Что такое натуральные координаты

Шкалы, координаты

Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.

Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.

Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).

Рисунок 1. Измерительная линейка.

Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.

Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).

Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.

Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.

Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.

Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.

Рисунок 2 Цена деления шкалы

Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки

Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.

Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.

Рис. 3. Луч с началом в точке O

Рис. 4. Луч с равными отрезками

Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).

Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.

Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами

Покажу еще раз на примере точки S :

так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),

подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:

Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.

Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.

Рис. 6. Координатный луч

Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.

Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.

Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.

Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.

Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.

Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка

Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).

Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.

Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.

Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.

Рис. 8. Координаты точек

Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).

В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.

Рис. 9. Большие числа на координатном луче.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.2 / 5. Количество оценок: 9

Источник

Шкалы и координаты

Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке (рис. 12) нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. На рис. 12 длина каждого деления равна 1 см. Все деления линейки образуют шкалу. Длина отрезка АВ на рисунке равна 6 см.

Шкалы бывают не только на линейках. На рис. 13 изображен комнатный термометр. Его шкала состоит из 55 делений. Каждое деление соответствует одному градусу Цельсия (пишут 1°С). Термометр на рисунке 20 показывает температуру 21°С.

Рис. 13. Комнатный термометр

На весах тоже бывают шкалы. По рисунку 14 видно, что масса ананаса равна 3 кг 600 г.

При взвешивании больших предметов применяют единицы массы: тонну (т) и центнер (ц).

1 тонна равна 1000 кг, а 1 центнер равен 100 кг.

1 т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг.

Начертим луч ОХ так, чтобы он шел слева направо (рис. 15).

Отметим на этом луче какую-нибудь точку Е. Над началом луча О напишем число 0, а над точкой Е число 1. Отрезок, длина которого равна 1, называют единичным отрезком. ОЕ – единичный отрезок.

Отложим далее на том же луче отрезок ЕА, равный единичному отрезку, и над точкой А напишем число 2. Затем на этом же луче отложим отрезок АВ, равный единичному отрезку, и над точкой В напишем число 3. Так шаг за шагом получаем бесконечную шкалу. Бесконечную шкалу называют координатным лучом.

Числа 0, 1, 2, 3. соответствующие точкам О, Е, А, В…, называют координатами этих точек.

Источник

Естественный способ задания движения точки

Содержание:

Естественный способ задания движения точки состоит в том, что в нём задаются: – траектория движения; – начало и положительное направление отсчета; – закон движения точки по траектории.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Естественный способ задания движения точки

Определим сначала кинематическое уравнение движения при натуральном способе задания движения материальной точки.

Натуральный способ задания (описания) движения материальной точки применяется тогда, когда траектория точки заранее известна. Движение изучается относительно фиксированного начала отсчета. Задается и закон движения материальной точки вдоль траектории.

Таким образом, для задания движения натуральным способом необходимо знать:

1. Траекторию АВ (рис. 2.3), которая может быть задана уравнением, графически или указанием, например точка движется вдоль окружности радиусом R.

2. Начало отсчета О криволинейной координаты S на траектории движения с указанием положительных «+» и отрицательных «–» значений. Кроме того, задается начало отсчета времени t. Обычно принимают, что t = 0 в момент, когда точка M проходит через точку O на траектории движения.

3. Закон движения материальной точки вдоль траектории. если, например, в момент времени t точка занимает положение M, криволинейная координата которого равна S, то это записывается следующим образом:

Эта функция должна быть непрерывной и по крайней мере дважды дифференцированной.

Соотношение называется кинематическим уравнением движения материальной точки в натуральной форме (или законом изменения криволинейной координаты). Это фактически расстояние подвижной точки M от начала отсчета вдоль траектории движения.

Криволинейную координату не следует путать с длиной пути, который проходит точка за определенный промежуток времени как в положительном, так и в отрицательном направлениях.

Определим кинематические характеристики движения материальной точки при
натуральном способе задания ее движения.

Скорость движения точки

Рассмотрим схему движения материальной точки M (рис. 2.3). Положение точки М соответствует моменту времени t, а положение М₁ — t₁. Тогда промежутку времени t₁ – t = ∆t соответствует изменение криволинейной координаты S₁ – S = ∆S. Отсюда можно определить среднюю скорость точки за промежуток времени ∆t:

А скорость точки в любой момент времени t можно определить, если взять предел отношения , когда ∆t стремится к нулю:

Модуль скорости материальной точки при натуральном способе задания ее движения равен первой производной по времени от закона движения точки.

