В чем важность математического моделирования

Метод математического моделирования и его роль в развитии современной науки.

Этапы создания математической модели

Процесс построения моделей может быть условно разбит на следующие этапы.

1. Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может содержать также некоторые предположения (невесомый стержень, толстый слой вещества, прямолинейное распространение световых лучей и т. д.). Данный этап можно назвать формулировкой предмодели.

2. Следующий этап — завершение идеализации объекта. Отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. Например, при составлении балан­са материи не учитывался, ввиду его малости, дефект масс, которым сопровождается радиоактивный распад. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме (подобно условию λ_i >>L_i)), с тем чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю.

3. После выполнения первых двух этапов можно переходить к выбору или формулировке закона (вариационного принципа, аналогии и т. п.), которому подчиняется объект, и его записи в математической форме. При необходимости используются дополнительные сведения об объекте, также записываемые математически (например, постоянство величины с для всех траекторий лучей света, вытекающее из геометрии задачи). Следует иметь в виду, что даже для простых объектов выбор соответствующего закона отнюдь не тривиальная задача.

4. Завершает формулировку модели ее «оснащение». Например, необходимо задать сведения о начальном состоянии объекта (скорость ракеты и ее массу в момент t = 0) или иные его характеристики (величины I, g; α, λI, λ_II; α(t) и β(t)), без знания которых невозможно определить поведение объекта. И, наконец, формулируется цель исследования модели (найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т. д.).

5. Построенная модель изучается всеми доступными исследовате­лю методами, в том числе со взаимной проверкой различных подходов. В отличие от рассмотренных простейших случаев, большинство моделей не поддаются чисто теоретическому анализу, и поэтому необходимо широко использовать вычислительные методы. Это обстоятельство особенно важно при изучении нелинейных объектов, так как их качественное поведение заранее, как правило, неизвестно.

6. В результате исследования модели не только достигается по­ставленная цель, но и должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подхо­дами) ее адекватность — соответствие объекту и сформулированным предположениям. Неадекватная модель может дать результат, сколь угодно отличающийся от истинного, и должна быть либо отброшена, либо соответствующим образом модифицирована.

Метод математического моделирования и его роль в развитии современной науки.

Выявление общего, существенного, присущего всем системам определенного рода производится наиболее общим приемом — математическим моделированием. При математическом моделировании систем наиболее ярко проявляется эффективность единства качественных и количественных методов исследования, характеризующая магистральный путь развития современного научного познания.

Всякая сложная система, модель которой мы создаем, при своем функционировании подчиняется определенным законам — физическим, химическим, биологическим и др. Рассматриваются такие системы, для которых знание законов предполагает известные количественные соотношения, связывающие те или иные характеристики моделируемой системы. Модель создается для ответа на множество вопросов о моделируемом объекте. Интересуясь некоторыми аспектами функционирующей системы, изучают ее с определенных точек зрения. Направления изучения системы в значительной степени и определяет выбор модели. Опишем процесс построения математической модели сложной системы. Его можно представить состоящим из следующих этапов:

1. Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.

2. Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.

3. В дополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании. Как правило, эти гипотезы правдоподобны в том смысле, что могут быть приведены некоторые теоретические доводы в пользу их принятия.

4. Гипотезы, так же как и законы, выражаются в форме определенных математических соотношений, которые объединяются в некоторое формальное описание модели.

На этом заканчивается процесс построения математической модели. Дальше следует процесс исследования этих соотношений с помощью аналитических и вычислительных методов, приводящий в конечном итоге к отысканию ответов на предъявляемые модели вопросы. Разрабатывается или используется созданный ранее алгоритм для анализа этой модели.

Если модель хороша, то ответы, найденные с ее помощью, как правило, бывают весьма близки к ответам на те же вопросы о моделируемой системе. Более того, в этом случае зачастую с помощью модели удается ответить и На некоторые ранее не ставившиеся вопросы, расширить круг представлений о реальной системе. Если же модель плоха, т. е. недостаточно адекватно описывает систему с точки зрения задаваемых ей вопросов, то она подлежит дальнейшему улучшению или замене. Критерием адекватности модели служит практика, которая и определяет, когда может закончиться процесс улучшения модели.

Достоинствами метода математического моделирования является то, что модель представляет собой формализованную запись тех или иных законов природы, управляющих функционированием системы. Однако определенные трудности возникают при попытке построения математической модели очень сложной системы.

