Что такое неоднородное дифференциальное уравнение

Линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений (ДУ) такого типа называют линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения на отрезке [a;b] представляет собой линейную комбинацию 2х линейно независимых частных решений y₁ и y₂ нашего уравнения, т.е.:

.

Самое сложное заключается в определении линейно независимых частных решений ДУ такого типа. Зачастую, частные решения выбирают из таких систем линейно независимых функций:

Но достаточно редко частные решения представляются именно так.

Примером линейного однородного дифференциального уравнения можно назвать .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения определяется как ,

где y₀ является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,

а является частным решением исходного ДУ. Метод определения y₀ мы сейчас обсудили, а вычисляют, используя метод вариации произвольных постоянных.

Как пример линейного неоднородного дифференциального уравнения приводим .

Познакомиться ближе с теорией и просмотреть примеры решений можете здесь: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Источник

Что такое неоднородное дифференциальное уравнение

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: \[\left( x \right) = \left( x \right) + \left( x \right).\] Вместо постоянных \(\) и \(\) будем рассматривать вспомогательные функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right).\) Будем искать эти функции такими, чтобы решение \[y = \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right)\] удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью \(f\left( x \right).\)

Неизвестные функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) определяются из системы двух уравнений: \[\left\< \begin \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right) = 0\\ \left( x \right) \left( x \right) + \left( x \right) \left( x \right) = f\left( x \right) \end \right..\]

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

\(f\left( x \right) = \left[ <\left( x \right)\cos\left( <\beta x>\right) + \left( x \right)\sin\left( <\beta x>\right)> \right]>,\) где \(<\left( x \right)>\) и \(<\left( x \right)>\) − многочлены степени \(n\) и \(m,\) соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае \(1,\) если число \(\alpha\) в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель \(,\) где \(s\) − кратность корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении.

В случае \(2,\) если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель \(x.\)

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида \[ <\left( x \right)>\;\;\text<и/или>>\;\; <\left[ <\left( x \right)\cos\left( <\beta x>\right) + \left( x \right)\sin\left( <\beta x>\right)> \right]>,> \] то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Источник

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Теорема общего решения ЛДНУ

, где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y

. Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y

является частным решением y

Решение

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y

Найдем их из равенства вида y

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Применив теорему Коши, имеем, что

Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y

‘ = e x · A x 2 + B x + C ‘ = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y

‘ ‘ = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ‘ = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

Ответ: видно, что y

Решение

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )

будет производиться из y

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

Решение

По условию видно, что

= e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

Из всего следует, что

= e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

= = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Алгоритм решения ЛДНУ

Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

Решение

Необходимо произвести решение относительно C 1 ‘ ( x ) и C 2 ‘ ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

Ответ: y = y 0 + y

Источник

Неоднородное дифференциальное уравнение

Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит не равный тождественно нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Обычно имеет те же свойства, что и соответствующее однородное уравнение — уравнение с отброшенным свободным членом.

В физике часто называют свободный член «неоднородностью» или «возмущением», а соответствующее решение — «возмущённым». Если уравнение представляет собой закон колебаний, то в случае неоднородных уравнений говорят о вынужденных колебаниях.

Алгоритм решения

Решение задачи анализа в системе, поведение которой описывается неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Неоднородное дифференциальное уравнение» в других словарях:

Дифференциальное уравнение — Дифференциальное уравнение уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию,… … Википедия

Дифференциальное уравнение Бернулли — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнение Бернулли. Обыкновенное дифференциальное уравнение вида: называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При является частным случаем… … Википедия

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обыкновенное дифференциальное уравнение вида: где искомая функция, её тая производная, фиксированные числа … Википедия

ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ — обыкновенное уравнение вида где x(t) искомая функция, заданные действительные числа, f(t) заданная действительная функция. Соответствующее (1) однородное уравнение интегрируется следующим образом. Пусть все различные корни характеристич.… … Математическая энциклопедия

Уравнение Коши — Эйлера — В математике ( дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с… … Википедия

Уравнение Лапласа — Уравнение Лапласа дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном… … Википедия

Уравнение Коши — В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному… … Википедия

Уравнение колебаний струны — Волновое уравнение в математике линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… … Википедия

Источник

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

На тот случай, если применяемые при разборе темы термины и понятия окажутся незнакомыми для вас, мы рекомендуем заглядывать в раздел «Основные термины и определения теории дифференциальных уравнений».

Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка

Для краткости будет обозначать линейное неоднородное дифференциальное уравнение аббревиатурой ЛНДУ, а линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ).

Теперь обратимся к правилу дифференцирования произведения. Получаем:

Теперь вспомним свойства неопределенного интеграла. Получаем:

Теперь выполним переход:

Подведем итог

Метод вариации произвольной постоянной при решении ЛНДУ предполагает проведение трех этапов:

Теперь применим этот алгоритм к решению задачи.

Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка

Мы можем подставить эту функцию в ЛНДУ первого порядка. Имеем:

y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) ( u · v ) ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x )

Рассмотрим этот алгоритм решения на предыдущем примере. Это позволит нам сосредоточиться на главном, не отвлекаясь на второстепенные детали.

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть y = u · v = ( x + C ) · ( x 2 + 1 )

Ответы в обоих случаях совпадают. Это значит, что оба метода решения, которые мы привели в статье, равнозначны. Выбирать, какой из них применить для решения задачи, вам.

Источник