топология применение на практике
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Практическое применение топологии
 |
Задался вопросом: где и какое используется топология? В чём выгода алгебраического подхода к изучению топологии? Имею в виду алгебраическую топологию, если я, конечно, правильно понял что это.
P. S. Не закидывайте глубокими топологическими понятиями, пока не имел ещё этого предмета и знаю лишь самые общие основы топологии
 |
Общая топология (“general or point-set topology”) находится в глубине чистой математики. Это довольно абстрактная ее область, поэтому, она, как правило, используется в естествознании косвенно.
Например, топология непосредственно используется для получения результатов в математическом и функциональном анализе, а уже эти результаты могут быть использованы, например, в математической физике. Например, я вчера получил из Цюриха письмо о том, что доказываемая моими топологическими методами теорема про аппроксимацию функций на гильбертовом пространстве должна бы гарантировать сходимость метода Эйлера к решению для дифференциального уравнения в частных производных.
Выгода алгебраической топологии следует из самого ее названия, поскольку она занимается переформулировкой топологических проблем в алгебраических терминах, что, зачастую, делает их формулировку проще, прозрачнее, и, как следствие, решабельнее.
Введение в топологию (для чайников и гуманитариев)
Не помню, когда я впервые узнал про топологию, но меня эта наука сразу заинтересовала. Чайник превращается в бублик, сфера выворачивается наизнанку. Многие слышали про это. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серьёзном уровне, часто возникают трудности. Особенно это относится к освоению самых начальных понятий, которые по своей сути очень абстрактны. Более того, многие источники, как будто специально стремятся запутать читателя. Скажем русская вики даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. Там говорится, что это наука изучающая топологические пространства. В статье про топологические пространства читатель может узнать, что топологические пространства — это пространства снабжённые топологией. Такие объяснения в стиле лемовских сепулек не очень проясняют суть предмета. Я попробую далее изложить основные базовые понятия в более ясной форме. В моей заметке не будет превращающихся чайников и бубликов, но будут сделаны первые шаги, которые позволят в конце концов научиться этой магии.
Впрочем, так как я не математик, а стопроцентный гуманитарий, то вполне возможно, что написанное ниже — враньё! Ну, или по крайней мере часть.
Впервые я написал эту заметку, как начало цикла статей о топологии, для своих гуманитарных друзей, но никто из них читать ее не стал. Исправленную и расширенную версию я решил выложить на хабр. Мне показалось, что здесь существует определенный интерес к этой теме и статей как раз такого рода еще не было. Заранее благодарен за все комментарии об ошибках и неточностях. Предупреждаю, что я использую много картинок.
Начнем с краткого повторения теории множеств. Думаю, большинство читателей хорошо с ней знакомы, но тем не менее напомню основы.
Итак, считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Кантор говорил так: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)». Конечно, это просто иносказательное описание, а не математическое определение.
Теория множеств известна (прошу простить за каламбур) множеством удивительных парадоксов. Например. С ней также связан кризис математики в начале XX-го века.
Теория множеств существует в нескольких вариантах, таких как ZFC или NBG и других. Вариантом теории являетсятеория типов, которая весьма важна для программистов. Наконец, некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве фундамента математики использовать теорию категорий, о которой много написано на Хабре. Теория типов и теория множеств описывают математические объекты как бы «изнутри», а теория категорий не интересуется их внутренним строением, а только как они взаимодействуют, т.е. даёт их «внешнюю» характеристику.
Для нас важны только самые начальные основы теории множеств.
Множества бывают конечными.
Бывают бесконечными. Например, множество целых чисел, которое обозначается буквой ℤ (или просто Z, если у вас на клавиатуре нет фигурных букв).
Наконец, есть пустое множество. Оно ровно одно во всей Вселенной. Имеется простое доказательство этого факта, но я не буду его здесь приводить.
Если множество бесконечно, оно бывает счетным. Счетные — те множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Само множество натуральных чисел, как вы догадались, тоже счетно. А вот как можно пронумеровать целые числа.
С рациональными числами сложнее, но и они поддаются нумерации. Этот способ называется диагональным процессом и выглядит, как на картинке внизу.
Обобщением понятия размера для множеств является мощность. Мощность конечных множеств равна числу их элементов. Мощность бесконечных множеств обозначается еврейской буквой алеф с индексом. Самая маленькая бесконечная мощность—это мощность ℵ0. Она равна мощности счетных множеств. Как видим, таким образом, натуральных чисел, так же много, как и целых или рациональных. Странно, но факт. Следующая — мощность континуума. Она обозначается маленькой готической буквой с. Это мощность множества вещественных чисел ℝ, например. Существует гипотеза о том, что мощность континуума равна мощности ℵ1. Т.е., что это следующая после мощности счетных множеств мощность, и нет никакой промежуточной мощности между счетными множествами и континуумом.
Над множествами можно проводить различные операции и получать новые множества.
1. Множества можно объединять.
2. Множества можно «вычитать». Эта операция называется дополнением.
3. Можно искать пересечение множеств.
Собственно это все о множествах, что нужно знать для целей этой заметки. Теперь мы можем приступить к самой топологии.
Топология — это наука, которая изучает множества с определенной структурой. Эта структура также называется топологией.
Пусть у нас есть некоторое непустое множество S.
Пусть же у этого множества будет некоторая структура, которая описывается с помощью множества, которое мы назовем Т. Т представляет собой множество подмножеств множества S такое, что:
1. Само S и ∅ принадлежат T.
2. Любое объединение произвольных семейств элементов T принадлежит T.
3. Пересечение произвольного конечного семейства элементов T принадлежит T.
Если эти три пункта выполняются, то наша структура является топологией T на множестве S. Элементы множества T называются открытыми множествами на S в топологии T. Дополнением к открытым множествам являются замкнутые множества. Важно отметить, что если множество открыто, это еще не означает, что оно не замкнуто и наоборот. Кроме того в данном множестве относительно некоторой топологии могут быть подмножества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми.
Приведем пример. Пусть у нас есть множество, состоящее из трех цветных треугольников.
Самая простая топология на нем называется антидискретной топологией. Вот она.
Эту топологию, также называют топологией слипшихся точек. Она состоит из самого множества и из пустого множества. Это действительно удовлетворяет аксиомам топологии.
На одном множестве можно задать несколько топологий. Вот еще одна очень примитивная топология, которая бывает. Она называется дискретной. Это топология, которая состоит из всех подмножеств данного множества.
А вот еще топология. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я обозначил буквами. Убедитесь, что это топология. Я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение. На этой картинке должно быть само множество S, пустое множество, пересечения и объединения всех остальных элементов топологии также должны быть на картинке.
Пара из топологии и множества на котором она задана называется топологическим пространством.
Если в множестве много точек (не говоря уже о том, что их может быть бесконечно много ), то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4-элементного множества дискретная топология будет насчитывать уже 16, для 5 — 32, для 6 —64 и так далее. Для того, чтобы не перечислять все открытые множества используется как бы сокращенная запись — выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все открытые множества. Это называется базой топологии. Например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников — это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их, можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию. Множества, элементы которого генерируют базу, называют предбазой.
Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии целых 32 подмножества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии — гораздо удобнее.
Для чего нужны открытые множества? В каком-то смысле они дают представление о «близости» между точками и о различии между ними. Если точки принадлежат двум разным открытым множествам или если одна точка находится в открытом множестве, в котором не находится вторая, то они топологически различаются. В антидискретной топологии все точки в этом смысле неразличимы, они как бы слиплись. Наоборот, в дискретной топологии все точки имеют различие.
С понятием открытого множества неразрывно связано понятие окрестности. Некоторые авторы дают определение топологии не через открытые множества, а через окрестности. Окрестность точки p — это множество, которое содержит открытый шар с центром в этой точке. Например, на рисунке ниже показаны окрестности и не окрестности точек. Множество S1 является окрестностью точки p, а множество S2 нет.
Связь между открытым множеством и октестностью можно сформулировать так. Открытое множество — такое множество, каждый элемент которого имеет некоторую окрестность, лежащую в данном множестве. Или наоборот можно сказать, что множество открыто, если оно является окрестностью любой своей точки.
Все это самые базовые понятия топологии. Отсюда еще не ясно как выворачивать сферы наизнанку. Возможно в будущем, я смогу добраться и до такого рода тем (если сам разберусь).
UPD. Из-за неаккуратности моей речи, возникло некоторое недоумение относительно мощностей множеств. Я несколько исправил свой текст и здесь хочу дать пояснение. Кантор, создавая свою теорию множеств, ввел понятие мощности, которое позволяло сравнивать бесконечные множества. Кантор установил, что мощности счетных множеств (например, рациональных чисел) и континуума (например, вещественных чисел) различны. Он предположил, что мощность континуума является следующей после мощности счетных множеств т.е. равна алеф-один. Кантор пытался доказать эту гипотезу, но безуспешно. Позже стало ясно, что эту гипотезу нельзя ни опровергнуть, ни доказать.
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Гимназия № 3 г. Южно – Сахалинска
Топология «на пальцах»
Сурмин Арсений, 6А класс
Комлева Татьяна Николаевна,
Неориентируемые поверхности………………………………. …….. 10
Недавно при разговоре с мамой я услышал странную фразу: гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе по ядру гомоморфизма. Оказалось, что это теорема из такой необычной науки как топология. Мне захотелось узнать больше об этой специфической науке. В Интернете я узнал многое, и мне захотелось посвятить все слои населения в таинства топологии. И проект я посвящу этой замечательной науке.
Цель: донести до людей информацию по топологии и заинтересовать их этой наукой.
Задачи: 1. Изучить основные понятия топологии.
2. Продемонстрировать односторонние поверхности.
3.Показать то, что топология интересная и даже актуальная наука.
Гипотезы: 1. Я предполагаю, что топология-это часть геометрии.
2. Я думаю, что топология, как наука, сформировалась недавно.
Что такое геометрия
Слово «геометрия» в переводе с древнеегипетского означает «землемерие».
Первоначальные геометрические понятия возникли у людей в глубочайшей древности, когда люди оценивали расстояния, делали прямые копья и стрелы, сравнивали их по длине и т.п. Потом с развитием земледелия были выработаны в практике правила и способы измерения земельных участков, правила нахождения простейших площадей и объемов, правила, необходимые для строительства. Например, в Древнем Египте для разметки земельных участков использовали колышки с натянутой между ними веревкой и треугольники, сделанные из палочек, чтобы откладывать равные углы.
В те далекие времена геометрия была достаточно развита: древние люди могли примерно находить площадь круга, объем шара, решать довольно сложные геометрические задачи. На практике была выведена, но еще не доказана теорема Пифагора. Геометрические знания активно использовались при строительстве зданий и храмов.
Как наука геометрия появилась в Греции в период с VII по V вв. до н.э. Первыми философами-геометрами принято считать Фалеса и Пифагора.
Основные достижения греческой геометрии до 300 г. до н.э. были изложены Евклидом в его знаменитом труде «Начала». Там содержатся только основы геометрии того времени. «Начала» состоят из 13 книг, или глав. В каждой из них содержатся определения. Вот некоторые из них:
Точка есть то, что не имеет частей.
Линия – длина без ширины.
Концы линии – точки.
Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
Дальше приведены постулаты и аксиомы – положения, принимаемые без доказательств.
Труд Евклида содержит сведения в области планиметрии (геометрия на плоскости), стереометрии (геометрия в пространстве), теории чисел.
«Начала» служили образцом научного изложения на протяжении двух тысяч лет. Со времен Евклида все учили геометрию по его «Началам».
В XVII в.н.э. в Индии, в Средней Азии, в арабских странах и Европе геометрия получила значительное развитие, были созданы новые теории, новыеметоды.
Позднее, в XIX веке, некоторые ученые в разных странах пришли к выводу о существовании другой, неевклидовой геометрии, где не действовали привычные утверждения Евклида. Появилась так называемая «геометрия Лобачевского», геометрия на искривленных поверхностях. Так, например, если нарисовать треугольник на вогнутой поверхности, то сумма его углов не будет равна 180 градусам.
На сфере «треугольник» может иметь три прямых угла.
Впоследствии были предложены и другие модели геометрии Лобачевского. Тем самым было показано, что геометрия Евклида не является единственно возможной. Это оказало большое прогрессивное воздействие на все дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.
А в XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики, но и связана с физикой. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая в работах X. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна, Г. Минковского, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
С середины XIX века стала выделяться область геометрии, исследующая свойство фигур при непрерывных преобразованиях – топология.
Топология – довольно сложная наука. Она требует знания геометрии, алгебры и других разделов математики, а также умения рассуждать. Но я постараюсь рассказать о топологии простым языком.
Наверное, Вы удивитесь: причем тут бублики? На самом деле, одно из основных понятий топологии – тор, или бублик.
Эта фигура получена путём вращения окружности вокруг оси, которая не пересекает окружность.
А теперь подумайте, что может связывать тор и обычную кружку?
Топология рассматривает превращения фигур. Для этого используется следующее определение.
Гомеоморфизм –это преобразование фигур, обладающее определенными свойствами: взаимно-однозначностью и непрерывностью. Будем считать, что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными.
Например, окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний). Это легко представить себе с помощью замкнутой веревочки – из нее можно выложить окружность, и превратить её в квадрат, и обратно.
В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.
Теперь мы можем понять, что поверхность куба гомеоморфна сфере. Если мы деформируем куб, то можно получить шар.
Вернемся к нашей кружке. Со стороны топологии кружка и тор- это одно и то же. Кружка гомеоморфна тору. То есть можно «надуть» кружку и получить бублик, а потом сдуть его. Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в тор. Заметим, что при таких деформациях одно остается неизменным – наличие «дырки». В данном случае «дырка» одна.
Но из тора сделать шар невозможно, так как будет мешать отверстие в центре.
Из тора можно получить так называемую сферу с ручкой. Прекрасным примером сферы с ручкой является спортивная гиря.
Можно представить себе сферу с множеством ручек. С такими понятиями работает топология.
Еще одно понятие, используемое в топологии – ориентируемость. Такие поверхности, как сфера, тор и неперекрученная лента, называют ориентируемыми или двухсторонними.
Я хочу привести в пример два вида неориентируемых, или односторонних, поверхностей.
Бутылка Клейна — неориентируемая поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математикомФ. Клейном. Она тесно связана с листом Мебиуса.
Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки.
Если пустить жука в отверстие у основания бутылки, то он скоро вползет в полость бутылки уже внутри. Жук отсюда сможет выползти наружу и вползти туда, откуда начал свой путь.
Еще одно из понятий топологии – граф. Такое название никак не связано с тем графом, который ездит на балы. Топологический граф представляет собой множество вершин, соединенных ребрами (отрезками). Теория графов – это раздел математики, изучающий свойства графов.
Впервые о теории графов заговорил математик Л. Эйлер в 1736 году. В том же году он пишет в письме задачу о семи кёнигсбергских мостах. Задача: на реке Прегель в Кёнигсберге (ныне город Калининград) два острова с берегами соединяют семь мостов. Можно ли пройти по каждому мосту только один раз и прийти туда, откуда начали свой путь? Ответ: НЕТ. Можно было бы это сделать, если бы мостов было четное число.
Если вы услышите выражение «граф с торчащим ребром гомотопически эквивалентен графу без торчащего ребра», то не пугайтесь. У настоящего графа с ребрами все в порядке. Речь идет о топологическом графе. Оказывается, в такой серьезной науке, как топология, немало понятий, которые нам кажутся смешными.
Теория графов нашла применение во многих областях строительства. Дома – вершины, а линии электропередачи, дороги, водопровод – ребра. С помощью графов находят кратчайший маршрут до магазина или объездной маршрут вокруг города. Еще теория графов используется в химии при составлении моделей структур молекул. Активно используется теория графов в информатике и программировании. В теории графов и по сей день много нерешенных проблем и задач.
Есть и такое понятие, как топология сети. Это схема соединения компьютеров. 
Топология нашла свое применение в алгебре, геометрии, физике, химии, биологии и во многих других науках. Топология развивается и по сей день. Несколько лет назад петербургский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре, над которой бились на протяжении ста лет математики всего мира. С помощью топологии ученые даже пытаются понять форму вселенной и изучать далекие туманности и черные дыры.
Итак, мои гипотезы подтвердились:
1.Действительно, топология является частью геометрии.
2.Я узнал, что о топологии заговорили всего сто лет назад. Это маленький возраст для науки.
Моя цель и задачи достигнуты.
Я думаю, что топология будет очень важна в будущем для исследования бескрайних космических просторов и для поиска братьев по разуму.
«Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой». Р. Курант