Источник

Важность применения математического моделирования для решения проблем виноградарства

ВАЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ ВИНОГРАДАРСТВА

Кубанский Государственный Университет, Россия, 49

Математическое моделирование используется сейчас в различных сферах, а это означает для ученых, пользоваться новыми более точными и плодотворными методами исследования.

Модель – это объект, в достаточной степени повторяющий свойства моделируемого объекта (прототипа), существенные для целей конкретного моделирования, и опускающие несущественные свойства, в которых он может отличаться от прототипа.

Математическое моделирование – это замена исследуемого объекта его математической моделью с последующим исследованием этой модели современными вычислительными средствами. Это не нововведение, испокон веков в математике, механике, физике и других точных науках использовались математические модели, в качестве аппарата для описания и изучения объектов и явлений.

Методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы – от разработки и управления большими технологическими системами до анализа сложнейших экономических и социальных процессов. Но, к сожалению, в виноградарстве оно пока не нашло своего применения. Наряду с применением новейших удобрений, способов защиты и размножения растений, математическое моделирование для проблем виноградарства может стать хорошем подспорьем для аграриев на пути достижения высочайшей хозяйственной продуктивности ампелоценозов.

Для того чтобы лучше понять суть математической модели, необходимо рассмотреть ее поэтапно на примере построения модели для расчета оперативных технологий возделывания виноградарства.

Первый этап моделирования – это рассмотрение некой эмпирической ситуации (определение оптимальных показателей элементов оперативных технологий для повышения продуктивности ампелоценозов). На этом этапе происходит новое осмысление проблемы, в основном это сводится к выявлению основных или существенных особенностей явления. Некоторые черты исследования являются важными, а другие – несущественными. Например, для расчета оперативных технологий нам важны характеристики сорта, почвенные, зональные показатели, но нам совсем не важно кто является владельцем данного хозяйства или сколько человек в данном хозяйстве трудятся.

Наша цель создать такую модель, которая могла бы дать наиболее точные рекомендации по уходу за ампелоценозами, прогноза по реализации их хозяйственной продуктивности. Следующий этап – постановка задачи, но перед тем, как к нему перейти, необходимо проверить адекватность поставленной задачи.

На втором этапе, существенные величины, выявленные нами ранее, переводятся на язык математических величин и правил соотношений между ними. На этом этапе происходит вторичное разделение существенного и несущественного, т. е. разделение показателей, существенно влияющих на явление и незначительно изменяющих конечный результат. Например, для расчета нагрузки и обрезки нам необходимо знать показатели эмбриональной плодоносности, количество сильных, слабых, нормальных побегов, масса грозди, но это далеко не весь спектр компонент, влияющих в той или иной степени на конечный результат. При построении этой математической модели, на данном этапе, несущественные компоненты (мало влияющие) были отброшены, уступив место более глубокому изучению существенных величин. Одновременно с этим в процессе постановки задачи подбираются уравнения или системы уравнений для ее решения, рассматриваются исключительные ситуации, начальные условия и прочее.

Для модели прецизионных технологий были выбраны несколько уравнений для различных факторов, влияющих на продуктивность ампелоценозов.

Расчет урожайность производится по формуле Мерджаняна:

Оросительная норма рассчитывается по формуле – .

Питание – по формуле: .

Система этих уравнений дает нам количественные характеристики важнейших факторов, влияющих на продуктивность виноградного растения. Но это далеко не весь спектр уравнений, используемых в модели. Для многих факторов уравнений не существует (защита от болезней), для них нужно создать если не уравнения, то хотя бы прочные математические зависимости. Итак, постановка задачи в той или иной мере завершена, но при переходе к следующему этапу, происходит проверка корректности поставленной задачи, сопоставление данной модели с исходной ситуацией.

Следующий этап – сама математическая модель. Рассматриваются способы и методы ее решения, применение тех или иных преобразований для своеобразного упрощения задачи. Например, для разработки модели прецизионных технологий очень существенную помощь «оказывают» базы банных. При расчете тех или иных уравнений (орошения, обрезки, расчета урожайности и др.) используются некоторые константы (масса грозди, сумма осадков и прочее), которые меняются в зависимости от сорта и местности возделывания. При использовании баз данных, эти данные можно выгружать, это экономит время на более тщательный расчет других показателей, что обеспечивает большую точность результатов. И вновь осуществляется проверка корректности – сама модель должна быть непротиворечивой и подчиняться всем постулатам математической логики. Кроме того, происходит проверка непротиворечивости построенной модели и исходной задачи, достаточно ли обширно модель отражает проблему, или же это лишь маленький ее кусочек, ограниченный некоторыми параметрами.

