Что такое нод нок ноз

Что такое НОД

Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется наибольшее число, на которое будут делится оба числа без остатка.

Обозначение: НОД(А; В).

Это простой пример. А как быть с большими числами, для которых надо отыскать НОД?

ПРИМЕР. Найдем НОД чисел 81 и 45.

В тех случаях, когда у двух чисел нет одинаковых простых множителей, единственным натуральным числом, на которое нацело будут делиться такие числа будет 1. НОД таких чисел = 1. Например: НОД (7;15) = 1.

Что такое НОК

Число А называют кратным числу В, если А делится на В без остатка (нацело). Например, 10 делится нацело на 5, поэтому, 10 кратно 5; 11 не делится нацело на 5, поэтому, 11 не кратно 5.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел называется наименьшее число, кратное этим двум числам.

Обозначение: НОК(А; В).

Правило отыскания НОК:

ПРИМЕР. Найдем НОК чисел 81 и 45.

405 является наименьшим кратным для чисел 81 и 45: 405/81 = 5; 405/45 = 9.

Если у двух чисел нет одинаковых простых множителей, то НОК для таких чисел будет равен произведению этих чисел.

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Источник

Наибольший общий делитель (НОД), свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Проверить результаты вычислений можно с помощью онлайн-калькулятора НОД и НОК.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Ответ: НОД (24, 18) = 6

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Источник

Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Решение

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

Решение

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Решение

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

Решение

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Решение

Источник

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, алгоритмы их нахождения и свойства

Сформулируем несколько определений, имеющих отношение к понятиям наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Если два или несколько натуральных чисел не имеют общих натуральных делителей, отличных от единицы, то эти числа называются взаимно простыми. При этом каждое из них в отдельности не обязательно должно быть простым. Например, числа 7 и 9 — взаимно простые; 4, 5 и 6 — взаимно простые.

Так как числа могут иметь лишь конечное число общих натуральных делителей, то среди них всегда имеется наибольший, который называется наибольшим общим делителем и обозначается НОД. В случае взаимно простых чисел он равен единице.

Рассмотрим стандартный алгоритм нахождения НОД ()

1) Разложим каждое из чисел на простые множители;

2) перебирая все различные простые множители, входящие хотя бы в одно из этих чисел, возьмём каждый из них в наименьшей степени, с которой он входит в числа ;

3) перемножим взятые множители (с наименьшими степенями вхождения). Полученное число и будет НОД( ).

Если натуральное число а является кратным для каждого из чисел (т.е. делится на любое из этих чисел нацело), то а называется общим кратным чисел . В частности, произведение нескольких натуральных чисел всегда является их общим кратным. Среди всех общих кратных данных чисел(их бесконечно много) всегда имеется наименьшее; оно называется наименьшим общим кратным и обозначается

Стандартный алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел состоит в следующем:

Можно определить понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного для произвольных целых (ненулевых, но не обязательно натуральных) чисел. Так, наибольшим общим делителем целых чисел называется такой положительный общий делитель чисел , который делится на любой другой общий делитель этих чисел. Наименьшим общим кратным отличных от нуля целых чисел называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Как уже отмечалось, отыскание НОД двух натуральных чисел а и b требует предварительного разложения этих чисел на простые множители. Это несложно сделать, если числа невелики, но разложить на множители многозначные числа бывает трудно. Существует способ отыскания НОД, требующий лишь умения делить с остатком (см. следующий пункт). Этот способ предложил в свое время Евклид, поэтому он называется алгоритмом Евклида и основан на следующих утверждениях.

Перечислим наиболее важные свойства НОД и НОК, позволяющие лучше изучить природу этих понятий.

Свойства НОД и НОК

Для любых натуральных a,b,C,d справедливы следующие свойства.

2. В частности, если то (свойство верно только для двух чисел а,b).

4. Если то

5. Если , то

6.Общий множитель С можно выносить из-под знаков НОД и НОК:

7.Два (три) последовательных натуральных числа взаимно просты:

8.Пошаговое (,последовательное) вычисление НОД и НОК:

9.Если b > а , то НОД(а,Ь)= НОД(а,b- а).

10. Если при делении числа а на число b получается ненулевой остаток q

Знание указанных свойств позволяет на практике упрощать решение многих задач, в которых используются понятия НОД и НОК.

Деление с остатком

Пусть имеются два числа а и b Разделить целое число а на натуральное число b с остатком значит найти два целых числа р и q таких, что справедливо равенство

Сравнимость по модулю

и читают: « а равно b по модулю п ».

Можно доказать, например, что введённая таким образом операция сравнения обладает следующими свойствами.

1. Два числа, сравнимые с третьим по одному и тому же модулю, сравнимы между собой (по этому же модулю):

2. Сравнения по одному модулю можно складывать:

3.Сравнения по одному модулю можно почленно перемножать:

4. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое число:

В следующей задаче эффективно используются некоторые из свойств операции сравнения по модулю.

Пример №1.

Найти остатки от деления на 8:

1) суммы 88881 + 88882 + 88883 + 88884 + 88885,

Решение:

1) Числа 88881,88882,88883,88884,88885 при делении на 8 дают соответственно остатки 1,2,3,4,5. То есть

Тогда по свойству 2 имеем

2) По свойству 3 имеем

Ответ: остаток от деления суммы на 8 равен 7; остаток от деления произведения на 8 равен 0.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник

Простые и составные числа, НОД и НОК

Тема простых чисел, общих делителей и кратных даёт простор для озадачивания юных математиков посильным и остроумным счётом. А матёрым математическим мастодонтам — простор для исследований, которые далеки от завершения.

Натуральный ряд

Простые числа

Простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на единицу.

Простых чисел бесконечно много (это утверждение доказано в отдельном уроке).

Составные числа

Составные числа — делятся на другие числа ( другими словами — представляются в виде произведения своих делителей).

24 = 2 × 2 × 2 × 3
25 = 5 × 5
26 = 2 × 13
27 = 3 × 3 × 3
28 = 2 × 2 × 7

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких данных чисел — это наибольшее число, на которое делятся все данные числа.

НОД(3;7) = 1
НОД(12;8) = 4

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких данных чисел — это наименьшее число, которое делится на все данные числа.

НОК(3;7) = 21
НОК(12;8) = 24

Взаимно простые числа

Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель = 1.

Что значит разложить число на простые множители?

Составное число можно по-разному разложить на множители

12 = 3 × 4 или 12 = 6 × 2,

потому что 4 делится и 6 делится. Но существует только одно разложение на простые множители

потому что 2 и 3 уже дальше не делятся.

Как найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел?

Чтобы найти НОД нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и общие множители перемножить.

НОД(96;150) = 6
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
3 и 2 — это общие множители
3 × 2 — это наибольший общий множитель.

НОД(72;60) = 12
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
3 и 2 и 2 — это общие множители
3 × 2 × 2 — это наибольший общий множитель.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел?

Чтобы найти НОК нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и множители одного числа домножить на недостающие множители из других чисел.

НОК(96;150)=2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2

150 = 5 × 5 × 3 × 2 — не делится на 96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, поэтому к 150 припишем недостающие четыре двойки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400

96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 — не делится на 150 = 5 × 5 × 3 × 2, поэтому к 96 припишем недостающие две пятёрки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400

НОК(72;60) = 360
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2

72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 не делится на 60, поэтому к 72 припишем недостающую 5 — получится 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 360

60 = 5 × 3 × 2 × 2 не делится на 72, поэтому к 60 припишем недостающие 3 × 2 — получится 5 × 3 × 2 × 2 × 3 × 2 = 360

Источник