столяр как математика ум в порядок приводит
Библиотека старых советских учебников по математике
Скачать Советский учебник
Назначение: Для читателей, интересующихся математикой
© «ВЫСШАЯ ШКОЛА» МИНСК 1991
Авторство: Абрам Аронович Столяр
Формат: DjVu Размер файла: 3.66 MB
СОДЕРЖАНИЕ
В популярной форме излагается логика математики, благодаря которой эта наука, по словам Ломоносова, «при* водит в порядок ум» изучающего ее. Показывается как одна и та же математическая теория освещает различные системы объектов одинаковой структуры, что обеспечивает широкое применение математики в разных областях науки и практики.
КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?
СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ
СКАЧАТЬ DjVu
IV. И КАК МАТЕМАТИКУ УЧИТЬ СЛЕДУЕТ (ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ)
У читателя вполне естественно может возникнуть вопрос: почему название этого послесловия начинается с союза «и»?
Союз «и» соединяет здесь название книги с названием послеслованя: «Как математика ум в порядок приводит и как математику учить следует», а для полного и явного выражения мысли надо было бы еще добавить: «чтобы она ум в порядок приводила».
Не надо думать, что математика сама по себе «ум в порядок приводит» независимо от того, как мы ее изучаем. Тема «как математику учить следует» не менее обширна, чем та, которой посвящена эта небольшая книга, и, бесспорно, заслуживает детального рассмотрения в отдельной, специально предназначенной для этой цели книге. Не можем, однако, закончить размышления на тему, как математика ум в порядок приводит, ничего не говоря о том, как математику учить следует, чтобы она ум в порядок приводила.
Мы ограничимся в этом послесловии лишь формулировной и разъяснением некоторых принципов, лежащих в основе того, как математику учить следует.
Автор будет ссылаться при этом на концепцию изучения математики, принадлежащую выдающемуся венгерскому математику н педагогу, большая часть плодотворной научной и педагогической деятельности которого проходила в Стенфордском университете (США). В этом небольшом городе, известном именно своим знаменитым университетом, в декабре 1987 г., на 98-м году жизни скончался Дъерд (Джордж) Пойа. Три переведенные на русский язык его книги по проблемам изучения и преподавания математики («Как решать задачу?», «Математика и правдоподобные рассуждения» и «Математическое открытие») — бесспорно лучшие книги по этим проблемам в мировой литературе.
Кроме того, автор исходит также из сноего собственного большого опыта непрерывного изучения математики, обучения других этому предмету и подготовки учителей математики.
Каковы же эти основополагающие принципы эффективного изучения математики?
Учить математику, не питая особого интереса к ней, «из-под палки», бесполезная трата времени. По-видимому, это относится и к любой другой области знаний. Однако, когда речь идет о математике, то интерес к ней — важнейший помойник в преодолении возникающих в процессе ее изучения трудностей, в мобилизации всех умственных и физических сил для достижения этой цели.
Но откуда берется интерес к математике? Это не врожденное качество, хотя о выдающемся математическом, как и о музыкальном, таланте говорят, что он «от бога», т. е. запрограммирован в генах человека. Интерес к математике воспитуем и даже самовосии-туем. Прежде всего он может воспитываться извне:
увлеченным математикой учителем (кому повезет иметь такого учителя), или ближайшей средой, родителями, старшим братом или другом, уже успевшим полюбить эту, казалось бы довольно непривлекательную, науку. Но это внешнее побуждение — лишь стимул, толчок к внутреннему, к воспитанию у себя интереса к математике.
Нужна сила воли для преодоления возникающих на первых порах трудностей. Иначе может создаться мнение о неспособности к успешному изучению математики, а математика представится скучнейшей, «непробиваемой» наукой. Тогда и возникает вопрос: зачем нужна математика? У того же, кто ею интересуется, такой вопрос никогда не возникнет.
Академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903— 1987), выдающийся математик XX века, в одном из своих выступлений разделил студентов, изучающих математику, на три категории. К первой, самой малочисленной (к сожалению!) он отнес студентов, которые изучают математику, не думая о том, нужна ли она им. Единственным стимулом для ее изучения является интерес к ней. Студенты второй категории изучают математику, потому что сознают, что она нужна им для будущей профессии. К третьей, самой многочисленной (тоже к сожалению!) относятся студенты, которые учат математику, чтобы получить стипендию.