После чего осуществляется прогноз, строятся графики, приводятся численные результаты, тенденции и прочее. Ситуации моделируются для различных целей, главная из которых – предсказание новых результатов, либо выявление новых свойств явления.

Применение компьютеров для математического моделирования изменило само понятие «решить задачу». Теперь вычислительный эксперимент может быть проведен за доли секунды, необходимо только правильно разработать и запрограммировать алгоритм для расчета модели. Моделирование является первым шагом к проведению вычислительного эксперимента. В отличие от натурных экспериментов, вычислительный эксперимент позволяет накапливать результаты, полученные при исследовании какого-либо класса задач, а затем быстро и гибко применять их к решению задач совершенно других областей.

Чем тщательнее разрабатываются все части вычислительного эксперимента, тем точнее будет результат эксперимента и тем глубже исследователь может понять природу объекта.

3. Серпуховитина и продуктивность винограда / – Краснодар: Краснодарское книжное изд-во, 1982. – 174 с.

Источник

Просто о сложном: что такое математическое моделирование и почему нам больше не нужны эксперименты на людях

tany_savelieva

Сегодня математики пытаются помочь медикам представить, как устроены внутренние процессы в организме, или предсказать реакцию конкретного пациента на лечение с помощью языков программирования и без проведения дорогих и опасных экспериментов. Метод математического моделирования применяется в самых разных областях науки, в том числе в физиологии и медицине. В рамках проекта «Физтех.Читалка» молодой ученый, аспирант МФТИ Тимур Гамилов рассказал «Теориям и практикам», как математические модели помогают врачам ставить диагнозы, а спортсменам — рекорды.

«Лего» для ученых

Математическое моделирование начали использовать в спорте и медицине еще в 50-х годах. В этой сфере активно работают математики, информатики и физики различных специализаций. Метод математического моделирования устроен по принципу конструктора «Лего», в котором вместо деталей — данные о состоянии здоровья человека и математические формулы, на основе которых врачи ставят диагноз и составляют план лечения. Используя данные о медицинских показателях, математики и инженеры создают гипотезу, которую затем проектируют и проверяют с помощью специального языка программирования.

Неудивительно, что интерес к математическому моделированию в медицине и спорте растет: в США с 1961 по 2006 год процент бюджетных денег, которые тратятся на медицину, возрос с 4% до 20%. В других странах люди тоже хотят жить долго и хорошо, а готовность властей финансировать науку и текущий уровень развития технологий растут с каждым годом. Поэтому вместо того, чтобы проводить медицинские эксперименты на людях, в качестве подопытных кроликов ученые используют математические модели.

Модель для сборки: инструкция

Для построения любой математической модели необходимы данные. Базовые знания о строении и функционировании организма человека можно найти в анатомических атласах и другой справочной литературе. Но поскольку организм каждого человека уникален, врачи наблюдают за каждым пациентом индивидуально: проводят МРТ, компьютерную томографию, измеряют пульс, давление.

Представим, что перед командой ученых (биологов, математиков, физиков, программистов) стоит задача — помочь в постановке диагноза и поиске метода лечения пациентов со стенозом. Первым делом мы, ученые, должны понять, что такое стеноз, и расспрашиваем об этом врачей. Оказывается, стеноз — это возникновение бляшек на сосудах, которые создают разницу в давлении между участками сосуда. В результате сосуд может не выдержать такой нагрузки и порваться. Диагностируется заболевание двумя путями. Первый — качественный способ: нужно сделать снимок сосуда, найти бляшку и по ее виду сделать вывод. Второй — количественный: через бедренную артерию в нужные участки сосуда вводятся датчики, которые измеряют разницу давлений. Результаты количественного анализа — более точные. Это значит, что можно не оперировать пациента без надобности, а осложнения после лечения будут минимальными. Минусы этого способа — в цене и высоких рисках для пациента. Нужна дешевая и безопасная альтернатива, которая поможет поставить количественный диагноз и принять верное решение о лечении. Такой альтернативой может стать математическая модель процессов, происходящих в организме, связанных с развитием болезни.

В нашем случае нужно понять, по каким законам возникает разница в давлениях внутри сосудов, и записать эти законы в виде уравнений. Модели создаются под каждую проблему, болезнь или задачу. Для начала в уравнения (например, гидродинамики) вписывают величины, примерно одинаковые для всех пациентов — в науке они называются константами. Помимо констант, существуют параметры — показатели, которые учитываются для каждого человека индивидуально: длина, ширина сосудов, частота пульса, вид шума в сосудах. После того как мы вписали в уравнения константы, снимаем данные с пациента и записываем их в уравнения. Так ученые связывают параметры и константы с помощью формул: теперь в готовое уравнение мы подставляем разные значения для разных пациентов, чтобы получить необходимый результат — показатель разницы давлений между участками сосуда. Лечение стеноза, в зависимости от степени тяжести заболевания, врачи проводят либо медикаментозно (когда разница в давлениях небольшая), либо с помощью хирургического вмешательства (для более серьезных случаев).

После того как модель запрограммирована, работа не заканчивается. Во-первых, измерить большую часть параметров, которые нужно внести в уравнения, скорее всего, не получится без огромных затрат и дорогостоящих операций. Например, для детального определения структуры бляшек, упругих свойств сосуда и законов, по которым он меняется со временем, потребуется колоссальное количество сил и средств. Поставить такую технологию на поток вряд ли удастся.

Во-вторых, снятые параметры могут измениться через определенное время. Эластичность сосудов сильно меняется в зависимости от гормонов, которые на данный момент присутствуют в крови. А чтобы предсказать, сколько каких гормонов содержится в кровяном русле в интересующий нас период, нужно замоделировать в буквальном смысле весь организм человека, так как гормональный фон зависит от огромного количества факторов.

Врачи не знают математику, а математики — биологию, однако без диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук

В-третьих, даже если мы сможем измерить все необходимые параметры и они не станут сильно меняться со временем, измерения, скорее всего, будут неточными. И чем больше параметров мы снимаем, тем активнее будет расти эта неточность. А поскольку в организме от небольшого изменения каждого параметра существенно меняются все остальные величины, такая неточность часто становится критичной. Например, даже несущественное количество введенного лекарства, растворяющего тромбы, может привести к передозировке, которая вызовет серьезное кровотечение.

Решаются эти проблемы путем упрощения модели: ученые по максимуму сокращают количество параметров и уравнений, стараются сделать их проще, или, как говорят математики, оптимизируют систему. Несмотря на технологическое несовершенство, метод математического моделирования уже работает и помогает людям. Благодаря математическому моделированию была создана известная модель токов в клетке Ходжкина — Хаксли, которая помогла описать, как распространяются электрохимические импульсы, передающие информацию в организме по нервным клеткам. Эта разработка считается одним из самых важных открытий неврологии XX века. За нее ученые получили Нобелевскую премию.

В помощь Усэйну Болту

Математически смоделированные стратегии для тренировок — уже рутина для спортивной индустрии. Показатели великого бегуна Усэйна Болта почти совпадают с графиком кривой оптимального темпа для бега на 100 метров в каждый момент времени. На соревнованиях по прыжкам с трамплина на лыжах высота конструкции выбирается с использованием математической модели тел спортсменов так, чтобы нагрузки не стали критичны для организма.

Математика + медицина

Главная трудность в развитии метода пока заключается в том, что значительное количество разработок так и остаются теорией. В повседневное клиническое использование вводится крайне малая часть таких проектов. Ученые видят будущее моделей в их адаптации под реальные условия. Теоретические расчеты нужны и важны для понимания процессов, которые происходят в организме, но не менее важно научиться использовать такие расчеты глобально. Сильно упростит задачу, если пациентам будет легко и понятно снимать показатели самостоятельно.

Ученым из разных областей придется все чаще работать на стыке наук и сотрудничать с инженерами и врачами. Чтобы эти идеи не оставались на страницах научных журналов, а реально помогали людям, математики должны начать взаимодействовать с врачами, которые ставят перед ними конкретные медицинские задачи. Такое взаимодействие (из-за особенностей образования и способа мышления) часто дается обеим сторонам непросто: врачи не знают математику, а математики — биологию, все они пользуются разной терминологией и методами. Однако без подобного диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук.

Источник

Свойства и практическое применение математического моделирования

Понятие и сущность моделирования, его основные цели, функции и классификация. Математическое и компьютерное моделирование, достоинства и недостатки имитационного моделирования систем. Имитация случайных величин и процессов. Особенности экспертных систем.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Под моделированием понимают процесс построения, изучения и применения моделей. Оно является методом познания с помощью объектов-заместителей. Необходимость использования этого метода определяется тем, что многие объекты или проблемы непосредственно исследовать или совсем невозможно, когда объект недосягаем либо реально не существует (будущее состояние экономики), или же это исследование требует много времени и средств.

· Изучение свойств модели,

· Перенос полученных сведений на моделируемую систему.

