Что такое норма в математике
Немного о нормах
Всем привет. В самый разгар новогодних каникул хотелось бы рассказать немного о нормах.
Различные нормы широко используются в самых разных разделах математики. Всем со школы знакома Евклидова норма:
Довольно часто используется первая и бесконечная нормы:
Сегодня я попытаюсь рассказать, почему они так нумеруются.
В общем виде норма счётномерного вектора определяется следующим образом:
При m = 1 получаем первую норму (сумму модулей компонент). При m = 2 получаем вторую норму (Евклидову).
При необходимости можно рассмотреть случай с 0 inf.
Здесь все члены суммы меньше или равны единице. Так как:
Что и приводит нас к бесконечной норме.
Второй случай называют также часто нормой Хэмминга. Он реализуется при m = 0. Формально запишем определение нормы:
Нам создаёт проблемы корень нулевой степени (означающий, фактически, возведение в пределе в бесконечную степень). Для сведения нулевой нормы к норме Хэмминга выкинем этот корень:
Учитывая, что 0^0=0, получаем норму Хэмминга.
Может быть крайне интересно посмотреть на вид единичных окружностей в разных нормах. Решая аналитически следующее уравнение:
можно построить графики соответствующих окружностей:
В случае первой нормы окружность является ромбом. В случае второй (Евклидовой) нормы окружность имеет привычный нам вид. При увеличении m она всё больше и больше переходит в квадрат (окружность бесконечной нормы). При уменьшении m окружность стремится к кресту, характерному для нулевой нормы.
Формулы были написаны при помощи онлайн редактора LaTeX.
График был построен с использованием библиотеки модулей matplotlib для языка Python.
Решение уравнения было выполнено с использованием языка C в среде Code::Blocks, работавшей в операционной системе Windows 7.
Длиннопост был выполнен с использованием встроенного редактора на сайте pikabu.ru.
Класс, все просто, доступно и понятно.
Примерно то же громко сказал мужик своей жене в кинотеатре за 15 мин до
конца фильма «Малхолланд Драйв». Помню, ржака потом стояла в зале до
самого конца фильма, кажется довольно трагичного 😉
Ничего не понял, но на всякий случай заминусил.
Доктор Купер, вы ошиблись сайтом. да и время выбрали неподходящее
p.s. матан еле-еле сдавал на три хд
Я сам учу мат. статистику для моделирования эконом. реалий. Было бы очень круто, если б ты мне помог советом в каких-то вещах. Ты же посты для познавательных целей выкладываешь. А я жажду познавать мат статистику, только не все понимаю) Мне бы хотелось у профессионала узнать что-либо
Ааааа, всегда хотел это написать:
Судмедэксперт здорового человека
Юра, мы все пролюбили
Норма (математика)
СОДЕРЖАНИЕ
Определение [ править ]
Полунормой на V является функцией со свойствами 1 и 2 выше. [3] п : V → р <\ displaystyle p \ двоеточие V \ to \ mathbb 
Эквивалентные нормы [ править ]
Обозначение [ править ]
Примеры [ править ]
Абсолютная норма [ править ]
Евклидова норма [ править ]
Евклидова норма комплексных чисел [ править ]
Кватернионы и октонионы [ править ]
‖ q ‖ = q q ∗ = q ∗ q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2
>>>
Конечномерные комплексные нормированные пространства
В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:
<\boldsymbol
Нормы такси или нормы Манхэттена [ править ]
не является нормой, поскольку может дать отрицательный результат.
\mathrm
Следовательно, производная по x равна
Для частного случая p = 2 это становится
Максимальная норма (частный случай: бесконечная норма, равномерная норма или супремум) [ править ]
Нулевая норма [ править ]
Расстояние Хэмминга вектора от нуля [ править ]
Бесконечные измерения [ править ]
Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к пространствам ℓ p и L p с нормами
\mathrm
Составные нормы [ править ]
В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, примененный к норме такси, вплоть до инверсии и перестановки осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.
В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).