Направление вектора скорости — по касательной к траектории движения материальной точки.

Производная по времени определяет численную алгебраическую величину скорости,
то есть, если > 0, то вектор скорости направлен в положительном направлении
отсчета, а если 2 + t м. Определить пройденный путь и скорость движения точки в момент времени t₁ = 1 c.

Решение.

Определим сначала положение точки на траектории движения при t₁ = 1 c. Поскольку отсчет времени начался с началом момента движения, то S(0) = 0. Подставим в уравнение движения значение этого момента времени:

Для определения скорости движения точки продифференцируем по времени уравнения движения:

Из полученной функции скорости движения материальной точки можем определить (подстановкой t), что в начале движения (при t = 0): (0) = 1 м/c, а при t₁ = 1 c; (1) = 9 м/c.

Переход от координатного способа задания движения материальной точки к натуральному

Для перехода от одного способа задания движения материальной точки к другому необходимо найти зависимости между основными параметрами этих движений. Сделаем это, рассматривая координатный и натуральный способы задания движения материальной точки. Так, на основании уравнения, что определяет скорость материальной точки при натуральном способе задания ее движения, можно записать

dS = · dt,

Поскольку при координатном способе задания движения материальной точки ее скорость определяется согласно выражению:

то, подставляя его в предыдущее выражение, окончательно найдем зависимость между двумя указанными способами задания движения материальной точки:

Натуральный трехгранник

Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, которые понадобятся для определения кинематических характеристик движения материальной точки.

Предположим, что кривая АВ является траекторией точки М (рис. 2.4). В произвольной точке М и в бесконечно приближенной к ней точке М₁ проведем касательные этой кривой (орты, подходящие этим касательным, обозначим через и ₁). Затем перенесем вектор ₁ параллельно самому себе в точку М и проведем через векторы и ₁ плоскость Q.

Плоскость, которая является предельным положением плоскости Q, когда точка M,
направляется к точке M, называется соприкасающихся плоскостью.

Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную к касательной , которая называется нормальной. Очевидно, что любая прямая в этой плоскости, проходящей через точку M, будет перпендикулярна к , то есть будет нормалью к кривой.

Линия пересечения нормали и стычной плоскостей определяет главную нормаль к кривой. Итак, главная нормаль — это единственная из бесконечного множества нормалей к кривой в точке M, которая расположена в соприкасающейся плоскости. Плоскость, проходящая через точку M перпендикулярна главной нормали, называется спрямляющей.

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль
кривой. Очевидно, что бинормаль перпендикулярна к главной нормали.

Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярные направления, по которым можно провести касательную в сторону роста дуговой координаты (соответствующий орт ), главную нормаль — в сторону вогнутости кривой (соответствующий орт ), бинормаль с соответствующим ортом , направленную так, что орты , , образуют правую ортогональную тройку векторов.

Прямоугольная подвижная система координатных осей с ортами , и , с началом в подвижной точке M называется системой натуральных осей, или натуральным подвижным трехгранником M .

Заметим, что плоская кривая полностью расположена в соприкасающейся плоскости, а главная нормаль является нормалью к кривой в этой плоскости. В отличии от других систем отсчета, натуральный трехгранник движется вместе с точкой и меняет свою ориентацию в пространстве в соответствии с характером траектории.

Кривизна кривой

Как видно дальше, ускорение точки в криволинейном движении зависит от кривизны траектории, поэтому рассмотрим эту характеристику. На рис. 2.5 изображена траектория AB движения точки и два близких положения M и M₁. Проведем через точки M и M₁ касающиеся и ₁. Элементарное расстояние между точками M и M₁ вдоль траектории равно ∆S.

Угол ∆φ между касательными в двух близких точках является углом смежности.

Кривизной кривой К в данной точке М называется предел отношения угла смежности к дуге ∆S, его взимает, когда эта дуга стремится к нулю.

Если, отношение ∆φ к ∆S является средней кривизной:

то, возведение K_c до границы дает истинное значение кривизны кривой:

Рассмотрим круг радиусом R (рис. 2.6). сделаем аналогичное геометрическое построение. Выразим ∆S по известной формуле:

и подставим в предыдущую формулу. Будем иметь:

K = .