По отношению к модели исследователь является экспериментатором (эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью).

Типовые цели моделирования:

ь Поиск оптимальных или близких к оптимальным решений,

ь Оценка эффективности решений,

ь Определение свойств системы (чувствительности к изменению значений характеристик и др.)

ь Установление взаимосвязей между характеристиками системы, и др.

Важным является тот факт, что модель является целевым отображением оригинала (создается под поставленную задачу и должна отражать свойства объекта, интересующие исследователя с точки зрения решения этой задачи). Один и тот же объект-оригинал может иметь множество моделей в соответствии с различными целями исследования.

2. Классификация моделей

Классификацию моделей проводят по различным критериям.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Модель функциональная, если она представима в виде системы каких- либо функциональных соотношений.

Модель теоретико-множественная, если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры (лицами, коалициями).

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие.

Однако, не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Модель структурная, если она представима структурой данных или структурами данных и отношениями между ними.

Модель графовая, если она представима графом или графами и отношениями между ними.

Модель иерархическая (древовидная), если представима некоторой иерархической структурой (деревом).

Модель сетевая, если она представима некоторой сетевой структурой.

Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой.

Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Модель клеточно-автоматная, если она представляет систему с помощью клеточного автомата или системы клеточных автоматов.

Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение.

В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.

3. Пути возникновения математической модели

Математическая модель осуществляет представление некоторой системы или явления внешнего мира с помощью математических символов и зависимостей. Построение математической модели является основой изучения и проектирования сложных систем и объектов. Качество модели определяет правильность или ошибочность выводов, полученных на основе её анализа.

Математическая модель может возникнуть тремя путями:

ь В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.

ь В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой общей модели. Такие модели называются асимптотическими.

ь В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным.

Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

В настоящее время построение математических моделей распространено в различных областях знания и выработано немало принципов и подходов, имеющих общий характер. Процесс моделирования состоит из последовательности этапов, которые отличаются конкретными целями и средствами, и выполняются в определённой очерёдности. Эта очерёдность может изменяться из-за противоречивости требований, предъявляемых к модели, невозможности с самого начала предусмотреть все детали и устранить все неопределённости в модели, необходимости применения неформальных процедур.

4. Схема построения математических моделей

Первый этап построения модели начинается с изучения и анализа объекта, выявления его основных, существенных особенностей, необходимых для достижения целей моделирования, перечисления всех элементов, оказывающих влияние на конечный результат. Изучая каждый элемент, устанавливают его зависимость от выбора вариантов решения. Элементы, для которых такая зависимость отсутствует или пренебрегаемо мала, исключают из рассмотрения. Для каждого из оставшихся элементов выясняют является ли он постоянным или переменным. Для переменных элементов устанавливают те свойства объекта, которые оказывают влияние на его величину. Каждому элементу присваивают символическое имя. Связи между элементами описывают разнообразными аналитическими выражениями, графиками, уравнениями и т.д. После этого анализируются цели исследования. Они могут быть качественными и количественными. Качественные цели чаще всего носят психологический или социальный характер, их иногда называют неосязаемыми, так как очень трудно измерить степень достижения этих целей. Все цели должны быть непротиворечивыми и независимыми. Противоречивые цели необходимо исключить, а зависимые объединить. Объект схематизируется, идеализируется, все его несущественные свойства игнорируются. Результатом этого этапа может быть изобразительная или аналоговая модель.

2. условия необходимые для реализации модели,

3. альтернативные варианты моделирования и способы их сопоставления между собой,

4. «узкие места» моделирования и возможные способы их преодоления,

5. необходимые и имеющиеся ресурсы,

6. способ оценки эффективности решения.

Постановка задачи завершается определением критериев эффективности, которые должны позволять выбирать наиболее эффективные стратегии достижения целей.

5. Прикладные аспекты моделирования

· на очередном шаге эволюции каждый блок четного разбиения поворачивается (по задаваемому правилу распространения загрязнения или генерируемому распределению случайных чисел) на заданный угол (направление поворота выбирается генератором случайных чисел);

· аналогичное правило определяется и для блоков нечетного разбиения;

· процесс продолжается до некоторого момента или до очищения среды.

Модель фрактальная, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов.

Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R)

· наглядность, обозримость основных ее свойств и отношений;

· доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

· сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

· возможность развития моделей(предыдущего уровня).

Жизненный цикл моделируемой системы:

· сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предварительный модельный анализ;

· проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);

· построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;

· исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;

· оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);

· интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе;

· генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений;

· уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью модели и моделирования.

