Вы за мной следите? Я только что Куб-2 пересмотрел!

Я как-то развлекался, рисуя кубы. Вот девятимерный и 11-мерный, например:

на мандалу похоже очень

Захватывает! Спасибо за пост! Это как размышлять о бесконечности вселенной.

а почему проекция с увеличением n-мерности все больше походит на круг?

Роберт Хайнлайн
Дом, который построил Тил

Архитектор Квинтус Тил считал своих коллег робкими и неумелыми. Зато ему удалось спроектировать и построить дом в форме тессеракта — из восьми кубов. При этом каждый из них был отдельным помещением: комнатой, кухней, кабинетом и т.д. В ночь перед осмотром готового дома прошло небольшое землетрясение, всего два балла, но дому этого хватило. Он попросту сложился через четвертое измерение в базовую фигуру — куб. Однако все комнаты остались в нем не мешая друг другу и хозяева с архитектором даже походили внутри, правда не без последствий…

Ужас, трогает сильнее чем хороры, спать точно кто-то не сможет (если сможет осознать все).

Мдаааа. Кого-то интересуют машины, кого-то бабы, кого-то трахающиеся насекомые ну или животные, ну пусть даже мертвые. но тут мсье знает толк в извращениях.

О, слушайте такой вопрос.

Сечением отрезка является точка.

Сечением прямоугольника является отрезок.

Сечением куба является прямоугольник.

Верно ли, что сечением 4д куба будет 3д куб?

(Если верно, то что должно быть в качестве секущей в этом случае? 4д- плоскость?)

Ну что за сайт дурноватый. То говорят сделай жест «ок» и наведи его на любой участок неба, представь перспективу. То гиперкубами в тебя мечут. Все мои попытки представить это оканчиваются одним. так, надо уже спать ложиться)

Ты в Анапе-то был, бедолага? Там кинотеатры 12D чуть не каждом углу!

Когда решил рассмотреть поближе

Охуенно пролистал. Спасибо)

Интересно. Кто нибудь обратил внимание что количество точек в каждой фигуре это n степень 2?

От эннеракта как-то не по себе стало

В FEZ на экране загрузки тоже красивая иллюстрация 4d куба была)

Всегда было интересно, вот взять того же больного художника, он начинал видеть эти образы, которые очень похожи на многомерные фигуры. Просто интересная мысль, но может как то мозг человека начинал замечать все эти измерения, или их проекции, но просто мозг не справлялся с такой нагрузкой. Ещё немного и можно написать сюжет к психо-научно-фантастическому фильму.

Представить n-мерный куб с большим n довольно просто. Похож на морского ежа.

Если длина стороны 1, то 2n граней, расстояние между противоположными 1, и 2^n (гораздо больше) вершин, расстояние между самыми отдаленными sqrt(n). То есть в кубе с 10000 измерений 20000 граней и 2^10000 вершин (неизмеримое почти количество), расстояние же между гранями (внутреннее) равно 1, между вершинами (внешнее) до 100. Ну чем не морской еж с иглами-вершинами.

Вот тута чувак очень наглядно разжевывает

Ты случайно не Герыч?

А где шкаф из интерстеллара?

Почему они стремятся к состоянию трёхмерной сферы?

Спасибо за интеллектуальный оргазм

Нууу это вполне себе используется где-нибудь в теории информационной кибениматике, помещаем n-мерный куб со стороной 1 одним углом в 0 прямоугольной координатной сетки и че-то дальше с этим делаем.

Американская фантастика, «Дом который построил Тил.» ( вдруг кто не читал)

Мне после вашего поста херакт полный пришел бл.

Лучше объясни откуда в теории струн столько измерений и нахера

Не путать деградацию с дегенерацией

Но они ведь все трехмерные 🙁

Сложна, йа суда дигродировать прехожу

О клиентах и геометрии

Пришла сегодня тетка напечатать фотографии. Отправляет на почту, рассказывает пожелания к печати:

— Мне, пожалуйста, все эти фото размером 9х9 сантиметров.

— У вас фотографии вытянутые. Чтобы нам из них получить квадрат, нужно либо что-то обрезать, либо оставлять белые поля сверху и снизу.

Ловлю решительно непонимающий взгляд и фразу:

— Нет, обрезать ничего не нужно. И полей никаких не нужно. Печатайте как есть, мне нужны квадраты 9х9 сантиметров!

Что ж, и такое бывало. Объясняю глубже.

После этого многие непонимающие обычно вникают. Глубокомысленно задумываются и уходят подбирать другие фотографии, или показывают, где можно срезать лишнее, дабы получить искомый квадрат.

Но эта тетя не вникла ни капельки:

— В смысле невозможно? Вы что, не в состоянии напечатать квадраты 9х9?

— В состоянии, но результат вас не устроит, а материал будет потрачен.

Предпринимаю последнюю попытку что-то объяснить. Открываю Word, закидываю туда первую попавшуюся из ее фоток, и принудительно сминаю ширину (люди становятся похожими на длинных и тонких яйцеголовых пришельцев). Поворачиваю монитор и показываю результат.

— Это третий вариант напечатать квадрат из ваших фото. Вам нравится?

— Вы что, издеваетесь что ли?

— Я вас просила нормально сделать! А вы!! Ну и профессионал! Я пойду к другим, где разберутся, что мне нужно!

С этими словами она покинула наше заведение, и этим очень нас порадовала. Остается только посочувствовать тем, к кому она пошла.

Источник

Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Возвести в куб онлайн

Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

65 2 = 65 ∙ 65

6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

65 2 = 4225

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65 2 = 65 ∙ 65, то

65 2 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 65 2 = 4225

Источник