Таким образом, круг радиусом R является кривой постоянной кривизны, значение которой равно обратной величине радиуса.

Для определения кривизны произвольной кривой достаточно подобрать такой круг, элемент дуги которого лучше всего аппроксимирует участок кривой в данной точке.

Тогда радиус круга будет радиусом кривизны кривой, а центр круга — центром кривизны.

Это показано на рис. 2.5:

K₂ = — кривизна кривой в точке M₂.

Касательное и нормальное ускорения точки в натуральных осях координат

В декартовых осях координат мы определяли ускорение точки в проекциях на оси x, y, z. В натуральных осях координат определим проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль n. Но сначала докажем, что проекция вектора ускорения на бинормаль b
равна нулю. Обратимся к рис. 2.7. Скорости близких точек M и M₁ — векторы и , которые направлены по касательным и ₁ в этих точках.

Перенесем параллельно вектор в точку M и соединим концы векторов и . Построив параллелограмм, можно увидеть, что вектор ∆, как разница скоростей, формирует вектор ускорения и расположен в соприкасающейся плоскости.

Параллельно ∆ направлен и вектор среднего ускорения , а вектор ускорения в данный момент времени равен:

и также будет расположен в соприкасающейся плоскости. А это значит, что проекция
вектора ускорения на бинормаль равна нулю.

Теперь, зная, что вектор ускорения имеет только касательную и нормальную составляющие, определим остальные.

Для этого нам понадобится схема, представленная рис. 2.8, где:

M — касательная к траектории,

M n — главная нормаль,

C — центр кривизны траектории,

ρ — радиус кривизны траектории.

Предположим, что в момент времени t точка M имеет скорость , а в момент t₁ = t + ∆t — скорость . Тогда ускорение будет равно:

Переходим к проекциям ускорения материальной точки на натуральные оси координат и n:

Учитывая, что проекции векторов на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М₁ оси М₁´ и М₁ n´, которые параллельные соответствующим осям M и M n, и обозначим угол смежности ∆φ.

Найдем проекции векторов и на оси M и M n:

Подставим значения проекций в выражения. Будем иметь:

Когда промежуток времени Δt стремится к нулю, то

Тогда уравнение может быть записано, как показано ниже, и касательное ускорение равно:

Таким образом, касательное ускорение материальной точки характеризует изменение скорости по величине в единицу времени и равна первой производной от функции скорости по времени или второй производной от закона движения.

Определим нормальное ускорение a_n. Преобразуем выражение для нормального ускорения, умножив числитель и знаменатель на произведение ∆φ · ∆S:

Перепишем выражение следующим образом:

Подставим значение этих границ в выражение для нормального ускорения:

Нормальное ускорение материальной точки характеризует изменение скорости по направлению в единицу времени и равна квадрату скорости, разделенном на радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор нормального ускорения всегда направлен вдоль нормали к центру кривизны в данной точке.

Вектор полного ускорения может быть определен геометрическим сложением векторов и и является диагональю прямоугольника построенного на указанных векторах, как на сторонах (рис. 2.9). Модуль полного ускорения a равен:

Угол φ между вектором и нормалью n определяется тригонометрически:

Вектор ускорения через его проекции a и a_n может быть записан следующим образом:

= a · + a_n · ,

где , — соответствующие орты касательной и нормали натуральных осей координат.

Следует отметить, что составляющие вектора вдоль натуральных осей координат равны:

Некоторые случаи движения материальной точки

1. Прямолинейное движение.

Радиус кривизны траектории, которой является прямая линия, равна = ∞, поэтому:

Таким образом, скорость движения материальной точки изменяется только численно, по модулю. Это означает, что имеет отношение ускорения a характеризует изменение вектора скорости по модулю.

А если это движение еще и равномерно, то есть, когда = const, то ускорение материальной точки будут равно:

2. Равномерное криволинейное движение.

В данном случае модуль скорости = const, а радиус кривизны траектории ≠ ∞. Определим ускорение a движения материальной точки:

Таким образом, как видно из приведенных выражений, полное ускорение a материальной точки в этом случае равно нормальному ускорению a_n.

Вектор нормального (в данном случае полного) ускорения направленный по нормали к траектории движения частицы. Поскольку ускорение a появляется только за счет изменения направления вектора скорости , то нормальное ускорение a_n характеризует изменение вектора скорости по направлению.

3. Равнопеременное криволинейное движение.

В этом случае движение точки является криволинейным, но ускорение a есть
величиной постоянной. Этот случай носит название равнопеременного движения (то есть, когда за равные промежутки времени скорость движения материальной точки изменяется на одну и ту же величину, увеличивается или уменьшается).

Определим кинематические характеристики равнопеременного движения материальной точки. Поскольку a = const, а a = , то отсюда есть возможность определить скорость движения точки:

dv = a · dt.

Скорость находится под знаком дифференциала, поэтому для ее определения необходимо взять интегралы от левой и правой частей последнего выражения. Используем для этого определенные интегралы, для которых задаем верхнюю и нижнюю границы переменных величин. Скорость точки меняется от начального значения _o к конечному , а время от начала отсчета t = 0 до конечного t:

– _o = at,

= _o + at,

где _o — начальная скорость движения материальной точки.

Используем далее выражение с которого есть возможность определить dS. Перемещение будет равно:

Вместо подставим в последнее выражение полученное его значение:

dS = _odt + atdt.

Как и в предыдущем случае найдем перемещения S, взяв определенные интегралы от левой и правой частей последнего выражения. Также задаем верхние и нижние границы переменных величин, причем перемещение точки изменяется от начального значения S_o до конечного S:

Окончательно последнее выражение можно переписать так

где S_o — начальное перемещение точки.

Таким образом, при равнопеременном движении материальной точки ее скорость и перемещения определяются с помощью найденных выражений. Следует заметить, что знаки в правых частях этих формул (перед a) определяют характер равнопеременного движения. Так, если они положительные, то движение точки является равноускоренным, а если отрицательные, то — равнозамедленным.

Пример:

Палец кривошипа дизеля движется в соответствии заданных параметрически уравнений

Определить траекторию движения, скорость и ускорение пальца.

Решение.

Для определения уравнения траектории движения пальца кривошипа надо исключить из заданных уравнений движения параметр времени t. Сначала определим с заданных уравнений тригонометрические функции

Поскольку тригонометрические функции являются функциями одного аргумента, то
поднимем к квадрату левые и правые части этих выражений и добавим их почленно:

Левая часть последнего выражения равна единице, поскольку sin cos 1 2 февраля t  t , тогда sin 2 ω t + cos 2 ω t = 1, тогда

Таким образом, с последнего выражения видно, что траекторией движения пальца кривошипа является окружность радиуса b с центром в начале координат.

Для определения скорости движения найдем сначала проекции скорости движения пальца на координатные оси:

Модуль скорости движения будет равняться

Таким образом, с последнего выражения видно, что палец движется с постоянной скоростью, равной bω.

Найдем ускорение пальца кривошипа. Также определим его через проекции на оси координат. Для этого возьмем другие производные от заданных координат движения:

Полное ускорение будет равно:

Поскольку палец кривошипа движется по кругу, то есть по криволинейной траектории движения устойчивого радиуса b, то его ускорение можно было бы определить, если использовать выражения, описывающие натуральный способ задания движения материальной точки. Касательное ускорение пальца кривошипа будет равняться нулю, поскольку скорость bω = const. А именно:

Нормальное ускорение определим так:

Поскольку касательного ускорения нет, то полное ускорение равно нормальному:

Таким образом, как видим, ускорение пальца кривошипа, которое определено различными способами, совпадают.

Пример:

Точка на ободе барабана зерноуборочного комбайна в период разгона движется согласно уравнению S = 0,1 · t 3  (S — в метрах, t — в секундах). Радиус барабана равен R = 0,5 м. Определить касательное и нормальное ускорение точки в момент, когда его скорость равна = 30 м/с.

Решение.

Уравнения движения точки задано натуральным способом, а потому скорость можно определить так:

По заданному значению скорости под углом = 30 м/с найдем время. Подставим значение этой скорости в полученное выражение и найдем t:

Касательное ускорение точки будет равно:

Нормальное ускорение определим так:

Знак «+» перед касательным ускорением a означает, что барабан зерноуборочного комбайна находится в состоянии разгона, что соответствует условию задачи.

Услуги по теоретической механике:

Учебные лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник