Что такое задачи на построение

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Основные задачи на построение

В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.

С помощью линейки можно провести:

С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса.

Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с (рис.1).

Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а

Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С₁. Опишем окружность с центром С₁ и радиусом ВС. Точка В₁ пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ₁С₁ (третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис.4).

Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).

Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис.5).

Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля ( большим 1/2 АВ ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Задача 5. Разделить данный отрезок пополам. Решается так же, как и задача 4 (см. рис.5).

Задача 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Решение. Возможны два случая:

1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 6).

Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения. Получаем ОС ⊥ AB. В самом деле, Δ АСВ — равнобедренный, СА = СВ. Отрезок СО есть медиана этого треугольника, а следовательно, и высота;

2) данная точка О не лежит на данной прямой а (рис.7).

Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О₁ — точка их пересечения, отличная от О. Получаем ОО₁ ⊥ AB. В самом деле, точки О и О₁ равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Источник

Класс: 7

Презентация к уроку

Цели уроков:

Тип уроков: урок ознакомления с новым материалом, урок отработки практических навыков, урок закрепления навыков и умений.

2. План решения задач на построение;

3. Выполнение простейших задачи на построение;

4. Решение задач на построение;

5. Примеры задач на построение

1. Вступительная лекция (слайд 3):

Зачем Евклиду потребовались построения? Зачем вообще в геометрии построения? Зачем нужно учиться решать задачи на построение (Евклид называл их проблемами, в отличие от теорем)?

Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Инструменты для построения: (слайд 4):

Инструменты, употребляемые для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным инструментам принадлежат линейка и циркуль, служащие для проведения прямых линий, одиночных, параллельных и перпендикулярных, и окружностей. Угольник есть вспомогательный инструмент, так как, имея линейку и циркуль, можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. К вспомогательным инструментам относится также миллиметровая шкала, которую можно построить с помощью циркуля и линейки, отложив на прямой линии циркулем одинаковые сантиметровые отрезки и разделив каждый из этих отрезков на 10 равных между собою частей. Транспортир есть уже самодеятельный инструмент, так как точное в геометрическом смысле градуирование любой дуги на произвольное число равных частей с помощью линейки и циркуля невозможно.

С глубокой древности повелось допускать к исполнению геометрических построений только циркуль и линейку, т. е. приборы, позволяющие проводить прямые линии и окружности.

С помощью циркуля можно провести произвольную окружность, можно провести окружность с данным центром и данного радиуса. Можно также на данной прямой отложить отрезок, равный данному.

2. План решения задач на построение (слайд 5)

Выполнив анализ, наметив план, описывают само построение. Оно может содержать лишь основные построения и элементарные действия с циркулем и линейкой.

Далее требуется привести доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, кроме того, проделать исследование, т.е. выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.

Таким образом, решение задачи на построение состоит из 4-х частей: анализ, построение, доказательство, исследование. Анализ опускается в простых задачах или в тех, решение которых уже известно.

3. Выполнение простейших задачи на построение

Построение 1: построить треугольник по трем сторонам, т.е. построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам а, b и с. Построение треугольника по трем сторонам сводится к построению последовательно трех отрезков, равных данным (слайд 6).

Доказательство следует непосредственно из равенства сторон построенного треугольника заданным отрезкам.

Построение 2: построить угол, равный данному, от данной полупрямой в данную полуплоскость (слайды 7-8).

Построение 3: построить биссектрису данного угла (слайды 9-10).

Построение 4: деление отрезка пополам (одновременное построение серединного перпендикуляра данного отрезка) (слайд 11).

Построение 5: через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a. Рассмотреть два возможных случая (слайды 12-14).

Построение 6: построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой а. (слайд 15).

4. Решение задач на построение;

Задача 1. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание (слайд 16).

Анализ. ( рис. 1) Предположим, что задача решена, и построен равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, в котором угол ВАС = a и высота BD = отрезку h.

Через точку А проводим прямую, перпендикулярную прямой AN (построение 5), и на построенной прямой откладываем отрезок АМ = h (в той же полуплоскости, в которой построен угол).

Через точку М проводим прямую, параллельную прямой AN (построение 6), точку ее пересечения со стороной угла обозначаем В.

Из точки В опускаем перпендикуляр BD на прямую AN (построение 5) и откладываем DC = DA. Соединяем В и С.

Исследование: В равнобедренном треугольнике угол при основании острый, поэтому построение возможно, если заданный угол острый.

Построение единственно, т.к. точка В находится единственным образом. Задача имеет только одно решение.

Задача 2. Построить треугольник по данному периметру и двум углам (слайд 17).

Анализ (рис. 3) Предположим, что такой треугольник АВС построен.

Аналогично 3 = 4 = /2. В треугольнике А₁В₁С известны два угла 1 и 3 и сторона между ними А₁В₁ = Р. Такой треугольник можно построить, тогда точки А и В найдутся, как точки пересечения серединных перпендикуляров отрезков А₁С и В₁С с прямой А₁В₁.

Доказательство: По построению А₁D = DC, AD А₁С, следовательно, А₁АD = CAD (по первому признаку) и А₁А = АС.

Исследование: Построение возможно всегда, если только сумма двух углов меньше 180° (сумма двух углов треугольника всегда меньше 180° ). Решение единственно, т.к. точка С, а затем точки А и В определяются единственным образом.

Анализ (рис. 4): Предположим, что построен прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным a, и разностью катетов, равной m.

Применим метод спрямления: отложим на прямой АС от точки С отрезок СК, равный ВС, тогда АК = m. В треугольнике АКВ известна сторона АК и два прилежащих угла: ВАК = a и ВКА = 135°. Такой треугольник можно построить, а точку С найти как основание перпендикуляра из точки В на прямую АК.