В абстрактной алгебре [ править ]
Композиционные алгебры [ править ]
Свойства [ править ]
Если у : X → Y является непрерывным линейным отображение между нормированным пространством, то норма ц и норма транспонированным из U равна. [13]
Для норм L p справедливо неравенство Гёльдера [14]
Частным случаем этого является неравенство Коши – Шварца : [14]
Эквивалентность [ править ]
Две нормы ‖ • ‖ α и ‖ • ‖ β в векторном пространстве V называются эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию [4], что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V
‖ x ‖ p ≤ ‖ x ‖ r ≤ n ( 1 / r − 1 / p ) ‖ x ‖ p <\displaystyle \left\|x\right\|_
\leq \left\|x\right\|_
> [16]
Если векторное пространство является конечномерным вещественным или комплексным, все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.
Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества [ править ]
Норма (математика)
Некоторые авторы включают неотрицательность как часть определения «нормы», хотя в этом нет необходимости.
Эквивалентные нормы
Абсолютная норма
Евклидова норма
Евклидова норма комплексных чисел
Кватернионы и октонионы
Каноническая норма на ЧАС <\ Displaystyle \ mathbb из кватернионов определяется
‖ q ‖ знак равно q q * знак равно q * q знак равно а 2 + б 2 + c 2 + d 2
>>>
Конечномерные комплексные нормированные пространства
В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:
<\ boldsymbol
Норма такси или норма Манхэттена
не является нормой, поскольку может дать отрицательный результат.
\ mathrm
Следовательно, производная по x равна
Для частного случая p = 2 это становится
Максимальная норма (частный случай: бесконечная норма, равномерная норма или супремум)
Нулевая норма
Расстояние Хэмминга вектора от нуля
Бесконечные измерения
Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к пространствам ℓ p и L p с нормами
\ mathrm
Составные нормы
В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, примененный к норме такси, вплоть до инверсии и перестановки осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.
В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).
В абстрактной алгебре
Композиционные алгебры
Если у : X → Y является непрерывным линейным отображение между нормированным пространством, то норма ц и норма транспонированным из U равна. [13]
Для норм L p справедливо неравенство Гёльдера [14]
Частным случаем этого является неравенство Коши – Шварца : [14]
Эквивалентность
Две нормы ‖ • ‖ α и ‖ • ‖ β на векторном пространстве V называются эквивалентны, если они индуцируют одну и ту же топологию [4], что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V
Если векторное пространство является конечномерным вещественным или комплексным, все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.
Норма (математика)
СОДЕРЖАНИЕ
Определение [ править ]
Некоторые авторы включают неотрицательность как часть определения «нормы», хотя в этом нет необходимости.
Эквивалентные нормы [ править ]
Обозначение [ править ]
Примеры [ править ]
Абсолютная норма [ править ]
Евклидова норма [ править ]
Евклидова норма комплексных чисел [ править ]
Кватернионы и октонионы [ править ]
‖ q ‖ = q q ∗ = q ∗ q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2
>>>
Конечномерные комплексные нормированные пространства
В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:
<\boldsymbol
Нормы такси или нормы Манхэттена [ править ]
не является нормой, поскольку может дать отрицательный результат.
\mathrm
Следовательно, производная по x равна
Для частного случая p = 2 это становится
Максимальная норма (частный случай: бесконечная норма, равномерная норма или супремум) [ править ]
Нулевая норма [ править ]
Расстояние Хэмминга вектора от нуля [ править ]
Бесконечные измерения [ править ]
Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к пространствам ℓ p и L p с нормами
\mathrm
Составные нормы [ править ]
В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, примененный к норме такси, вплоть до инверсии и перестановки осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.
В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).
В абстрактной алгебре [ править ]
Композиционные алгебры [ править ]
Свойства [ править ]
Если у : X → Y является непрерывным линейным отображение между нормированным пространством, то норма ц и норма транспонированным из U равна. [13]
Для норм L p справедливо неравенство Гёльдера [14]
Частным случаем этого является неравенство Коши – Шварца : [14]
Эквивалентность [ править ]
Две нормы ‖ • ‖ α и ‖ • ‖ β на векторном пространстве V называются эквивалентны, если они индуцируют одну и ту же топологию [4], что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V
‖ x ‖ p ≤ ‖ x ‖ r ≤ n ( 1 / r − 1 / p ) ‖ x ‖ p <\displaystyle \left\|x\right\|_
\leq \left\|x\right\|_
> [16]
Если векторное пространство является конечномерным вещественным или комплексным, все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.
Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества [ править ]
Норма (математика)
Некоторые авторы включают неотрицательность как часть определения «нормы», хотя в этом нет необходимости.
Эквивалентные нормы
Абсолютная норма
Евклидова норма
Евклидова норма комплексных чисел
Кватернионы и октонионы
Каноническая норма на ЧАС <\ Displaystyle \ mathbb из кватернионов определяется
‖ q ‖ знак равно q q * знак равно q * q знак равно а 2 + б 2 + c 2 + d 2
>>>
Конечномерные комплексные нормированные пространства
В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:
<\ boldsymbol
Нормы такси или нормы Манхэттена
не является нормой, поскольку может дать отрицательный результат.
\ mathrm
Следовательно, производная по x равна
Для частного случая p = 2 это становится
Максимальная норма (частный случай: бесконечная норма, равномерная норма или супремум)
Zero norm
Hamming distance of a vector from zero
In metric geometry, the discrete metric takes the value one for distinct points and zero otherwise. When applied coordinate-wise to the elements of a vector space, the discrete distance defines the Hamming distance, which is important in coding and information theory. In the field of real or complex numbers, the distance of the discrete metric from zero is not homogeneous in the non-zero point; indeed, the distance from zero remains one as its non-zero argument approaches zero. However, the discrete distance of a number from zero does satisfy the other properties of a norm, namely the triangle inequality and positive definiteness. When applied component-wise to vectors, the discrete distance from zero behaves like a non-homogeneous «norm», which counts the number of non-zero components in its vector argument; again, this non-homogeneous «norm» is discontinuous.
Infinite dimensions
The generalization of the above norms to an infinite number of components leads to ℓp and Lp spaces, with norms
\mathrm
Other examples of infinite-dimensional normed vector spaces can be found in the Banach space article.
Composite norms
In 2D, with A a rotation by 45° and a suitable scaling, this changes the taxicab norm into the maximum norm. Each A applied to the taxicab norm, up to inversion and interchanging of axes, gives a different unit ball: a parallelogram of a particular shape, size, and orientation.
In 3D, this is similar but different for the 1-norm (octahedrons) and the maximum norm (prisms with parallelogram base).
There are also norms on spaces of matrices (with real or complex entries), the so-called matrix norms.
In abstract algebra
Composition algebras
If u : X → Y is a continuous linear map between normed space, then the norm of u and the norm of the transpose of u are equal. [13]
For the Lp norms, we have Hölder’s inequality [14]
A special case of this is the Cauchy–Schwarz inequality: [14]
Equivalence
‖ x ‖ p ≤ ‖ x ‖ r ≤ n ( 1 / r − 1 / p ) ‖ x ‖ p <\displaystyle \left\|x\right\|_
\leq \left\|x\right\|_
> [16]
If the vector space is a finite-dimensional real or complex one, all norms are equivalent. On the other hand, in the case of infinite-dimensional vector spaces, not all norms are equivalent.
Equivalent norms define the same notions of continuity and convergence and for many purposes do not need to be distinguished. To be more precise the uniform structure defined by equivalent norms on the vector space is uniformly isomorphic.
All seminorms on a vector space V can be classified in terms of absolutely convex absorbing subsets A of V. To each such subset corresponds a seminorm pA called the gauge of A, defined as
where ‘inf’ is the infimum, with the property that
Any locally convex topological vector space has a local basis consisting of absolutely convex sets. A common method to construct such a basis is to use a family (p) of seminorms p that separates points: the collection of all finite intersections of sets <p Suppose now that ( p) contains a single p: since ( p) is separating, p is a norm, and A = <p is its open unit ball. Then A is an absolutely convex bounded neighbourhood of 0, and p = pA is continuous. The converse is due to Andrey Kolmogorov: any locally convex and locally bounded topological vector space is normable. Precisely: If V is an absolutely convex bounded neighbourhood of 0, the gauge gV (so that V = <gV ) is a norm.