В школьном курсе математики за 5 класс, ученики знакомятся с темой прямоугольного параллелепипеда. Это одна из первых фигур курса, имеющих объем. Именно об объеме и формуле его нахождения пойдет речь сегодня.
Определения
Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, все грани которого – прямоугольники. Фигура имеет шесть граней. Грани, пресекаясь, образовывают ребра, их 12.
Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани и две грани оснований. В жизни мы часто сталкиваемся с данной фигурой: шкаф, холодильник, коробка – все они имеют форму прямоугольного параллелепипеда.
Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед
Формула объема данной фигуры
Объем куба (фигуры, все грани которого квадраты) со стороной 1 единица называется 1 кубическая единица.
Рис. 2. Единичный куб
Если заложить такими кубиками дно фигуры (рис. 3), то в длину понадобится 4 куба, а в ширину 3.
Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед, который заполнен шаром кубов
Таким образом, для заполнения основания необходимо:
3 х 4 =12 – так мы вычисляли площадь.
Чтобы заполнить всю фигуру и узнать объем, необходимо посчитать, сколько поместится в высоту таких слоев кубов, к примеру, если это будет 2, то объем составит:
3 х 4 х 2 = 24 кубов
Так, если учесть что длина основания фигуры 4 единицы, ширина – 3, высота – 2, то для того чтобы вычесть объем прямоугольного параллелепипеда необходимо найти произведение этих величин или измерений. Фигура, которая имеет три измерения, называется трехмерной либо объемной.
Для обозначения объема используют букву V.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид:
При необходимости все данные в задании необходимо перевести в одни единицы измерения.
Английский иллюзионист провел 44 дня в стеклянном прямоугольном параллелепипеде, который был подвешен над рекой Темза. В его распоряжении была только вода, подушка, матрас и письменные принадлежности.
Задание: Вычислить объем фигуры, ширина которой 4 дм, длина 50 мм, а высота 10 см.
Решение: Для начала необходимо перевести все данные в одни единицы измерения.
$V = 40 • 5 • 10 = 200 см^3$
Для измерения объема жидкости используют особую единицу измерения – литр (1 л).
Древние измерения жидкости, например кор = 220 л, бат = 22 л.
Измерения объема:
$$1 л = 1 000 см^3 = 1 дм^3$$
$$1 км^3 = 1000 000 000 м^3$$
$$1 м^3 = 1 000 дм^3 = 1 000 000 см^3$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что для того, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда необходимо умножить произведение длины и ширины основания на высоту фигуры. А также мы познакомились с единицами измерения объема.
Объем параллелепипеда
Понятие объема
Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.
Два свойства объёма
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.
Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:
V = a × b × h
Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.
Урок 26 Бесплатно Формулы
Сегодня на уроке мы выясним, что называют формулой и где её применяют.
Разберем правила решения и оформления задач, решаемых с помощью формул.
Рассмотрим примеры таких задач и научимся работать с формулами: выражать неизвестные величины через известные.
Формулы
Математический язык- это формальный, искусственно созданный язык, который состоит из математических знаков, символов, терминов, выражений.
В отличие от естественных языков, этот язык более точный, логичный и краткий.
При переходе с разговорного языка на математический многие утверждения, правила, законы становятся яснее и прозрачнее.
Математика, физика, химия и многие другие науки используют язык математики, который в условной форме позволяет представить информацию наглядно и лаконично, не искажая ее при этом.
Естественными языками легче всего выражать качественные характеристики посредством красноречивых предложений.
Математический язык- это в большей степени количественный язык.
Одним из базовых элементов математического языка являются формулы.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Давайте разберёмся, что означает слово «Формула».
В толковом словаре русского языка Ожегова есть еще одно интересное толкование этого слова: формула- комбинация математических знаков, выражающая какое-нибудь утверждение
Обобщая все выше написанное, можно сказать, что формула- это правило (высказывание), записанное на математическом языке с помощью осмысленной комбинации знаков и символов.
Формулы представляют собой некоторые суждения, которые понятны любому человеку, любой национальности, и неважно каким разговорным языком человек владеет.
В формулу входят переменные. Она устанавливает взаимосвязь между величинами, входящими в нее.
Любые правила, записанные с помощью букв, будут являться примерами формул.
Вам уже известны некоторые математические формулы.
Приведем несколько примеров.
Правило нахождения периметра треугольника: РАВС = a+b+c— формула.
Правило нахождения периметра прямоугольника: Р = 2(a+b)— формула.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решение задач с помощью формул
Нам часто приходится сталкиваться с решением различных задач.
Существуют различные способы и методы решения задач.
Рассмотрим один из них: решение задач с помощью формул.
Процесс решения задач данным способом можно разделить на несколько основных этапов.
Данная последовательность действий не даст ответа на конкретную задачу, но сделает решение ее более понятным и быстрым и позволит решить даже самые непростые задачи.
Рассмотрим общие правила решения задач с помощью формул.
1. Внимательно прочитать, осмыслить и изучить условие задачи.
Следует установить то, что необходимо найти и что известно.
В задачах в основном содержится только существенная информация, т.е. те данные, которые могут быть использованы при их решении.
2. Для лучшего понимания задачи можно ее условия изобразить графически при помощи рисунка, схемы, чертежа и т.д.
С помощью иллюстрации легче понимать и воспринимать информацию.
3. Определить характерные черты задачи.
Следует понять, какого рода задача, чтобы выбрать верный путь ее решения.
Необходимо определить, какими величинами можно описать происходящие процессы, явления, действия, а также важно выяснить, из какой темы будут взяты формулы (если задача сложная, то могут понадобиться несколько формул).
4. Составить план решения задачи.
5. Выразить неизвестную величину через известные величины, т.е. вывести расчетную формулу.
6. Подставить известные числовые значения и произвести вычисления.
7. Оценить размерность (соответствие единиц измерения) величины, полученной в ответе, проверить найденный ответ на наличие вычислительных ошибок.
Чтобы верно и быстро решить задачу, важно не только действовать четко по определенному алгоритму, но и грамотно записывать и оформлять решение этой задачи.
Задачи, решаемые с помощью формул, удобно делить на два блока: «Дано» и «Решение».
В «Дано» обычно с помощью букв или символов записывают заданные величины и величины, которые требуется определить; т.е. кратко обозначают условие задачи.
Можно использовать любые буквы для обозначения заданных и искомых величин, но тогда необходимо делать краткое описание того, какую величину обозначает та или иная буква, выбранная вами.
Однако чаще всего буквенные обозначения величин, если они не указаны в условиях задачи, выбираются в соответствии с принятыми в науке символами.
Многие величины уже имеют специальные обозначения.
Каждая величина имеет единицу измерения.
Сразу в «Дано» переводят единицы измерения в единую систему, так как одна и та же величина должна быть выражена единой единицей измерения.
Иногда в задачах одноименные величины могут быть выражены разными числовыми мерами.
Например, расстояние может быть выражено в одной и той же задаче километрами, метрами и сантиметрами, или время может быть представлено в одном условии задачи в часах, в другом условии этой же задачи в минутах.
В таком случае необходимо выполнить перевод из разных единиц измерения в одну общую, которая будет фигурировать при числовых подсчетах.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чаще всего выбор единиц измерения диктуется установленными международными нормами.
Наиболее широко используемой системой единиц в мире является единая интернациональная система. Называется она сокращенно «Система СИ».
Система СИ принята как основная система единиц в большинстве стран мира.
Страны, которые используют традиционные единицы, ввели коэффициенты и поправки, чтобы связать свои единицы измерения с системой СИ.
СИ создана на основе метрической системы, которая была создана французскими учеными. (с метрической системой мы немного познакомились, рассматривая тему «Отрезок. Длина отрезка.»).
Система СИ определяет семь основных единиц и производные единицы, а также набор приставок.
Системой СИ установлены стандартные сокращенные обозначения единиц.
Урок математики в 5-м классе по теме «Объемы. Соотношения между единицами объема»
Разделы: Математика
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
Цель урока: проверка уровня знаний; закрепление навыков вычисления объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба, совершенствование навыков решения задач.
План урока.
1. Организация начала урока 1 мин.
2. Математический диктант 12 мин.
3. Письменные упражнения 18 мин.
4. Самостоятельная работа 10 мин.
5. Подведение итогов 3 мин.
6. Информация о домашнем задании 1 мин.
Ход урока
1. Сообщение темы урока, цели урока.
1) Фигура составлена из пятидесяти трёх кубиков с ребром один сантиметр. Каков объем этой фигуры?
2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны трём, четырём и десяти сантиметрам. Найдите площадь самой маленькой его грани.
3) Сколько проволоки понадобится для изготовления каркаса куба с ребром десять сантиметров?
4) Выразите в кубических сантиметрах: двадцать кубических дециметров.
5) Выразите в кубических сантиметрах: тридцать семь литров.
6) Выразите в литрах: две тысячи кубических сантиметров.
1) Высота комнаты 3 м, ширина 5 м, длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?
2) Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо налить в этот аквариум, чтобы уровень воды в нём был ниже верхнего края аквариума на 10 см?
3) Длина прямоугольного участка земли 650 м, а ширина на 50 м меньше. Найдите площадь участка и выразите её в гектарах.
4) Длина прямоугольного параллелепипеда 45 см, ширина в 3 раза меньше длины, а высота на 2 см больше ширины. Найдите объём параллелепипеда.
5) Ширина прямоугольника 40 см. На сколько уменьшится площадь этого прямоугольника, если его длину уменьшить на 3 см?
4. Самостоятельная работа по вариантам (каждому ученику выдается листок с заданием.)
Вариант 1.
1) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 20 м, 34 м и 400 дм.
3) Чему равен объём куба, ребро которого 13 см?
Вариант 2.
1) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 15 дм, 25дм и 5 м.
3) Чему равен объём куба, ребро которого 14 см?
5. Итоги урока.
Когда ученики выполняют самостоятельную работу, учитель проверяет математический диктант. Информирует о результатах и сообщает наиболее часто встречающиеся ошибки.
6. Домашнее задание.
Урок по математике для 5 класса «Объёмы. Объем прямоугольного параллелепипеда»
Выбранный для просмотра документ Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.doc
Вычисли площадь поверхности каждого прямоугольного параллелепипеда.
S 1=1132+1152+532=66+110+30=206(см 2 )
3.Вычислите и расположите трехзначные ответы в порядке возрастания. Слайд № 3 И вы сможете прочитать, что мы будем учиться вычислять сегодня.
Сообщение темы урока. (1 мин)
Сегодня на уроке мы продолжим изучение прямоугольного параллелепипеда, введем понятие объема, научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и куба.
Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.
(Тема урока и основные понятия пишутся учителем на доске, а учащимися в тетради.) (Классная работа «Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда») Слайд №4 (Урок сопровождается показом презентации)
Изложение нового материала. (10 мин)
Чтобы сравнить вместимость двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объемы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объем больше объема второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объем первого сосуда меньше объема второго.
Слайд №5 Если наполнить формочку влажным песком, а потом перевернуть и снять ее, получится фигура, имеющая одинаковый объем, что и формочка.
Слайд №6 Для измерения объемов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3).
Например: кубический сантиметр — это объем куба с ребром 1 см.
Кубический дециметр называют также литром.
1 л = 1 дм 3
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо найти, сколько кубиков с объемом 1 куб. единица входит в этот прямоугольный параллелепипед.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.
Слайд №8 Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид
Если ребро куба равно а, то объем V куба равен a • a • a = a 3
Слайд №10 Формула объема куба имеет вид
Запись а 3 называют кубом числа а.
1 м 3 = 1000 дм 3 = 1000 л 1 л = 1 дм 3 = 1000 см 3
1 см 3 = 1000 мм 3 1 км 3 = 1 000 000 000 м 3
Фигуры пространства Слайд №1 2
Физкультминутка. (1 мин)
Закрепление нового материала. (15 мин)
1. Работа по статье учебника (стр. 125-126)
— Прочитайте статью учебника и приготовьтесь отвечать на вопросы.
— Что такое кубический сантиметр, кубический метр?
— Как еще называют кубический дециметр?
— Запишите на доске формулу объема прямоугольного параллелепипеда.
— Скажите словами, как найти объем прямоугольного параллелепипеда.
— Что можно сказать про длину, ширину и высоту куба?
— Как записать формулу объема куба?
— Посмотрите внимательно на формулу объема прямоугольного параллелепипеда.
— Как иначе можно записать формулу объема прямоугольного параллелепипеда?
Выполнение упражнений. Слайд № 1 5
V А = 4 см 3 ; S А = 4 + 4 + 4 + 4 + 1 + 1 = 18 см 2 ;
V В = 4 см 3 ; S B = 3 + 1 + 2 + 4 + 4 + 4 = 18 см 2 ;
V С = 4 см 3 ; S C = 2 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 = 16 см 2 ;
V К = 4 см 3 ; S K = 4 + 4 + 2 + 1+ 3 + 1 + 3 = 18 см 2 ;
V М = 7 см 3 ; S M = 4 + 7 + 2 + 2 + 7 + 6 = 28 см 2 ;
V E = 30 см 3 ; S E = 7 + 7 + 4 + 8 + 8 + 3 + 3 = 40 см 2 ;
V F = 10 см 3 ; S F = 10 4 + 1 + 1 = 18 см 2 ;
V R = 1 10 10 = 100 см 3 ; S R = 10 10 2 + 10 4 = 240 см 2 ;
V N = 10 10 10 = 1000 см 3 ; S N = 10 10 6 = 600 см 2 ;
V = abc = 6 10 5 = 300 (см 3 )
V =abc = 30 20 30 = 18 000 (см 3 )
V =abc = 8 60 120 = 57 600 (см 3 )
V =abc= 21 17 8 = 2856 (см 3 )
V =abc = 300 20 15 = 90 000 (см 3 )
Учебник стр.127 №8 2 2
S пола = S потолка = 4 5 = 20 м 2
S стены = 2(3 4) + 2(5 3) = 24 + 30 = 54 м2
Учебник стр.127 №8 2 3
если а = 8 дм, V = 8 3 = 512 дм 3
если а = 36 см, V = 36 3 = 46 656 см 3
Повторение изученного материала. (3 мин)
Учебник стр.129 №836 (устно)
а) АВХС и АВКР; АВХС и АР DC
б) АВКР – верхняя; АВХС – задняя; РКМ D – передняя; СХМ D – нижняя
— Сколькими способами можно выбрать первую бусинку? (7)
— Сколько вариантов выбора второй бусинки существует для каждой выбранной первой? (6) и т. д.
Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед
Рис. 2. Единичный куб
Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед, который заполнен шаром кубов
ассмотрите рисунок и назовите пропущенные слова:
1 =5 8 2+5 3 2+8 3 2=80+30+48 =158 (см 2 )
1= 11 3 2+ 11 5 2+ 5 3 2= 66 + 110 + 30 = 206 (см 2 )
л = 1 дм 3