На прямой l выбираем точку А и откладываем отрезок АК = m. Через точку К проводим перпендикуляр KL к прямой АК (построение 5).

Проводим биссектрису КР угла, дополнительного к прямому углу АКL (построение 3).

От луча АК откладываем угол КАМ, равный данному углу a (построение 2), точку пересечения с прямой КР обозначаем В.

Исследование: Построение возможно, если существует треугольник А₁КС со сторонами А₁С = СК = m и А₁К =а, что возможно лишь при условии а . Построение единственно, все точки определяются единственным образом.

5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Через данную точку провести прямую под данным углом к данной прямой (слайд 20).

Указание к решению задачи: Построить угол, равный данному в произвольной точке данной прямой, одна из сторон которого лежит на этой прямой; затем через данную точку провести параллельную прямую.

Задача 2. описать окружность, которая проходила бы через данную точку А и касалась бы данной прямой в данной на ней точке В (слайд 21).

Задача 3. Провести в треугольнике прямую, параллельную основанию так, чтобы отрезок, заключенный между боковыми сторонами был равен сумме отрезков боковых сторон, считая от основания (слайд 22).

Указание к решению задачи (слайд):Через точку пересечения биссектрис провести прямую MN, параллельную основанию. Получим равнобедренные треугольники ONC и ОМА (теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых, свойства сторон и углов в равнобедренном треугольнике).

Задача 4. На прямой АВ найти такую точку С, чтобы лучи СМ и СN, проведенные из С через данные точки М и N, расположенные по одну сторону от АВ, составляли с лучами СА и СВ равные углы (слайд 23).

Источник

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Содержание:

Ранее мы выполняли построения на плоскости при помощи линейки с делениями, чертежного треугольника, транспортира и циркуля.

Математиков всегда интересовали построения геометрических фигур, которые можно выполнить только при помощи циркуля и линейки. В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые могут быть решены с помощью этих двух инструментов.

Например, при помощи циркуля и линейки можно построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам. Или построить угол, равный данному углу.

Рассмотрим одну из таких задач на построение. На прямой

Найти точку — это значит построить ее при помощи циркуля и линейки. Если перемещать некоторую точку по прямой (положения К₁ К₂, К₃), то расстояния от этой точки до точек А и В будут меняться. Когда эти расстояния станут равными, точка на прямой будет равноудалена от концов отрезка АВ. Значит, она будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Это и есть идея построения: нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ и найти точку его пересечения с прямой .

Чтобы построить серединный перпендикуляр, нужно построить две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках А к В (рис. 293, б). Затем провести прямую MN через точки пересечения этих окружностей (ниже мы обоснуем это построение). В пересечении серединного перпендикуляра MN к отрезку АВ и прямой получим искомую точку К.

Рассмотренная задача может иметь и практический смысл. Допустим, есть два населенных пункта и шоссе рядом с ними. На шоссе нужно найти место для остановки, чтобы путь для жителей обоих населенных пунктов до остановки был одинаковым. Все построения будут сделаны на карте населенного пункта.

При решении задач на построение линейка считается односторонней и без делений. При помощи такой линейки нельзя построить две параллельные прямые, проведя линии по краям линейки, нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя строить перпендикуляры, используя прямоугольную форму линейки. Рассмотрим, какие операции можно выполнять линейкой, а какие циркулем.

Операции с линейкой

При помощи линейки можно провести (построить):

а) произвольную прямую;

б) прямую, проходящую через две точки (рис. 294).

Операции с циркулем

При помощи циркуля можно:

а) построить произвольную окружность и окружность (дугу окружности) с данным центром и радиусом, равным данному отрезку (рис. 295);

б) отложить отрезок, равный данному отрезку, на некоторой прямой.

Откладывание отрезка

Для откладывания отрезка, равного данному отрезку (рис. 296, а) на прямой (рис. 296, б), следует: 1) отметить на прямой точку М; 2) радиусом, равным а, провести дугу окружности с центром в точке М (сделать засечку на прямой ).

В пересечении дуги и прямой получим точку К и отрезок МК, равный .

Операция откладывания отрезка на прямой позволяет построить сумму и разность двух отрезков (рис. 297): в первом случае на произвольной прямой откладывают последовательно два отрезка, во втором — на большем отрезке от любого его конца откладывают меньший отрезок.

В дальнейшем при решении задач на построение мы не будем описывать процедуру откладывания отрезка на прямой, считая ее элементарной операцией.

Перечислим 5 основных задач на построение, к которым сводятся другие задачи. Решая сложные задачи, будем ссылаться на эти основные, не описывая ту часть решения, которая связана с одной из основных задач.

В некотором смысле «линейка» и «циркуль» — это два идеальных робота, которые могут выполнять определенный набор операций. И наша задача — составить алгоритм из последовательности таких операций — команд для этих роботов, который приведет к построению необходимой фигуры. Фактически нужно написать программу для «циркуля» и «линейки».

Замечание. В треугольнике ABC стороны, противолежащие углам А, В и С, будем соответственно обозначать , и , а сами эти углы — , и (рис. 298). Медианы, проведенные к сторонам , и , — высоты — биссектрисы —

Построение треугольника по трем сторонам. Построение угла, равного данному

Задача №1

Построить треугольник со сторонами , и .

Решение:

Пусть даны отрезки , и . На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = (рис.300).

Строим окружность с центром в точке А радиусом . Строим окружность с центром в точке В радиусом . Находим точку С пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АС и ВС.

Треугольник ABC — искомый, так как у него ВС = , АС = , АВ = по построению.

Задача имеет решение, если для данных отрезков , и выполняется неравенство треугольника:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник