Жорданова нормальная форма
Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над k в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.
Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы.
Свойства
История
Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.
Полезное
Смотреть что такое «Жорданова нормальная форма» в других словарях:
жорданова нормальная форма — Jordano norminė forma statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Jordan canonical form; Jordan normal form vok. Jordansche Normalform, f; Kanonische Jordanform, f rus. жорданова нормальная форма, f; каноническая форма Жордана, f pranc. forme … Automatikos terminų žodynas
ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА — матрицы см. Жорданова матрица … Математическая энциклопедия
Нормальная форма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Нормальная форма (значения). Нормальная форма в математике простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями[1]. Содержание 1 Жорданова… … Википедия
Нормальная форма (значения) — Нормальная форма: Нормальная форма в базах данных свойство отношения в реляционной модели данных. Нормальная форма в математике в каком либо смысле простейший либо канонический вид, к которому объект приводится преобразованиями,… … Википедия
Нормальная форма матриц — (жорданова) С каждой квадратной матрицей (См. Матрица) А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана… … Большая советская энциклопедия
ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) … Математическая энциклопедия
Нормальная (жорданова) форма матриц — Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.»… … Большая советская энциклопедия
каноническая форма Жордана — Jordano norminė forma statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Jordan canonical form; Jordan normal form vok. Jordansche Normalform, f; Kanonische Jordanform, f rus. жорданова нормальная форма, f; каноническая форма Жордана, f pranc. forme … Automatikos terminų žodynas
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Жорданова нормальная форма
Жорданова нормальная форма над полем комплексных чисел
Общая схема
Аннулирующий полином
Теорема 5. Минимальный аннулирующий полином оператора является делителем его характеристического полинома. Два минимальных аннулирующих полинома оператора различаются, разве лишь, постоянным множителем.
Следствиями теорем 4 и 5 является следующий результат.
Корневое подпространство
Рассмотрим теперь пример, разобранный в ☞ ПУНКТЕ.
Пример 3. Найти корневые векторы матрицы
Доказательство. Следствие теоремы 2. ♦
Алгоритм построения базиса корневого подпространства
Для визуализации последующего алгоритма построения канонического базиса удобно представить результаты этого этапа в виде схемы:
Мы наблюдаем разноэтажное здание, число квартир на каждом этаже которого не превосходит числа квартир на предыдущем. В ходе дальнейшего алгоритма, часть «жильцов» останется на месте, а часть может быть замещена другими.
4. Продолжаем процесс…
Структура соответствующего канонического базиса
В каноническом базисе корневые векторы, соответствующие указанной последовательности клеток, следует упорядочить по следующему правилу:
Объяснение необходимости перестановки векторов канонического базиса — почему они нумеруются по правилу «сверху вниз», а не поэтажно — дается в следующем ПУНКТЕ.
Пример 3 (окончание). Построить ЖНФ и канонический базис пространства для оператора из примера 3.
Циклическое подпространство
Теорема 11. Пусть система
Построить ЖНФ и канонический базис для оператора из примера 2.
Жорданова нормальная форма над полем вещественных чисел
Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.
Материал для изучения нормальной жордановой формы матрицы и жорданова базиза. Работа содержит теоретический материал, теоремы и примеры.
Просмотр содержимого документа
«Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.»
Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.
Определения и основные понятия
Введем два основных понятия.
1.1 Жорданова клетка
Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу λ0, называется матрица порядка k, 1≤k≤n, имеющая вид:
Также можем сказать, что на её главной диагонали стоит одно и то же число из поля P, а параллельные элементы, ближайшие к главной диагонали сверху, равны 1, все остальные элементы матрицы равны нулю.
Её характеристический многочлен (λ0 − λ) k имеет корень λ0 кратности k.
Таким образом, данная матрица имеет собственное значение λ0 алгебраической кратности k. Отвечающие ему собственные векторы — это ненулевые решения однородной системы линейных уравнений с матрицей
Так как rangB = k −1, так что размерность собственного подпространства равна 1, то существует лишь один линейно независимый собственный вектор. Таким образом, при k ≥ 2 не существует базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора, то есть ни в одном базисе матрица оператора не может иметь диагонального вида. Матрица Jk(λ0) называется жордановой клеткой порядка k, соответствующей собственному значению λ0.
