Sup что означает в математике

Точные грани числовых множеств

Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb\)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb\) называется ограниченным снизу, если
$$
\exists C’\in\mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию \eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>\(\Leftrightarrow\left\ <\exists C’\in \ \mathbb\ \exists C\in\mathbb: \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>\).

Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ \(\mathbb\)>.

По условию \(B=\left\<\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>\). Поэтому
$$
\rceil B=\left\<\forall C \ \in \ \mathbb: \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C Определение 1.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref. Пусть C=c₀,c₁c₂…c_n…; тогда c₀ — неотрицательное целое число, причем C x’.\label$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a₀,<a_n>. Чтобы проверить выполнение условия \eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$x\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$\exists m: \ x\in X_, \ x\not\in X_\label$$

Из \eqref следует, что \(a_0 удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как

Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.

Источник

множество к примеру

задан 1 Ноя ’15 16:27

1 ответ

Мы видим, что у этого множества есть min (наименьшее значение). Оно равно нулю. Если такая точка есть, что она же будет и inf (точной нижней гранью).

Теперь посмотрим на другую сторону. Мы видим, что наибольшее значение ни в какой точке не достигается, потому что за каждым числом имеется следующее, и оно больше предыдущего. Значит, max (наибольшее значение) у множества отсутствует. Но оно ограничено сверху: все рассматриваемые числа чего-то не превосходят. Например, верно то, что все они не больше 100. В таком случае число 100 разрешается называть верхней гранью множества. Ясно, что и многие другие числа обладают этим свойством: например, 50, или 2, или 3/2. Всё это верхние грани. Мы хотим выбрать из них «лучшую», то есть наиболее точную. Ясно, что это будет число 1. Все наши числа не превосходят 1, то есть это верхняя грань. При этом она самая маленькая из возможных: уменьшить её уже нельзя. Дело в том, что наши числа подходят к ней всё ближе и ближе. И если мы уменьшим 1 до, скажем, 0,999, то верхней грани уже не получится, так как число 1-1/n выйдет за указанные пределы, оказавшись правее 0,999 при n > 1000.

Точная верхняя грань (строгое определение см. в учебнике, а также условия, при которых она у множества существует), обозначается как sup. В рассмотренном примере max A отсутствует, но sup A = 1.

Если требуются ещё какие-то пояснения, их можно будет добавить.

Источник

Sup что значит в математике

Этот раздел не завершён.

См. также

Ссылки

Смотреть что такое «Список математических аббревиатур» в других словарях:

Таблица математических символов — В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования. Кроме указанных… … Википедия

Математические обозначения — Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

Аббревиатура — У этого термина существуют и другие значения, см. Аббревиатура (значения). Аббревиатура (итал. abbreviatura от лат. brevis краткий) или сокращение. В старинных рукописях и книгах сокращённое написание слова или группы слов,… … Википедия

Имена советского происхождения — Имена советского происхождения личные имена, бытующие в языках народов бывшего СССР, например в русском,[1][2] татарском[3] и украинском … Википедия

Nav view search

Navigation

Search

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Примеры.

а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.

Решение.

Решение.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Домашнее задание.

Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.

Терема о существовании верхней (нижней) грани.Сначала введем несколько определений.

Определение. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X : x ≥ m и

Пустое множество будем считать ограниченным по определению.

Определение. Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|

Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. — верхняя граница множества X ;

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9691 — | 7545 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Источник

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Для тех, кто подзабыл матешу

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Источник

Sup что значит в математике

Этот раздел не завершён.

См. также

Ссылки

Смотреть что такое «Список математических аббревиатур» в других словарях:

Таблица математических символов — В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования. Кроме указанных… … Википедия

Математические обозначения — Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

Аббревиатура — У этого термина существуют и другие значения, см. Аббревиатура (значения). Аббревиатура (итал. abbreviatura от лат. brevis краткий) или сокращение. В старинных рукописях и книгах сокращённое написание слова или группы слов,… … Википедия

Имена советского происхождения — Имена советского происхождения личные имена, бытующие в языках народов бывшего СССР, например в русском,[1][2] татарском[3] и украинском … Википедия

Nav view search

Navigation

Search

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Примеры.

а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.

Решение.

Решение.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Домашнее задание.

Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.

Терема о существовании верхней (нижней) грани.Сначала введем несколько определений.

Определение. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X : x ≥ m и

Пустое множество будем считать ограниченным по определению.

Определение. Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|

Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. — верхняя граница множества X ;

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9691 — | 7545 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Источник