7. Математическое и компьютерное моделирование

Математическая модель описывается (представляется) математическими структурами, математическим аппаратом (числа, буквы, геометрические образы, отношения, алгебраические структуры и т.д.).

Отметим основные операции (процедуры) математического моделирования.

3. Оценка адекватности (точности) модели.

4. Оценка чувствительности модели (чувствительности к изменениям входных параметров).

5. Вычислительный эксперимент по модели. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью определения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!). Это процедура часто отождествляется с компьютерным моделированием.

Основные функции компьютера при моделировании систем:

1. исполнение роли вспомогательного средства для решения задач, доступных и для обычных вычислительных средств, алгоритмам, технологиям;

2. исполнение роли средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;

4. исполнение роли средства моделирования для получения новых знаний;

5. исполнение роли «обучения» новых моделей (самообучение модели).

8. Классификация видов моделирования

9. Модели прогноза. Оптимизационные модели

К статистическим методам относятся аппроксимация, интерполяция, методы исследования временных рядов.

К методам аналогии относятся модели планирования эксперимента, а также математические, исторические и другие аналогии.

Среди моделей прогнозирования можно выделить следующие:

1 Модели аппроксимации.

Методы аппроксимации применимы к детерминированным и статистическим системам.

Выбор аппроксимирующей функции связан с решением оптимизационной задачи. Для этого применяется критерий минимизации квадратичной ошибки

В аппроксимации для получения параметров модели используется МНК-критерий (метод наименьших квадратов). Лучшей считается та модель, для которой сумма квадратов отклонений опытных значений, от теоретических будет минимальной.

Для этого формируется целевая функция или критерий оптимизации.

2 Модели интерполяции.

В интерполяции, в отличие от аппроксимации, производится минимизация линейной ошибки.

Наиболее простой подход к получению интерполяционной модели был предложен Лагранжем.

Оба рассмотренных метода относятся к методам исследования детерминированных моделей.

Анализ временных рядов.

Временные ряды отражают тенденцию изменения параметров системы во времени, поэтому входным параметром х является момент времени.

Выходной параметр y называется уровнем ряда. В случае отсутствия ярко выраженных изменений в течение времени, общая тенденция сохраняется.

Во временных рядах проводится операция анализа и сглаживания тренда, который отражает влияние некоторых факторов. Для построения тренда применяется МНК-критерий.

Прогноз явлений по временным рядам состоит из двух этапов:

— Прогноз детерминированной компоненты.

— Прогноз случайной компоненты.

Обе проблемы связаны с анализом результатов парных экспериментов. В отличие от аппроксимации и интерполяции анализ временных рядов включает в себя методы оценки случайных компонент. Поэтому прогнозирование при помощи временных рядов является более точным.

Исследование рядов имеет большое значение и для технических, и для экономических систем.

Оптимизационная модель представляет собой модель математического программирования, состоящую из целевой функции и системы ограничений в форме уравнений или неравенств, и направлена на поиск наиболее эффективного (оптимального) управленческого решения при соблюдении установленных ограничений.

Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от искомых переменных. На макроуровне критерием оптимальности может являться максимум валового национального дохода, максимум среднедушевого денежного дохода. На микроуровне: максимум прибыли предприятия, минимум затрат и др.

Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных параметров. Стохастические (вероятностные) модели в отличие от детерминированных описывают случайные процессы, в которых результат всегда остаётся неопределённым. В настоящее время разработано большое количество программных пакетов, позволяющих решать сложные оптимизационные задачи на основе ЭВМ.

10. Кибернетические модели

1) внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка);

2) структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов);

4) кибернетические модели относятся ко второму и третьему типу. Для них свойственно то, что они реализуются с помощью ЭВМ. Смысл кибернетического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием, которое помещается в память ЭВМ вместе с программами, реализующими изменения показателей объекта, предусмотренные этим описанием.

С описанием производят машинные эксперименты: меняют те или иные показатели, т.е. изменяют состояние объекта и регистрируют его поведение в этих условиях. Часто поведение объекта имитируется во много раз быстрее, чем на самом деле, благодаря быстродействию ЭВМ. Кибернетическую модель часто называют имитационной моделью.

Формирование описания объекта (его системный анализ) является важнейшим звеном кибернетического моделирования. Вначале исследуемый объект разбивается на отдельные части и элементы, определяются их показатели, связи между ними и взаимодействия (энергетические и информационные). В результате объект оказывается представленным в виде системы. При этом очень важно учесть все, что имеет значение для той практической задачи, в которой возникла потребность в кибернетическом моделировании, и вместе с тем не переусложнить систему.

