свойства логарифмов примеры для тренировки

Лекционное занятие по теме» Логарифмы и их свойства. Преобразование логарифмических выражений»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ГАОУ КО СПО «Калужский базовый медицинский колледж»

Зам. директора по учебной работе

Рассмотрено на заседании ЦМК общепрофессиональных дисциплин

Председатель ЦМК _____________

Методическая разработка лекционного занятия по математике на тему:

« Логарифмы и их свойства. Преобразование логарифмических выражений..

Тема занятия: «Логарифмы и их свойства. Преобразование логарифмических выражений.»

Тема предыдущего занятия–лекции: «Корни и степени, их свойства. Преобразование выражений».

Тема следующего занятия–лекции: «Основы тригонометрии».

Тип занятия: изучение нового учебного материала.

· ввести понятие логарифма;

· изучить основные свойства логарифмов;

· способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

· способствовать воспитанию у студентов интереса к математике, познавательной активности; коммуникативных навыков.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.

Внутрипредметные связи: «Корень n-ой степени и их свойства», «Степень с рациональным показателем и ее свойства».

Межпредметные связи: история.

1. Мобилизирующее начало занятия. Сообщение темы, целей и плана занятия.

2. Фронтальное решение задач с целью актуализации знаний и мотивации введения нового понятия.

1. Ввести понятие логарифма числа.

3. Рассмотреть основные свойства логарифмов.

3.Ввести понятия десятичного и натурального логарифмов.

4. Начать формировать умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

1. Мобилизирующее начало занятия. Сообщение темы, целей и плана занятия.

Здравствуйте! Приводим себя в порядок (преподаватель смотрит на внешний вид студентов), присаживаемся. (Отмечает отсутствующих).

— Ребята, сегодня на занятии вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие, затем познакомимся со свойствами нового понятия; вы должны научиться различать эти свойства по их записи; научиться применять эти свойства при решении заданий. Будьте собраны, внимательны и наблюдательны. Успехов!

2. Фронтальное решение задач с целью актуализации знаний и мотивации введения нового понятия.

Студентам предлагается определить тему лекции, решив уравнения:

; ; ; ; .

Ответы: ;2; ;-2;-1.

А теперь решим следующие уравнения: ; ; .

Анализируя ответы студентов, приходим к выводу, что первые два уравнения не имеют решения, так как невозможно найти показатель степени, возведя в который можно получить 0 или отрицательное число. Последнее уравнение имеет решение, но мы не знаем в какую степень нужно возвести число 4, чтобы получить 5. Ответ данного уравнения мы можем записать с помощью нового понятия. Это понятие «логарифм». Тема лекции: «Логарифмы и их свойства. Преобразование логарифмических выражений».

План нашей лекции следующий:

1. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

2. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

3. Десятичные и натуральные логарифмы.

4. Преобразование логарифмических выражений

1. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Вернемся уравнению , где . Это уравнение не имеет решений при и имеет единственный корень при . Этот кореньназывается логарифмом b по основанию a и обозначается

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.

Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Основное логарифмическое тождество:

( )

Пример № 2: ,

2. Основные свойства логарифмов.

При работе с логарифмами применяются их следующие свойства.

При любом

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы.

6. Формула перехода к новому основанию:

( x

3. Десятичные и натуральные логарифмы.

В математике принято следующее сокращение:

log₁₀ a = lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят).

Формула 6 потребуется при вычислении логарифма по калькулятору.

Возьмем пример: log3 7 = lg7 / lg3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.

4. Преобразование логарифмических выражений

Пример 3: Вычислите

Пример 4:

Пример5:

Пример 6:Найдите x :

5. Подведение итогов занятия.

1. Вопросы студентам:

1. Что нового мы сегодня узнали?

2. Что называется логарифмом?

3. Перечислите основные свойства логарифмов?

4. Работа по карточкам с целью формирования навыков вычисления логарифма.

5. Домашнее задание. Конспект лекции.

Источник

Примеры решения задач с логарифмами

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции. Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов.

Логарифм произведения, сумма логарифмов

Примеры решения задач с логарифмами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Логарифм частного, разность логарифмов

Логарифм степени

Решение.$\log _ <2>\frac<1><8>+\log _ <5>25=\log _ <2>2^<-3>+\log _ <5>5^<2>=-3 \cdot \log _ <2>2+2 \cdot \log _ <5>5=$

Логарифм корня

$$=\log _ <8>4+\log _ <8>2=\log _<8>(4 \cdot 2)=\log _ <8>8=1$$

Разложение в ряд Маклорена натурального логарифма

Делая обратную замену, получаем:

$x^<2>+4=8 \Rightarrow x^<2>-4=0 \Rightarrow(x-2)(x+2) \Rightarrow x_<1>=2, x_<2>=-2$

Решение. ОДЗ:

$$\left\<\begin x+2>0, \\ x>0, \quad \Rightarrow \\ x \neq 1 \end \quad\left\<\begin x>-2 \\ x>0, \quad \Rightarrow x \in(0 ; 1) \cup(1 ;+\infty) \\ x \neq 1 \end\right.\right.$$

$$x^<2>=x+2 \Rightarrow x^<2>-x-2=0 \Rightarrow x_<1>=2, x_<2>=-1$$

Решение. Находим ОДЗ:

$$\left\<\begin x+1>0 \\ 2 x-3>0 \end \Rightarrow\left\<\begin x>-1 \\ 2 x>3 \end \Rightarrow\left\<\begin x>-1 \\ x>\frac<3> <2>\end \Rightarrow\left(\frac<3> <2>;+\infty\right)\right.\right.\right.$$

Решение логарифмических неравенств

Решение. ОДЗ:

$$x-1>0 \Rightarrow x>1 \Rightarrow x \in(1 ;+\infty)$$

Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству:

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

Источник

Содержание:

Множеством (областью) значений показательной функции

Такое значение аргумента единственное, так как если и то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают т. е.

Таким образом, равенство означает, что Сформулируем определение логарифма еще раз.

Определение:

Пусть Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Приведем несколько примеров:

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство т. е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Согласно этому тождеству, например, имеем: Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Например:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).

Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».

Пример:

а) Записать число в виде логарифмов по основанию

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Пусть тогда верно равенство Поскольку По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем Значит,находится между числами 4 и 5.

Ответ:

Пример:

Решение:

а) Поскольку то по определению логарифма имеем

б)

Ответ:

Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается . Таким образом,

▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При любых положительных значениях b и с верно равенство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем:

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получим

Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа одного знака, то имеет место равенство

Следствие 2. При любом целом имеет место равенство

Пример №1

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:

Теорема:

При любых значениях и верно равенство

Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем

Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим

Применив тождество (3), имеем

Так как Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на В результате получим тождество (6).

Способ 2. Пусть тогда Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Итак,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула

(убедитесь в этом самостоятельно).

Пример №2

Найти значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получим

используя тождество (1), имеем

с учетом условия получим

на основании тождеств (6) и (7) получим

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Ответ:

Следствие 3. Имеют место тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.

Пример №3

Упростить выражение

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ:

Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим выражение где х — переменная, а — постоянная, Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении Таким образом, естественной областью определения выражения является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения т.е. множество

Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.

График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).

Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции при а > 1 (рис. 35). График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).

Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции при 0 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда и лежит в I координатном угле, когда При 0 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник