В круг радиуса r наудачу брошена точка найти вероятность того что

Геометрическая вероятность

Практика (14)

В квадрат со стороной 1 брошена точка. какова вероятность того что точка не попадает в вписанный в круг?

Наудачу взяты два положительных числа х и y,каждое из которых не превышает единицы. Найти веро­ятность того, что сумма x+у не превышает единицы, а произведение xy не меньше 0,09.

В круг радиуса 3 см. помещен меньший круг радиуса 2 см.
Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в
большой круг, попадает также и в малый круг.

Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в треугольник пропорциональна площади треугольника и не зависит от его расположения относительно круга.

На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями? [Ларин 4]

В квадрат, длина которого равна 2 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что точка А попадает в квадрат, находящийся в первом квадрате, длина стороны которого равна 1 см?

14. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.

32.13. В куб вписан шар. Точка наугад бросается в куб. Найдите вероятность того, что точка попадет в шар.

32.14. В шар вписан куб, точка наугад брошена в шар, Какова вероятность того, что она попадет в куб?

Два студента договорились встретится в определенном месте,между 12 и 14 часами дня.Пришедший первым студент ждет второго 30 минут,после чего уходит.Найти вероятность того,что встреча состоится.Если каждый студент на удачу выбирает время прихода.

На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной 5 см наудачу брошена монета радиуса 2 см. Найдите вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон вадрата.

Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Найдите вероятность того, что корни уравнения x^2 +cx + q =0 окажутся действительными положительными числами?

Палка переломана на две части в случайной точке. Найти вероятность того, что меньшая часть будет длиннее половины большей части.

В квадрат бесконечной шахматной доски со стороной 6 сантиметров бросают монету радиуса 2 сантиметра. Какова вероятность, что монета упадет внутрь квадрата?

Источник

Геометрическая вероятность

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I. Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?

В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Рассмотрим более общие условия опыта.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому

Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Источник