Вообще, для учения имеется много стимулов. «Однако,— считает Д. Пойа,— самым хорошим стимулом для учения является интерес, который вызывает у учащегося изучаемый материал, а лучшей наградой за интенсивную умственную деятельность — наслаждение, доставляемое такой деятельностью» («Математическое открытие.—М.: Наука, 1976.—С. 291). Этот принцип Д. Пойа назвал «Наилучший стимул».
Иногда говорят, что у кого-то хорошие теоретические знания, но он не умеет их применять на практике. Возможно, что в какнх-то областях науки такое разделение знаний и умений имеет смысл. В математике же такое разделение невозможно. Здесь знать, значит уметь.
Д. Пойа следующим образом определяет понятие умения: «Умение в математике — это способность решать задачи, находить доказательства, критически анализировать доводы, с достаточной легкостью пользоваться математическим аппаратом, распознавать математические понятия в конкретных ситуациях» («Математическое открытие».— М.: Наука. 1976.— С. 302). Но находить доказательства — это тоже задача, и критический анализ доводов — задача. Использование математического аппарата характерно для решения задач. Распознавание математических понятий в конкретных ситуациях необходимо для построения математических моделей этих ситуации, а также для решения задач специфического вида. Таким образом, перефразировав определение Пойа, можно сказать, что умение в математике означает в конечном итоге способность решать задачи в самом широком понимании слова «задача».
Математические знания всегда проверялись, проверяются и будут проверяться через умение решать задачи. И именно это умение более всего способствует развитию ума. Поэтому вопрос, как математику уч»гть следует, по существу, сводится к вопросу, как научиться решать задачи.
Прежде всего надо уточнить, какие задачи имеются в виду. Конечно же не задачи, непосредственно решаемые с помощью известных алгоритмов, называемые иногда стандартными (например, «найти площадь прямоугольника с основанием 10 см и высотой 5 см»).
Речь идет о так называемых нестандартных задачах, порождающих необходимость поиска решения, использования разнообразных эвристических приемов. Именно эти задачи бросают вызов интеллекту, а стало быть развивают его.
Отдавая предпочтение нестандартным задачам, мы вовсе не ратуем за полное исключение стандартных задач. Без умения решать стандартные задачи, т. е. без знания соответствующих алгоритмов, нельзя научиться решать нестандартные задачи, так как решение последних, после более или менее сложных, а порой «хитроумных» рассуждений, сводится к решению некоторых стандартных задач. Хорошо известны, например, достаточно сложные уравнения, приводящиеся к каадратным, уже стандартным уравнениям.
Где же взять такие нестандартные задачи? В школьных учебниках их мало, и они обычно содержатся только в разделе «Задачи повышенной трудности». Но есть журнал «Кваит», постоянно публикующий как хорошие нестандартные задачи, так н специальные приемы поиска решения определенных их классов. Выпускается серия под названием «Задачник «Кванта»», имеются и сборники олнмпиадных задач разного уровня (республиканских, всесоюзных, международных олимпиад). Немало задач содержится в книге Д. Пойа «Математическое открытие».
Как же научиться решать задачи? Только в процессе самостоятельного нх решения, причем задач должно быть как можно больше. Возникновение трудностей неизбежно. Хорошую задачу очень редко удается решить сразу, как говорят, «с первого захода». Преодолевать возникающие трудности помогает интерес к решаемой задаче, поэтому мы н поставили его на первое место.
Иногда к одной и той же задаче приходится возвращаться многократно, испробовать различные стратегии поиска. Бывает и так, что после многих безуспешных попыток и долгих размышления, когда уже не думаешь о задаче, неожиданно появляется решение, иногда даже во сне. Этот феномен психологи называют озарением. Однако это явление не происходит на пустом месте, без длительных, усиленных размышлений. При достаточно большом опыте новые задачи иногда уже не вызывают таких больших трудностей, так как среди ранее решенных могут оказаться похожие на них или такие, к которым они сводятся. Важно после решения каждой задачи проанализировать пройденный путь, способ решения, приемы поиска, все то, что может оказаться полезным для рассмотрения задач. Этот заключительный этап процесса решения задачи Пойа называет взглядом назад.
