Что такое неполный квадрат
Формулы сокращённого умножения
При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.
Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.
Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.
Разложение формул сокращенного умножения
Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.
Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:
Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Неполный квадрат суммы
это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:
которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.
Неполный квадрат разности
это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:
которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.
Формулы сокращенного умножения
У истоков создания этого проекта лежит небольшая формула, которую я заметил в этом году. Если говорить точнее, это закономерность между числами. Я долго интересовался тем, что это за формула, но разные люди предполагали абсолютно разные варианты. Поскольку, безусловно, эта формула связана с квадратами чисел и я не знаю, придумал ли ее кто-то до меня, я решил сделать презентацию, в которой помимо этой закономерности рассказывалось о какой-нибудь интересной теме. Так я решил создать этот научно-исследовательский проект.
Квадрат суммы
Начнем с азов. Наверняка, каждый семиклассник (не говоря уже и о более старших школьниках) знает эту формулу. Но все же для закрепления материала стоит проверить эти знания.
Квадрат разности
А вот на этой теме уже начинают встречаться сложности. К сожалению, не все ученики помнят эту формулу, некоторые путаются, но я надеюсь, что никто из нашего класса не ошибется ни в записи, ни в формулировке.
А читается эта формула: >.
Немного из истории. Вот мы и вспомнили первые две формулы сокращенного умножения. Как оказалось, ничего страшного в этом нет!
А задавались ли вы когда-нибудь вопросом, кто же все-таки придумал эти две формулы: квадрат суммы и квадрат разности? Некоторые источники говорят, что это был древнегреческий математик Евклид. Это было действительно уникальное открытие, поскольку мы знаем, что он жил еще в III веке до нашей эры.
Разность квадратов
Вот мы и дошли до последней формулы, связанной с квадратами чисел. В следующем слайде я докажу, почему она последняя. А пока что попытаемся вспомнить разность квадратов.
При этом следует помнить, что множители можно менять местами.
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел.
Сумма квадратов
Но в школьном курсе не дается понятие этой формулы сокращенного умножения, потому что ее попросту не существует. А сейчас мы рассмотрим, почему.
Неполный квадрат
Сумма кубов
Вот мы и приступили к тому моменту, который, как я подозреваю, мало кто помнит. Время проверить знания.
Сумма кубов двух чисел равна произведению этих чисел и неполного квадрата их суммы.
Разность кубов
И сейчас мы вспомним еще одну, очень похожую на предыдущую, формулу.
Куб суммы
Эту формулу и следующую за ней немного сложно запомнить, но я все же надеюсь, что в нашем классе есть ученики с хорошей памятью, что мы сейчас и проверим.
Куб суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, утроенного произведения квадрата первого числа на второе, утроенного произведения первого числа на квадрат второго и куба второго числа.
Куб разности
И вот наконец мы дошли до последней формулы, изучаемой в седьмом классе.
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа.
Неполный квадрат суммы
Неполный квадрат суммы в алгебре встречается в качестве составной части формулы разности кубов. Важно при преобразовании многочленов научиться видеть неполный квадрат и не путать его с полным квадратом суммы.
Неполный квадрат суммы — это сумма трех слагаемых, два из которых являются квадратами некоторых выражений, а третье равно произведению этих выражений.
У неполного квадрата суммы, в отличие от полного, произведение выражений не удваивается.
С помощью букв неполный квадрат суммы можно записать так:
Примеры неполных квадратов —
На практике квадраты и произведение записаны в свернутом виде, поэтому, чтобы понять, является ли выражение полным либо неполным квадратом суммы, его надо проанализировать. На первых шагах изучения темы формулы имеет смысл подробно расписывать, в дальнейшем — делать это устно.
Как определить, является ли некоторое выражение неполным квадратом суммы?
Признаки неполного квадрата суммы
1) Выражение состоит ровно из трех положительных слагаемых.
2) Два слагаемых представляют собой квадраты некоторых выражений.
3) Третье слагаемое равно произведению этих двух выражений.
49y²=(7y)², 9b²=(3b)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 7y и 3b: 7y∙3b=21ab — да, равно. Значит, это выражение является неполным квадратом суммы.
С помощью схемы это можно записать так:
36m²=(6m)², 25n²=(5n)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 6m и 5n: 6m∙5n=30mn≠60mn. Значит, это выражение не является неполным квадратом суммы (60mn=2∙6m∙5n, то есть здесь есть полный квадрат суммы).
Слагаемые в выражении могут стоять в произвольном порядке (не обязательно в соответствии с формулой).
Иногда выражение, не являющееся неполным квадратом суммы, может быть к нему приведено. Например,
Здесь все три слагаемые — с «-«, то есть это выражение квадратом суммы быть не может. А что, если вынести «минус» за скобки? При этом знак каждого слагаемого в скобках изменится на противоположный:
В этом случае в скобках получили неполный квадрат суммы.
В скобках получили неполный квадрат суммы.
Умение раскладывать многочлены на множители и преобразовывать выражения, в том числе, содержащие разность кубов, в алгебре — обязательно.
Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.
Формулы сокращенного умножения
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.
Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.
Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Для четных показателей 2m:
Для нечетных показателей 2m+1:
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Примеры применения ФСУ
Применим формулу суммы квадратов и получим:
Сокращаем и получаем:
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Формулы сокращённого умножения
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
Предостережение!
Квадрат разности
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2
Куб суммы
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
Предостережение!
Куб разности
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.
(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».