рогов в а методика и практика технических экспериментов
экзамен / моделирование
эксперимента. Такой эксперимент называется дробным факторным экспе-
риментом (ДФЭ), а таблица его плана – дробной репликой [4, 10, 11, 13 и др].
Уменьшение числа опытов позволяет снизить затраты времени, средств, материалов на проведение и обработку эксперимента.
4.3. Проведение эксперимента
Перед проведением эксперимента необходимо выяснить следующее:
1) можно ли установить выбранные уровни входных факторов на используемом для эксперимента оборудовании и удерживать их во время опыта;
2) возможно ли возникновение негативных последствий от реализации выбранных сочетаний уровней факторов;
3) возможно ли проведение параллельных опытов во время экспери-
4) когда были проверены и откалиброваны измерительные приборы. Параллельными называются опыты, в которых уровни факторов по-
вторяются. Рекомендуется повторять эксперименты не менее трех раз. Проведение параллельных опытов дает возможность сделать более надежными оценки влияния входных факторов на выходной фактор и выполнить расчеты статистических характеристик.
После составления матрицы планирования необходимо произвести рандомизацию опытов.
Рандомизация (от англ. random – случайный) – введение случайной последовательности проведения опытов.
Цель рандомизации – исключение появления и влияния систематических ошибок на результаты эксперимента.
Опыты необходимо рандомизировать во времени.
Для генерирования случайной последовательности опытов можно использовать программы-генераторы случайных чисел. Выбранную случайным образом последовательность опытов нарушать не рекомендуется.
После проведения эксперимента следует тщательно проанализировать полученные результаты. Если среди результатов измерений выходно-
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое эксперимент?
2. Что такое планирование эксперимента?
3. Обозначьте цели планирования эксперимента.
5. Какие виды экспериментов существуют?
6. Что такое план эксперимента?
7. Что такое нулевой уровень фактора? Как он выбирается?
8. Что такое интервал варьирования? Как он выбирается?
9. Что такое полный факторный эксперимент?
10. Что такое матрица планирования эксперимента?
11. Назовите свойства матрицы полного факторного эксперимента.
12. Что такое дробная реплика?
13. Что такое рандомизация? Какова цель проведения рандомизации?
14. Что такое экстремальный эксперимент?
15. Что такое интерполяционный эксперимент?
Глава 5. Регрессионные модели с одной входной переменной
5.1. Основные понятия
Технологические процессы машиностроительного производства, особенно процессы обработки резанием конструкционных материалов, очень сложны по своей физико-химической природе. До сих пор отсутствуют принятые всеми аналитические модели, точно описывающие закономерности процессов изнашивания и нагружения инструмента, тепловых процессов в зоне резания и т. д. Поэтому в технологии машиностроения очень часто используют модели, которые мы ранее обозначили как эмпи-
1 Методика отсеивания грубых выбросов по таблицам критических разностей рассмотрена в кн.: Рогов В. А. Методика и практика технических экспериментов: учеб.
пособие. М., 2005. 288 с.
рические. Эмпирические модели объектов и процессов представляют собой результат обработки экспериментальных данных о поведении объекта или процесса методами математического статистического анализа. Очень часто для построения моделей объектов по результатам экспериментальных исследований используют математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа.
Термины « регрессия » и « корреляция » были введены в широкое употребление статистиками Ф. Гальтоном и К. Пирсоном в конце XIX в. Они изучали взаимозависимости роста и массы людей разного возраста и столкнулись с необходимостью введения таких показателей указанной зависимости, которые бы отражали связь между исследуемыми характеристиками человека, но не определяли бы друг друга строго однозначно. В настоящее время « регрессия » и « корреляция » – основные понятия статистики.
Основная задача корреляционного анализа – выявление значимости связи между значениями различных случайных величин. Зависимость между величинами (в том числе и случайными), при которых одному значению одной величины (аргумента) отвечает одно или несколько вполне определенных значений другой величины, называется, соответственно, одно-
значной или многозначной функциональной зависимостью [11]. Зависи-
мость между величинами, при которой каждому значению одной величины отвечает с соответствующей вероятностью множество возможных значений другой, называют вероятностной (стохастической, статистической). Примерами корреляционной связи являются зависимости между пределами прочности и текучести стали определенной марки, между погрешностями размера и погрешностью формы поверхности детали, между температурой испытания и прочностью материала и т. д.
Математический аппарат регрессионного анализа позволяет:
● оценить неизвестные параметры предлагаемой к исследованию регрессионной модели;
● проверить статистическую значимость параметров модели;
● проверить адекватность модели;
● оценить точность модели.
Вид регрессионной модели предлагает сам исследователь, при этом он исходит из следующего:
● физической сущности изучаемого объекта или явления;
● характера экспериментального материала;
● анализа априорной информации.
Самым простым для моделирования является объект, у которого один входной и один выходной фактор (рис. 5.1). Входной фактор характеризует воздействие на исследуемый объект. В технологических процессах машиностроения это могут быть температура, сила, время, геометрические параметры инструмента, характеристики обрабатываемого и инструментального материалов и т. д. Выходной фактор характеризует реакцию (отклик) объекта на воздействие входного фактора. Выходные факторы в технологических процессах машиностроения – длина пройденного инструментом пути, величина износа, напряжения, качество обработанной поверхности и т. д.
Рис. 5.1. Объект исследования с одним входным и одним выходным фактором
Рис. 5.2. Графическое отображение результатов эксперимента
Рис. 5.3. Построение линии регрессии
Как видно из графика (см. рис. 5.3), всегда имеются отклонения экспериментальных точек от кривой регрессии, что вызвано влиянием других (неучтенных в модели) внешних факторов на исследуемый объект. В моделировании выходной фактор еще называют зависимой выходной перемен-
объекта входной фактор всегда носит детерминированный характер, а выходной – случайный.
Итак, как мы уже говорили, подбор кривой регрессии и регрессионной модели обычно начинают с простой прямой линии и, соответственно, с линейной модели. Если иметь неограниченно большое количество экспериментальных точек, то линейная регрессионная модель имеет вид [12]
где ŷ – значения выходной переменной, рассчитанные (предсказанные) по линейной модели;
x – значения входной переменной; β 0 и β 1 – коэффициенты регрессии; ε – остаток (невязка).
Для пар наблюдений можно записать
Отклонение измеренной величины y от предсказанной ŷ