Приемы и методы решения фиксируются не только памятью, но и, что особенно важно, мышлением, которые таким образом обогащаются новыми, порой оригинальными, нестандартными, специфическими для математики способами рассуждений. Происходит постепенное развитие математического мышления.
Участие в математических олимпиадах разного уровня, т. е. соревнованиях с жесткими условиями выполнения заданий за определенное время, требует достаточного опыта решения задач, развитого математического мышления.
Рассказывают, что однажды академик А. Н. Колмогоров наблюдал в МГУ за работой участников математической олимпиады и прикидывал, как решается одна из предложенных задач. В это время один мальчик первым закончил работу, причем дал оригинальное решение этой, по мнению академика, сложной задачи. Андрей Николаевич, восхищенный этим решением, заметил: «Надо бы этому мальчику предложить «Великую теорему Ферма»!».
Многочисленные исследования имели в качестве результата доказательство этого предложения лишь для отдельных значений п. Некоторым математикам казалось, что они нашли общее доказательство, но впоследствии в этих доказательствах обнаружились ошибки.
Может быть, и сам Ферма ошибся и это предложение не верно. Но тогда нужно найти хотя бы одно значение п(п 2), для которого существует тройка (х, у, z) натуральных чисел, удовлетворяющая это уравнение. Однако и такой контрпример не найден. С помощью ЭВМ удалось проверить справедливость утверждения для большого числа значений п. Но это опять-такн не доказательство. И до сих пор никому не удалось найти доказательство, о котором в середине XVII века объявил П. Ферма. (Более подробно о великой теореме Ферма, о других удивительных историях и математических проблемах читатель может узнать в Энциклопедическом словаре юного математика (М.: Педагогика,— 1985)).
3. «ИЗОБРЕТЕНИЕ ВЕЛОСИПЕДА»
Обычно, когда кто-то открывает или изобретает то, что уже давно открыто или изобретено, говорят, что он «изобрел велосипед». Однако, когда «открытие» делается в процессе учения, т. е. учащийся открывает для себя то, что уже давно открыто в науке, он рассуждает как первооткрыватель. И это главное.
Один известный ученый говорил, что в начале он открывал то, что всем было известно, затем он стал открывать то, что лишь немногим было известно, и только после этого он открыл что-то такое, что никому не было известно.
И маленький, шестилетний Колмогоров тоже «изобрел велосипед», открыв закономерность, о которой говорится в эпиграфе к данному послесловию. При этом он, по словам самого Андрея Николаевича, испытал «радость математического открытия».
Не случайно двух упомянутых выше выдающихся математиков объединяет одна общая черта — забота о математическом воспитании школьников, о повышении интереса учащихся к математике. А. Н. Колмогоров был основателем физико-математической школы-194
интерната при МГУ, председателем научно-методического совета школы н сам преподавал в ней. И. М. Гель-фанд—основатель Всесоюзной заочной математической школы н председатель ее научного совета.
Как видно, выражение «изобрести велосипед», которое иногда воспринимается с негативным оттенком, при использовании для обозначения одного из принципов современного преподавания и изучения математики имеет явно положительный смысл. Это и есть принцип активного изучения, по выражению Д. Пойа. Именно оно дает эффект «приведения ума в порядок».
Столяр как математика ум в порядок приводит
ВѢДИ запись закреплена
ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ
Предлагаем вам уникальную подборку советских книг по математике:
1. Перельман Я.И. «Живая математика» (1962г) самая известная книга основоположника жанра «Занимательная наука» Якова Исидоровича Перельмана. В ней собраны увлекательные рассказы-задачи на математические темы, головоломки, а также авторские задачи замечательного ученого.
2. Зайденман И.А., Маргулис А.Я. «Математика в сетевом планировании» (1967г) Брошюра рассказывает о системе сетевого планирования и управления как объекте приложения различных областей математического знания.
3. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. «Математика без формул» все выпуски. Математические формулы — лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.
— Первый концентр обучает простейшим вычислениям (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня), которых достаточно, впрочем, для большинства практических расчетов; этот концентр доступен любому читателю с семиклассным образованием.
— Второй концентр обучает более сложным вычислениям (включая вычисления с перевернутым движком, логарифмы, тригонометрические вычисления, решение трехчленных уравнений, вычисления на линейках с двойными логарифмическими шкалами) и требует большей математической подготовки.
Книга может служить учебным пособием при прохождении соответствующего раздела курса математики для учащихся школ, техникумов и вузов.
5. Лоповок Л.М. «Математика на досуге» (1981г) Данное пособие предназначено для учащихся IV—VIII классов, которые интересуются математикой. Оно содержит сказки и рассказы, в которых описываются события, имеющие прямую связь с математикой. Книга знакомит с методами рассуждения, показывает подход ко многим необычным и ее очень легким задачам. В конце книги приводятся указания к решению предложенных задач. Разнообразный материал книги может быть использован для разумного заполнения досуга школьников н для работы школьных математических кружков.
6. Столяр А.А. «Как математика ум в порядок приводит» (1991г) Иногда высказывается ошибочная точка зрения, что математика состоит из скучнейших формул и длинных утомительных преобразований и вычислений н в отличие, скажем, от музыки, изобразительного искусства и литературы культурный человек вполне может ее не знать и тем не менее им оставаться. Причины этой ошибки коренятся в неправильном понимании значимости математики в общей культуре человечества.
Если интересно 
подписаться
Столяр как математика ум в порядок приводит
Беседа 3. Математика ум в порядок приводит
Дело в том, что наше мышление, перерабатывая ощущения, восприятия и представления о предметах и явлениях, как бы предвосхищает будущее, указывает нам, как поступить, что сделать в создавшейся ситуации. Поэтому от того, как «работает» наше мышление, зависит, поступим ли мы правильно и разумно или нет.
Человек рождается без умения мыслить, лишь с задатками к нему. Мыслить он научается постепенно в процессе жизненной практики, в общении со взрослыми и своими сверстниками, и особенно в обучении.
Одним из наиболее важных качеств мышления является его логичность т. е. способность делать из правильных посылок (суждений, утверждений)правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов.
В связи с этим легко понять, почему так важно самому выводить формулы, доказывать тождества и теоремы. Ведь дело не в том, чтобы вы запомнили их на всю жизнь. Возможно, что они забудутся, но останется привычка рассуждать, сохранится умение объяснять, доказывать не только другим, но и самому себе какие-то истины, укрепится умение искать и находить рациональные пути решения возникающих в жизни проблем.
Изучение математики формирует не только логическое мышление, но и много других качеств человека: сообразительность, настойчивость, аккуратность, критичность и т. д.
Изучение математики, решение математических задач развивают, помимо пространственного воображения, и способность догадываться, угадывать заранее результат, способность разумно искать правильный путь в самых запутанных условиях. Прочтя задачу и еще не производя никаких действий, вы уже научились сразу видеть, что тот или иной способ непригоден для ее решения, а вот какой-то другой способ может быть использован.
Как видим, математику следует глубоко и серьезно изучать не только потому, что она служит основой научного познания, не только потому, что без нее нельзя сделать ни шагу в жизни, в практической деятельности на любой работе, но и потому, что процесс ее изучения способствует развитию у человека важнейших качеств и способностей.
Поэтому хотя изучение математики и требует большого и упорного труда, но оно приносит так много пользы, столь много радостей познания и преодоления трудностей, что вы никогда не пожалеете о затраченных усилиях.
Попытайтесь самостоятельно ответить на вопросы и решить задачи, приведенные ниже. Если вы это не сможете сделать, то прочтите указания или ответы, которые приведены в конце книги, и попробуйте еще раз самостоятельно выполнить заданные упражнения. Если и после этого вы не сумеете это сделать, то постарайтесь разобраться коллективно или обратитесь за консультацией к учителю.
1.1. Почему стол на трех ножках на любом полу стоит не шатаясь, а стол на четырех ножках весьма часто шатается?
1.2. Портной, для того чтобы проверить, является ли лоскут материала квадратом, перегибал его по диагонали и смотрел, совпадают ли при этом вершины лоскута. Достаточна ли такая проверка? Почему?
1.3. Где, в каких науках используется декартова система координат?
1.4. Возьмите учебник физики. Проверьте, сумеете ли вы понять его содержание, если вдруг забудете всю математику.
1.5. Найдите в учебнике истории те страницы, на которых излагается изучаемая вами сейчас тема. Есть ли там математика?
1.7. Докажите, что четных натуральных чисел столько же, сколько и нечетных.
1.8. Числа, кратные 10, очевидно, составляют лишь часть всех натуральных чисел. Между тем вам, должно быть, не трудно доказать, что их не меньше, а столько же, сколько всех натуральных чисел. В чем причина такого парадоксального (необычного) положения?
НПК по теме «Как математика «ум в порядок приводит»»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Солнечная средняя общеобразовательная школа»
Усть- Абаканского района Республики Хакасия
«Как математика «ум в порядок приводит»»
Секция «Математические науки»
Андронова Любовь, 8 класс
Соломатова Серафима Юрьевна,
Глава 1. Что такое ум и каков порядок в математике.
Глава 2. Математика развивается, растёт и умножается.
2.1. Математика на службе у человека.
2.2. Математика в школьных учебных предметах.
2.2.1. Математика и предметы естественнонаучного цикла.
2.2.2. Математика и предметы гуманитарного цикла.
2.2.3. Математика и предметы эстетического цикла.
Глава 3. Исследовательская работа ……………………………….
3.2. Результаты статистического исследования.
Как часто мы, школьники, в последнее время задаём себе риторический вопрос: “Зачем нужно учить математику?”. С развитием компьютеров и электронных гаджетов, казалось бы, любую школьную задачу ученик может решить за несколько минут. Также нередко можно услышать высказывания типа: вот мой папа работает шофёром — для чего ему нужна математика? Считать, вроде бы, научились. Может этого достаточно? Понятно, что определённые математические навыки нужны каждому человеку. Нам приходится в жизни считать, мы постоянно используем, часто не замечая этого, знания о величинах, характеризующих протяженность, площадь, объём, промежуток времени, скорость и многое другое.
А какие восторженные слова говорят о математике великие люди!
Математика – царица наук, арифметика – царица математики. (К.Ф. Гаусс)
Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг. (Ф. Хаусдорф)
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский)
Гипотеза: В высказывании М.В. Ломоносова имеется глубокий смысл, заключающийся в том, что математика учит мыслить логически, осознанно и ясно; развивает абстрактное мышление, учит обобщать и видеть закономерности.
Цель исследования : изучение роли математики в развитии логического мышления.
— Провести статистическое исследование и социологический опрос
— Проанализировать связь математики с другими науками.
-Сбор, обработка и изучение информации по теме.
-Подбор и решение задач из разных учебных предметов.
Объект исследования : великая мысль великого ученого
Предмет исследования : особенность математики как универсального учебного предмета, развивающего логическое мышление обучающихся.
Глава 1. Что такое ум и каков порядок в математике
Что же в таком случае означают слова « математика ум в порядок приводит»? Дело в том, что наше мышление, перерабатывая ощущения, восприятия и представления о предметах и явлениях, как бы предвосхищает будущее, указывает нам, как поступить, что сделать в создавшейся ситуации. Поэтому от того, как «работает» наше мышление, зависит, поступим ли мы правильно и разумно или нет. Человек рождается без умения мыслить, лишь с задатками к нему. Мыслить он научается постепенно в процессе жизненной практики, в общении со взрослыми и своими сверстниками, и особенно в обучении. Одним из наиболее важных качеств мышления является его логичность, т. е. способность делать из правильных посылок (суждений, утверждений) правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов. О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности. И вот оказывается, что это ценнейшее качество возникает и развивается главным образом в процессе изучения математики, ибо математика — это практическая логика, в ней каждое новое положение получается с помощью строго обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, т. е. строго доказывается. М.В. Ломоносов приведенными выше словами и имел всё это в виду. Недаром говорят, что «математика — это гимнастика ума». В связи с этим легко понять, почему так важно научиться выводить формулы, доказывать тождества и теоремы. Ведь дело не в том, чтобы мы запомнили их на всю жизнь. Многие формулы, теоремы забудутся, но останется привычка рассуждать, сохранится умение объяснять, доказывать не только другим, но и самому себе какие-то истины, укрепится умение искать и находить рациональные пути решения возникающих в жизни проблем. Вот эту культуру, дисциплину мысли, её последовательность и доказательность, глубину и критичность, широту и оригинальность, а также необходимую пищу для мышления — систему знаний нам пытаются дать на уроках математики и во внеклассных занятиях по предмету. Эта сторона обучения математике особенно важна в наши дни, поскольку сейчас объём необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, поэтому необходимо ещё каждому ученику научиться самостоятельно пополнять свои знания. Изучение математики формирует не только логическое мышление, но и много других качеств человека: сообразительность, настойчивость, аккуратность, критичность и т. д. Очень важным среди них является пространственное воображение, т. е. умение представить в уме (вообразить) какие-то предметы, фигуры и при этом увидеть их не только неподвижными, но и в изменении, т. е. представить, что произойдет, если их как-то переместить, повернуть и т. д. При изучении математики, при решении геометрических задач все время приходится делать это, и тем самым постепенно развивается и эта важная способность. Например, токарь, получив чертёж, должен до работы представить себе образ той детали, которую ему нужно выточить. А портниха должна обладать хорошими способностями к пространственному воображению, чтобы правильно раскроить материал. Эти же умения и способности позволяют шахматисту направлять фигуры на доске, а полководцу — войска на поле боя. Художник или писатель должен уметь детально вообразить ту ситуацию, которую он хочет описать. Высокий уровень ориентировки в пространстве является необходимым условием для спортсмена, позволяющим ему овладеть своим телом. А инженер? А оператор? А экономист. Нет такой области человеческой деятельности, где не нужны были бы хорошие умения и способности к пространственному воображению. Эта же способность представить в уме — вообразить — важна и для планирования своей работы, своих действий с тем, чтобы все шаги были наиболее разумными, рациональными и безошибочными. Изучение математики, решение математических задач развивают, помимо пространственного воображения, и способность догадываться, угадывать заранее результат, способность разумно искать правильный путь в самых запутанных условиях. Прочтя задачу и ещё не производя никаких действий, необходимо научиться сразу видеть, что тот или иной способ непригоден для её решения, а вот какой-то другой способ может быть использован. Математику следует глубоко и серьёзно изучать не только потому, что она служит основой научного познания, не только потому, что без неё нельзя сделать ни шагу в жизни, в практической деятельности на любой работе, но и потому, что процесс её изучения способствует развитию у человека важнейших качеств и способностей. Поэтому важно понять что, хотя изучение математики и требует большого и упорного труда, но оно приносит так много пользы, столь много радостей познания и преодоления трудностей, что вы никогда не пожалеете о затраченных усилиях.
Глава 2. Математика развивается, растёт и умножается
2.1. Математика на службе у человека
2.2. Математика в школьных учебных предметах
2.2.1. Математика и предметы естественнонаучного цикла
Изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошее знание математики, и без неё невозможно освоить другие предметы. Предметы естественно-математического цикла дают учащимся знания о живой и неживой природе, о материальном единстве мира, о природных ресурсах и их использовании в хозяйственной деятельности человека. Изучение всех предметов естественнонаучного цикла тесно связано с математикой. Она даёт систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также важных для изучения смежных предметов. На основе знаний по математике в первую очередь формируются общепредметные расчетно-измерительные умения. Преемственные связи с курсами естественнонаучного цикла раскрывают практическое применение математических умений и навыков.
Рассмотрим несколько заданий практического содержания из контрольно-измерительных материалов основного государственного экзамена по математике.
География: 
Физика: 
Биология: 
Химия: При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Решение: Пусть первый раствор взят в количестве х грамм, тогда он содержит 0,2х грамм чистой кислоты, а второй раствор взят в количестве у грамм, тогда он содержит 0,5у грамм чистой кислоты. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой (х +у) грамм, по условию задачи, он содержит 0,3(х+ у) чистой кислоты. Следовательно, можно составить уравнение: 0,2 х + 0,5 у = 0,3 (х + у)
Выразим х через у : х = 2у. Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы: х: у = 2 : 1 Ответ: 2 : 1
2. Дан фрагмент электронной таблицы:
После выполнения вычислений была построена диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2. Укажите получившуюся диаграмму.
3. У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 2 2. умножь на 3
2.2.2. Математика и предметы гуманитарного цикла
Леонид Костюков, математик, прозаик, поэт, критик, литературный редактор рассказывает : «Курс математики – изящен, красив и логичен, но его необходимо понимать. Если ребёнок успевает по другим предметам, например, у него хорошо идёт английский, он обязательно справится и с математикой, ведь английский устроен очень логично. Важно только доступно объяснять, не опускать рук, не ставить клеймо «чистый гуманитарий». Не стоит думать, что вам от природы это не дано, что ваше призвание это гуманитарные науки и точные предметы вы учить не в состоянии. Когда кто-то говорит, что у него гуманитарный склад ума и, поэтому, считать, читать формулы и решать задачи он не может в принципе, как бы не хотел, то знайте, что это такая вот изящная попытка оправдать факт отсутствия развитости математических способностей. Не их отсутствия! А только того, что эти навыки, по каким-то причинам не получили должного развития. На всех уроках школьного курса требуется школьнику умение логически рассуждать.
1. «Когда Иван IV стал царем, ему было 17 лет. Через четыре года после принятия Конституции РФ Москва отмечала 850 летие с первого упоминания в летописи. Между первым упоминанием Москвы и венчанием Ивана Грозного на царство прошло 400 лет. В каком году родился Иван Грозный? В каком веке он жил?»
Ответ: 1530 год /XVI век.
2. «Екатерина I правила Российским государством с 1725 по 1727 года. Анна Иоанновна правила в 5 раз дольше, чем Екатерина Алексеевна. А Петр II правивший сразу после Екатерины I на 7 лет меньше, чем Анна Иоанновна. Между началом правления Анны Иоанновны и воцарением Екатерины II прошло 32 года. В каком году к власти пришла Екатерина II?»
Ответ: 1762 – год воцарения Екатерины Великой.
Изучение поэзии также не обходится без математических знаний, прежде всего статистики. А знания о стихотворных размерах и геометрии позволили поэтам использовать геометрические фигуры в написании особых фигурных стихов.
У Некрасова есть произведение «Дедушка Мазай и зайцы», вот отрывок из него:
«Вижу один островок небольшой –
Зайцы на нём собралися гурьбой.
С каждой минутой вода подбиралась
К бедным зверькам; уж под ними осталось
Меньше аршина земли в ширину,
Меньше сажени в длину”.
Вопрос: Каковы же размеры островка в современных единицах длины и площади?
2.2.3. Математика и предметы эстетического цикла
Может показаться, что на уроках музыки, пения, рисования, физкультуры, труда математика не нужна. Но это неверно. И на этих уроках всё время встречаемся с разного рода измерениями и вычислениями. Например, ритм и длительность нот на уроках музыки; перспектива и симметрия на уроках изобразительного искусства; измерение, расчёт времени, скорости движения и сравнение этих величин на уроках физкультуры и т.д. Рассмотрим несколько задач из этой области:
Изобразительное искусство: 
Музыка: Длительность нот, такт, ритм, размеры музыкального произведения 
Физическая культура: Задание из КИМ ОГЭ по математике
2.3. Математика в современных профессиях
Как-то королева Англии пригласила к себе великого Ньютона. Она попросила его сходить на её монетный двор и подсчитать, сколько дополнительных помещений, станков и рабочих надо добавить там, чтобы выпускать в 1,5 раза больше монет. Ньютон провел полдня на монетном дворе, вникая в производство. Остальное время суток он находился за письменным столом, занимаясь расчётами, а утром предложил королеве такое решение: можно, не добавляя ни одного нового помещения, станка и рабочего, увеличить выпуск монет в два раза. Для этого достаточно произвести лишь некоторое изменение в организации производства: изменить последовательность операций, переставить станки, по-иному использовать станки и распределение работ и др. Задача, подобная той, которую решил Ньютон, сейчас имеет массовый характер: как рациональнее организовать перевозку грузов, как раскроить материал, чтобы было меньше отходов, как получить максимальную прибыль из данного производства и т. д. За разработку общего метода решения подобных задач наш советский математик академик Л. В. Канторович стал лауреатом Нобелевской премии.