неевклидова геометрия что это такое простыми словами

Неевклидовы геометрии

Попыток создать геометрию, отличную от евклидовой, было множество. Загвоздка была в том самом постулате о параллельных прямых, который никак не удавалось доказать. И постепенно ученые стали приходить к мысли, что можно построить такую геометрию, где пятый постулат будет отличаться от евклидова. Над этим работали и Карл Гаусс, и Янош Бояи, но первопроходцем стал Николай Иванович Лобачевский, который в 1829 г. опубликовал свои «Начала геометрии». Он оставил первые четыре постулата, но заменил пятый.

Пятый постулат Лобачевского утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее, в то время как в евклидовой геометрии через эту точку можно провести только одну такую прямую.

Иногда ошибочно думают, что в геометрии Лобачевского две параллельные прямые пересекаются, но это не так. Более того, в неевклидовой геометрии вообще ничего не говорится о параллельных прямых — только о непересекающихся. Дело в том, что пространство, в котором действует геометрия Лобачевского, обладает отрицательной кривизной. Такое пространство можно вообразить, если представить себе геометрические тела, похожие на воронку и седло. Во всяком случае, неевклидова геометрия, в отличие от евклидовой, реализуется в искривленном пространстве. А ведь сейчас считается, что пространство нашей Вселенной обладает кривизной. Связана неевклидова геометрия и с теорией относительности Эйнштейна. А евклидова геометрия тоже верна, но является ее частным случаем.

Еще одна геометрия

В науке известны три великие геометрии — Евклида, Лобачевского и Римана. Геометрия Римана реализуется на сфере, и там все прямые пересекаются. Но их при этом нельзя назвать параллельными. Дело в том, что параллельные прямые, согласно своему определению, не пересекаются ни в одной геометрии.

Источник

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.

Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского.

Содержание

Метрика для плоскости

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат:

История понятия

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Неевклидова геометрия» в других словарях:

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера

Неевклидова геометрия — см. Геометрия, Лобачевский и Пангеометрия … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

неевклидова геометрия — неевкл идова геом етрия, неевкл идовой геом етрии … Русский орфографический словарь

неевклидова геометрия — … Орфографический словарь русского языка

неевклидова — (геометрия) … Орфографический словарь-справочник

Геометрия Лобачевского — (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гип … Википедия

Геометрия — (от др. греч. γῆ Земля и μετρέω «мерю») раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения[1]. Содержание … Википедия

Геометрия Римана — Не следует путать с Риманова геометрия. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой… … Википедия

ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

неевклидова — *неевкли/дова (геометрия) … Слитно. Раздельно. Через дефис.

Источник

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ

Неевклидовы геометрии как синтетические теории. Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит точно одна прямая, к-рая лежит в одной плоскости с прямой аи не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых более одной (затем доказывается, что их бесконечно много).

В геометрии Рпмана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Таким образом, система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, к-рые служат для обоснования т. н. отношений порядка геометрия, элементов. Сущность дела в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку во множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку во множестве точек окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологич. моделью плоскости Римана служит проективная плоскость).

Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трех геометрий одинаковы.

Примеры теорем Н. г,

1) В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).

2) В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой

где — внутренние углы треугольника, R- постоянная, к-рая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула

при аналогичном значении символов (в евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет).

3) В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, напр.:

При нек-ром согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная Rв формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число Rназ. радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число Rпри данном масштабе выражает определенный отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, к-рый также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остается неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R=1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:

(для произвольного треугольника) и

(для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число Rназ. радиусом кривизны плоскости (или пространств а) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных (в евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких других формул, выражающих линейные величины через угловые). При замене R на iR формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене Rна iR все метрич. формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрич. смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины Rозначает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н. г. переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличаются от евклидовых.

Неевклидовы геометрии в плане дифференциальной геометрии. В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства; именно: в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты и, v так, что дифференциал ds дуги кривой, соответствующей дифференциалам координат, определяется равенством:

Пусть, в частности, в качестве координаты ипроизвольной точки Мберется длина перпендикуляра, опущенного из Мна фиксированную прямую, а в качестве координаты v- расстояние от фиксированной точки Оэтой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины и, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид

а для плоскости Римана

Так как метрич. форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрич. соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрич. соотношения.

Источник

Неевклидова геометрия

Содержание

История [ править ]

Фон [ править ]

Если прямая линия попадает на две прямые таким образом, что внутренние углы на одной стороне вместе меньше двух прямых углов, тогда прямые линии, если они образуются бесконечно, встречаются на той стороне, на которой углы меньше, чем два прямых угла.

Другие математики придумали более простые формы этого свойства. Однако, независимо от формы постулата, он постоянно кажется более сложным, чем другие постулаты Евклида :

1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.

2. Построить [удлинить] конечную прямую непрерывно в прямую.

3. Описать круг с любым центром и расстоянием [радиусом].

4. Все прямые углы равны друг другу.

Джордано Витале в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.

В работе под названием Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Евклид, свободный от всех недостатков ), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отбросил эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и принялся за работу, доказывая, что большое количество результатов по гиперболической геометрии.

В конце концов он достиг точки, когда он считал, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, по-видимому, было основано на предположениях Евклида, поскольку не было логического противоречия. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не реализовал ее.

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал « Theorie der Parallellinien», в которой он, как и Саккери, попытался доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, теперь известной как четырехугольник Ламберта., четырехугольник с тремя прямыми углами (можно рассматривать как половину четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность тупости четвертого угла, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении об остром угле. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат, согласно которому сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не стал продвигать эту идею дальше. [7]

В то время было широко распространено мнение, что Вселенная работает в соответствии с принципами евклидовой геометрии. [8]

Открытие неевклидовой геометрии [ править ]

Терминология [ править ]

Есть некоторые математики, которые по-разному расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовой». [16]

Аксиоматическая основа неевклидовой геометрии [ править ]

Источник

Биосистемы предпочитают неевклидову геометрию

Почему-то в мире живого прямая линия – исключительная редкость

Об авторе: Юрий Магаршак – специалист в области математического моделирования биологических процессов, главный редактор журнала «Новые концепции», Нью-Йорк.

Треугольный краб (Parthenope horrida). Ни одной прямой линии! Художник Мария Сибилла Мериан. Акварель, кроющие краски. Пергамен. 1704–1705. Рисунок из книги «Мария Сибилла Мериан. Рисованная природа». М., 2012

Изначально евклидовым называлось трехмерное пространство, координаты точек которого находятся как проекции на три прямолинейные координатные оси. Пространство, в котором, согласно первому закону Ньютона, тела движутся прямолинейно и равномерно, пока на них не действует сила, является пространством Евклида.

Эйншейном было показано, что пространство Евклида, в котором существует Вселенная, может искривляться, а распространение луча света в вакууме – отклоняться от прямолинейного под воздействием очень больших масс материи. В частности, это было продемонстрировано во время солнечных затмений: свет от находящихся в этот момент за Солнцем звезд отклоняется от прямой линии. Результат стал веским доказательством в пользу справедливости общей теории относительности (ОТО).

Неевклидовой в математике называется любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида. При этом чаще всего термин «неевклидова геометрия» применяют к двум геометриям с постоянной кривизной: геометрии Лобачевского и сферической геометрии (в просторечии называемой также геометрией Римана). Геометрии Евклида, Римана и Лобачевского – метрические геометрии пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная – геометрии Римана, отрицательная – геометрии Лобачевского.

Все физические поля и определяемые ими процессы на Земле происходят в геометрии Евклида. Свет в однородной среде не отклоняется от прямолинейного распространения. Поэтому утверждение «все живое на земле функционирует в неевклидовых геометриях» для физика звучит абсолютно абсурдно. Однако это не так.

Само собой разумеется, физические поля и в неживой, и в живой материи функционируют одинаково. Отклонений от геометрии Евклида в описании физических полей (которых четыре: гравитационное, электромагнитное, поле ядерных сил, удерживающее частицы в ядре, и поле слабых взаимодействий, ответственное за превращения элементарных частиц), а значит, и в определяемых ими процессах на Земле нет. Физик с абсолютной уверенностью заявит, что все происходящее на Земле происходит в евклидовой геометрии пространства с нулевой кривизной.

Однако результат действия полей в биологических объектах – от клеток до организмов – абсолютно различный. В мире живого прямая линия – исключительная редкость. В частности, на теле человека нет ни одной прямой линии. Ни одна биологическая структура и ни один орган тела в человеческом организме не содержат ни отрезка прямой линии. Или почти ни одного. Ни одна структура – от глаза до какой-либо кости – не имеет ни одного плоского участка. Хотя из того, что все физические процессы на Земле происходят в геометрии Евклида, ожидать можно было бы прямо противоположного.

Каким-то абсолютно непостижимым в настоящее время для теоретического биолога образом все биологические структуры имеют ненулевую кривизну. Причем регулярную и изменяющуюся. Особенно наглядно это видно на примере ракушек. Регулярные геометрические структуры, образующие ракушки, имеют чрезвычайно сложную геометрию, кривизна которой не нулевая, как в геометрии Евклида. Более того, кривизна пространства, в котором синтезируется раковина ракушки, не постоянна, как в геометриях Римана и Лобачевского. Она может переходить из одного пространства в другое! При этом не будем забывать, что форма ракушек определяется генетически. Будучи каким-то образом закодированной в геноме моллюска.

Это не означает, что природа не знает, что такое прямая. Иногда – достаточно редко – возникающие структуры имеют прямолинейное строение. Таковыми, в частности, являются часть формы раковины одного из видов ракушек. Или, например, иголки морского ежа. В целом же практически все статичные и динамичные биологические структуры не имеют плоских или прямолинейных участков. Каким образом in vivo описываемые физическими полями – функционирующими в евклидовой геометрии – процессы порождают формы, описываемые неевклидовыми геометриями, причем с изменяющейся кривизной, является захватывающей научной проблемой. В настоящее время наука, за редчайшими исключениями, не в состоянии не только решить эту проблему, но даже и описать.

Проведем качественное сравнение на примере костей животных и человека с домами. Дома, построенные человеком, в подавляющем большинстве устроены в декартовых координатах, в то время как кости животных, включая и человеческие, по форме исключительно разнообразны. И никогда не плоские или прямые! Это определяется тем, что в домах, особенно многоэтажных, одной из главных проблем является их устойчивость под воздействием силы тяжести, в то время как в мире живого устойчивость (неразурушаемость) кости под воздействием силы тяжести вообще не проблема. Живой организм решает задачи совершенно иного порядка сложности, чем неразрушение под тяжестью тела. А вот для архитектора неразрушение дома под собственной тяжестью, а также в результате отклонения от вертикали – одна из важнейших проблем.

В том, что все процессы в мире живого подчиняются физическим законам, нет оснований сомневаться. Но каким образом на основе законов, функционирующих в евклидовом пространстве, возникают сложнейшие структуры с переменной кривизной – фундаментальная проблема науки. По-видимому, в биологических системах на базе фундаментальных законов физики возникают законы более сложные.

Биологические законы, возникающие в системах, состоящих из множества структурированных компонентов, без сомнения, существуют. Результат действия этих законов – от двуспиральной ДНК до человеческого тела и ракушек – ученые видят. Однако каким образом в биологии происходит образование структур, далеких от евклидовой геометрии, еще только предстоит начать изучать.

Оставлять комментарии могут только авторизованные пользователи.

Источник