Жордановым блоком, отвечающим собственному значению λ0, называется блочно-диагональная матрица, каждый блок которой представляет собой жорданову клетку вида:
Все элементы матрицы вне жордановых клеток равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице A(λ0) определен неоднозначно.
1.3 Примеры жордановых блоков
Рассмотрим простой случай, когда характеристический многочлен матрицы имеет вид f(λ) = (λ0 − λ) m и геометрическая кратность собственного значения λ0 равна s.
Пример 1. Пусть m = 2, s = 1. Тогда
имеем одну жорданову клетку порядка 2.
Пример 2. Пусть m = 3, s = 1. Тогда
имеем одну жорданову клетку порядка 3.
Пример 3. Пусть m = 3, s = 2. Имеем жорданов блок, состоящий из двух жордановых клеток порядков 1 и 2:
Теорема о жордановой форме матрицы оператора
Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве над полем комплексных чисел размерности n и его характеристический многочлен имеет вид
Тогда в этом пространстве существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора A, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональную форму (она называется жордановой формой)
где A(λj ) — жорданов блок, соответствующий собственному значению λj. Указанный базис называется жордановым.
Сформулированная теорема верна и в случае, когда линейный оператор действует в линейном пространстве над произвольным числовым полем K, но все корни характеристического многочлена принадлежат полю K.
Рассмотрим примеры. Обозначаем через n размерность пространства, mj и sj — алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения λj соответственно.
Пример 1. Пусть n = 2, λ1 ≠ λ2. Тогда матрица оператора может быть приведена к диагональному виду:
Базис векторного пространства, в котором матрица оператора имеет вид одной сплошной ячейки, должен обладать свойством («цикличность»), которое получим на основе правила «столбцы матрицы = образы базисных векторов».
Здесь q обозначает некое, известное нам число.
Это означает, что координаты вектора e1 в этом базисе равны (1,0,0,0).
Как нетрудно проверить, верно и обратное: если первый базисный вектор является по совместительству собственным вектором оператора с собственным числом q, то первый столбец матрицы оператора в таком базисе равен (q,0,0,0).
Теперь займемся вторым базисным вектором e2. Его координаты равны (0,1,0,0). Умножив на столбец (0,1,0,0) нашу матрицу, мы получим в качестве результата ее второй столбец (1,q,0,0). Это означает, что
Точно так же получаются равенства
В итоге мы приходим к выводу: если матрица оператора A в некотором базисе имеет вид Жордановой клетки (ячейки) с числом q на диагонали и с единичкам над ней, то векторы базиса превращаются друг в друга под воздействием оператора B=A-qE:
В этой цепочке стрелки (слева направо) показывают, что из каждого базисного вектора получается под воздействием оператора B.
4 Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы
Пусть λ — собственное значение оператора, m и s — алгебраическая и геометрическая кратности числа λ. Опишем построение линейно независимой совокупности из m собственных и присоединенных векторов, отвечающих данному λ. Этой совокупности векторов в жордановой матрице A′ будет соответствовать жорданов блок A(λ).
Теорема. Существует такое натуральное число q, что
т.е. все ядра с номером, большим, чем q, совпадают с ядром Nq. При этом
Построим часть жорданова базиса, соответствующую данному собственному значению λ, следующим образом.
1. Возводя матрицу B в последовательные натуральные степени, найдем показатель q, начиная с которого ранг степеней матрицы B перестает уменьшаться.
таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 1.
таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 2.
Процесс продолжаем аналогично. Наконец, рассмотрим ядро N1 и векторы
Итак, мы описали процесс построения жорданова базиса и выяснили, что количество жордановых клеток порядка k, входящих в состав жордановой формы матрицы оператора, может быть найдено по формуле
Построенную часть жорданова базиса, состоящую из m векторов, соответствующих данному λ (m — алгебраическая кратность этого собственного значения), запишем в таблицу («жорданова лестница»):
Все векторы таблицы линейно независимы, и их число равно m (алгебраической кратности собственного значения λ). Каждому столбцу этой таблицы соответствует одна жорданова клетка, порядок которой равен высоте столбца. Количество столбцов жордановой лестницы, т.е. полное количество жордановых клеток в блоке, соответствующем собственному значению λ, равно геометрической кратности s этого собственного значения.
Будем нумеровать векторы построенной части базиса по столбцам жордановой лестницы: внутри каждого столбца снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке.
где Jq(λ) — жорданова клетка порядка q с числом λ на главной диагонали.
В следующих q столбцах матрицы A′, определенных векторами второго столбца жордановой лестницы, расположена жорданова клетка Jq(λ) так, что числа λ стоят на главной диагонали матрицы A′, а элементы вне клетки равны нулю. Подобным образом для данного λ получаем m столбцов матрицы A′. На этих m столбцах находится жорданов блок A(λ).
Для других собственных значений эта схема повторяется, в результате чего получим жорданову матрицу A′ и соответствующий жорданов базис.
4.1 Пример решения задач
Дана матрица A линейного оператора в некотором базисе. Требуется найти жорданов базис и жорданову форму матрицы оператора в этом жордановом базисе. Рассмотрим пример решения такой задачи методом построения жорданова базиса.
имеет корень λ = 2 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица B = A − λI равна
Легко проверить, что
Собственные векторы находим, решив однородную систему линейных уравнений BX = O; фундаментальная совокупность решений состоит из двух векторов, например,
Количество этих векторов (т.е. геометрическая кратность собственного значения) равно двум, s = 2, так что для построения жорданова базиса требуется еще один присоединенный вектор.
Дополним базис ядра N1, т.е. набор векторов (2), до базиса ядра N2, например, вектором
Построим жорданову лестницу:
соответствует жорданова клетка порядка 2,
Жорданова форма
Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над k в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.
Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы.
Свойства
История
Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.
Полезное
Смотреть что такое «Жорданова форма» в других словарях:
Нормальная (жорданова) форма матриц — Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.»… … Большая советская энциклопедия
Жорданова нормальная форма — Жорданова матрица квадратная блочно диагональная матрица над полем k, с блоками вида … Википедия
ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) … Математическая энциклопедия
жорданова нормальная форма — Jordano norminė forma statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Jordan canonical form; Jordan normal form vok. Jordansche Normalform, f; Kanonische Jordanform, f rus. жорданова нормальная форма, f; каноническая форма Жордана, f pranc. forme … Automatikos terminų žodynas
ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА — матрицы см. Жорданова матрица … Математическая энциклопедия
Нормальная форма матриц — (жорданова) С каждой квадратной матрицей (См. Матрица) А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана… … Большая советская энциклопедия
Нормальная форма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Нормальная форма (значения). Нормальная форма в математике простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями[1]. Содержание 1 Жорданова… … Википедия
Нормальная форма (значения) — Нормальная форма: Нормальная форма в базах данных свойство отношения в реляционной модели данных. Нормальная форма в математике в каком либо смысле простейший либо канонический вид, к которому объект приводится преобразованиями,… … Википедия
ЖОРДАНОВА МАТРИЦА
— квадратная блочно-диагональная матрица J над полем к, имеющая вид
где Jm(l)- квадратная матрица порядка твида
Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]).
Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две Ж. м. подобны над кв том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали. Количество С т(k)жордановых клеток порядка тс собственным числом кв жордановой форме матрицы Аопределяется формулой
С точки зрения теории инвариантов Ж. м.- это канонич. представители в орбитах присоединенного представления для полной линейной группы. Нахождение аналогичных представителей для произвольной редуктивной алгебраич. группы является пока (1978) нерешенной до конца задачей (см. [6], [7]).
Лит.:[1] Jordan С, Traite des substitutions et des equations algebriques, P., 1870, p. 114-25; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; [4] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5]Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., М., 1975; [6] Семинар по алгебраическим группам. Сб. статей, пер. с англ., М., 1973; [7] Steinberg R., в кн.: Тр. Международного конгресса математиков. Москва. 1966, М., 1968, с. 277-83.