Следующим этапом является составление математических моделей эффективного функционирования объекта и его системной модели. Затем производится программирование описания и моделей его функционирования.

11. Имитационное моделирование

Поэтому под процессом имитации на ЭВМ понимают:

1. конструирование модели;

2. испытание модели;

3. применение модели для изучения некоторого явления или проблемы.

При построении имитационной модели исследователя интересует прежде всего возможность вычисления некоторого функционала, заданного на множестве реализаций процесса функционирования изучаемой сложной системы и характеризующего поведения объекта имитации. Наиболее важным для исследователя функционалом является показатель эффективности системы. Имитируя различные реальные ситуации на имитационных моделях, исследователь получает возможность решения следующих задач:

1. оценка эффективности различных принципов управления системой;

2. сравнение вариантов структуры системы;

3. определение степени влияния изменений параметров системы и начальных условий имитации ее поведения на показатель эффективности системы.

Процесс имитационного исследования:

В отличие от математических моделей, представляющих собой аналитические зависимости, которые можно исследовать с помощью достаточно мощного математического аппарата, имитационные модели, как правило, позволяют проводить на них лишь одиночные испытания, аналогично однократному эксперименту на реальном объекте. Поэтому для более полного исследования и получения необходимых зависимостей между параметрами требуются многократные испытания модели, число и продолжительность которых во многом определяются возможностями используемой ЭВМ, а также свойствами самой модели.

Имитационная модель характеризуется наборами входных переменных, наблюдаемых или управляемых переменных, управляющих воздействий, возмущающих воздействий. Состояния системы в любой момент времени и начальные условия могут быть случайными величинами, заданными соответствующим распределением вероятностей.

Имитационное моделирование используют в основном для следующих применений:

1) при исследовании сложных внутренних и внешних взаимодействий динамических систем с целью их оптимизации. Для этого изучают на модели закономерности взаимосвязи переменных, вносят в модель изменения и наблюдают их влияние на поведение системы;

2) для прогнозирования поведения системы в будущем на основе моделирования развития самой системы и ее внешней среды;

3) в целях обучения персонала, которое может быть двух типов: индивидуальное обучение оператора, управляющего некоторым технологическим процессом или устройством, и обучение группы людей, осуществляющих коллективное управление сложным производственным или экономическим объектом.

4) для макетирования проектируемой системы и соответствующей части управляемого объекта с целью прикидочной проверки предполагаемых проектных решений. Это позволяет в наиболее наглядной и понятной заказчику форме продемонстрировать ему работу будущей системы, что способствует взаимопониманию и согласованию проектных решений. Кроме того, такая модель позволяет выявить и устранить возможные неувязки и ошибки на более ранней стадии проектирования, что на 2-3 порядка снижает стоимость их исправления.

12. Основы математического моделирования

Основные операции математического моделирования.

1. Линеаризация. Пусть дана математическая модель

— линейные операторы, которые любые линейные комбинации ax + by преобразуют в линейные комбинации типа

2. Идентификация. Пусть модель системы в общем виде представлена следующим образом:

Наиболее часто используемыми на практике методами идентификации систем являются:

· метод наименьших квадратов,

· метод максимального правдоподобия,

· метод байесовских оценок,

· метод марковских цепных оценок,

· экспертное оценивание и др.

3. Оценка адекватности (точности) модели.

4. Оценка чувствительности модели

Влияние изменений входного параметра на изменение выходного параметра.

5. Вычислительный эксперимент по модели

Отметим основные причины, тормозящие использование математического моделирования в новых условиях:

· традиционное описание модели системами математических уравнений, соотношений плохо структурированных и плохо формализуемых систем описываются с помощью экспертных данных, эвристических и имитационных процедур, интегрированных пакетов программ, графических образов и т.д.;

· существующие средства описания и представление моделей на ЭВМ не учитывают специфику моделирования, нет единого представления моделей, генерации новых моделей по банку моделей;

· недооценка возможностей компьютера, который может делать больше, чем простая реализация алгоритма, отсутствие доступа к опыту моделирования на ЭВМ.

При компьютерном моделировании главную роль играет алгоритм (программа), компьютер и технология, т.е. инструментальная система.

При имитационном моделировании главную роль играют технология и средства моделирования.

При работе с моделями нужно помнить. Модель не эквивалентна программе, а моделирование не сводится к программированию.

13. Примеры математических моделей

Математической моделью объекта называют его описание математическими средствами, позволяющее выводить суждение о некоторых свойствах объекта при помощи формальных процедур. Использование математического языка предопределяет необходимость все операции и преобразования в математических моделях осуществлять над математическими объектами: числами, векторами, множествами, матрицами, функциями и т. д. В наиболее общем виде математическая модель объекта представляется уравнением

где X, Y — векторы управляемых и неуправляемых параметров модели.

Рассмотрим несколько простых примеров математических моделей реальных объектов.

Пример 1. Необходимо определить площадь поверхности письменного стола.

Это означает, реальный объект (письменный стол) заменяется абстрактной математической моделью прямоугольника. Прямоугольнику присваиваются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь.

Выбор модели прямоугольника для поверхности стола мы обычно делаем, полагаясь на свое зрительное восприятие. Однако, человеческий глаз как измерительный инструмент не отличается высокой точностью. Поэтому при более серьезном подходе к задаче, прежде чем воспользоваться моделью прямоугольника для определения площади, эту модель, т.е. объект исследования, нужно проверить на предмет описания его моделью прямоугольника. Для этого можно измерить противоположные стороны и обе диагонали прямоугольника. Если они попарно равны, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае от модели прямоугольника надо отказаться, и следует перейти к модели четырехугольника общего вида.

Запись математической модели в виде формулы у(х) = нелинейная функция у зависит от одного фактора х. Здесь может быть множество вариантов нелинейных однофакторных математических моделей:

1. Парабола или ее часть или

2. Равносторонняя гипербола или ее часть

Пример 3. Математические модели определяются по экспериментальным или статистическим данным, обычно представляемым в виде таблиц, например

14. Задача о движении снаряда

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения (y), расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории, время движения (t) и максимальную высоту подъема снаряда (h).под углом

Решение поставленной задачи

Движение тела, брошенного с некоторой начальной скоростью V_о под углом б к горизонту, представляет собой сложное движение: равномерное по горизонтальному направлению и одновременно происходящее под действием силы тяжести равноускоренное движение в вертикальном направлении.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда).

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

15. Задача о баке с наименьшей площадью поверхности

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. На изготовление цилиндрического бака пойдет меньше всего жести, если у него будет радиус и высота

16. Транспортная задача

Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью, и суммарные затраты на перевозку всех грузов являются минимальными.

Исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы:

Исходные данные задачи могут быть представлены в виде:

Математическая модель транспортной задачи

Так как произведение C_ij*X_ij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны:

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из m уравнений описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью и имеет вид:

Вторая группа из n уравнений выражает требование удовлетворить запросы всех n потребителей полностью и имеет вид:

Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок математическая модель выглядит следующим образом:

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарынм запросам потребителей, т.е.:

17. Задача о радиоактивном распаде.

Подобные документы

Применение математического моделирования при решении прикладных инженерных задач. Оптимизация параметров технических систем. Использование программ LVMFlow для имитационного моделирования литейных процессов. Изготовление отливки, численное моделирование.

курсовая работа [4,0 M], добавлен 22.11.2012

Метод имитационного моделирования, его виды, основные этапы и особенности: статическое и динамическое представление моделируемой системы. Исследование практики использования методов имитационного моделирования в анализе экономических процессов и задач.

курсовая работа [54,3 K], добавлен 26.10.2014

Статические и динамические модели. Анализ имитационных систем моделирования. Система моделирования «AnyLogic». Основные виды имитационного моделирования. Непрерывные, дискретные и гибридные модели. Построение модели кредитного банка и ее анализ.

дипломная работа [3,5 M], добавлен 24.06.2015

презентация [1,7 M], добавлен 19.12.2013

Экономико-математическое моделирование как метод научного познания, классификация его процессов. Экономико-математическое моделирование транспортировки нефти нефтяными компаниями на примере ОАО «Лукойл». Моделирование личного процесса принятия решений.

курсовая работа [770,1 K], добавлен 06.12.2014

Классификация бизнес-процессов, различные подходы к их моделированию и параметры качества. Методология и функциональные возможности систем моделирования бизнес-процессов. Сравнительная оценка систем ARIS и AllFusion Process Modeler 7, их преимущества.

дипломная работа [1,6 M], добавлен 11.02.2011

Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Исследованы возможности применения имитационного моделирования для исследования систем массового обслуживания. Результаты моделирования базового варианта системы массового обслуживания.

лабораторная работа [234,0 K], добавлен 21.07.2012

Источник