Что такое наложение в геометрии

«Наложение» в геометрии. Что это? Как объяснить?

Объясните, что такое наложение (в геометрии).

Наложение основано на аксиоме, утверждающей, что любые фигуры на плоскости можно передвигать, не меняя их вида и характеристик.

Процесс наложения одной фигуры на другую происходит путём передвижения плоскостей. При этом, плоскости могут и переворачиваться.

Фигуры будут равными, если их плоскости совпадут при наложении друг на друга.

Наложение можно проводить как в реальности, например взять два картонных кружочка и накладывать один на другой, так и в виртуальности, когда например на компьютере есть макеты этих фигур и там они также накладываются между собой.

С помощью наложения можно выяснить равны ли фигуры, все ли линии совпадают, есть или нет каких-то выпуклостей, которые присутствуют только на одной фигуре и т.д.

Более подробно смотрите здесь:

Под наложением подразумевают прием теоремных доказательств, когда передвигают и переворачивание фигуры по плоскости. Если все точки фигуры при этом совпадают, они считаются равными. Поверхность используется плоская и кривая. Тогда должны совпадать все складочки и разрывы.

Наложением могут сравниваться между собой две фигуры (геометрические). Для этого их (не меняя масштаба, но можно переворачивать) просто накладывают друг на друга. Это делается как непосредственно, так и приводя (с помощью компьютера) к какой-то единой фигуре.

Источник

Наложение (геом.)

Полезное

Смотреть что такое «Наложение (геом.)» в других словарях:

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия

КОНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ — раздел стереохимии, изучающий конформации молекул, их взаимопревращения и зависимость физ. и хим. св в от конформац. характеристик. Конформации молекулы разл. пространств. формы молекулы, возникающие при изменении относит. ориентации отдельных ее … Химическая энциклопедия

РЕОЛОГИЯ — (от греч. rheos течение, поток и logos слово, учение), наука, изучающая деформац. св ва реальных тел. Р. рассматривает действующие на тело мех. напряжения и вызываемые ими деформации, как обратимые, так и необратимые (остаточные). В узком смысле… … Химическая энциклопедия

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ — (компенсирующие поля), векторные поля, обеспечивающие инвариантность ур ний движения относительно калибровочных преобразований (см. КАЛИБРОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ). Примеры таких полей эл. магн. поле в электродинамике, а также глюонные поля в квантовой… … Физическая энциклопедия

СПЕКТРОМЕТРИЯ — область физики и техники, разрабатывающая теорию и методы измерении спектров. В оптич. диапазоне длин волн С. объединяет разделы прикладной спектроскопии, метрологии и теории линейных систем. С. служит для обоснования выбора принципиальных схем… … Физическая энциклопедия

Финслерова геометрия — Финслерова геометрия одно из обобщений римановой геометрии. В финслеровой геометрии рассматриваются многообразия с финслеровой метрикой; то есть выбором нормы на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.… … Википедия

ОТРАЖЕНИЕ ЗВУКА — явление, возникающеепри падении звуковой волны на границу раздела двух упругих сред и состоящеев образовании волн, распространяющихся от границы раздела в ту же среду … Физическая энциклопедия

КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА — расположение атомов кристаллич. в ва в пространстве. наиб. характерное св во К. с. трехмерная периодичность (см. Кристаллическое состояние). Обычно, говоря о К. с., подразумевают среднее во времени расположение атомных ядер (т. наз. статич.… … Химическая энциклопедия

СУПЕРПОЗИЦИИ ПРИНЦИП — (ср. век. лат. superpositio наложение, от лат. superpono кладу наверх) 1) С. п. в электродинамике принцип, выражающий фундаментальное св во электромагнитного поля в линейной среде. Согласно С. п. при наложении электромагнитных нолей в линейной… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Источник

Наложения и движения

При наложении различные точки отображаются в различные точки.

Доказательство:

Из этого утверждения мы можем сделать вывод, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А₁ и В₁. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ (т.к. согласно аксиоме, если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки), и, следовательно, АВ=А₁В₁. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояния, то есть любое наложение является движением плоскости.

Теорема

Доказательство

Дано: движение , АВС отображается в А₁В₁С₁, АВС=А₁В₁С₁

Доказать: движение — наложение

Доказательство:

Так как АВС=А₁В₁С₁ , то по определению существует наложение , при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁ соответственно. Докажем, что совпадает с .

Предположим обратное. Тогда найдется хотя бы одна точка М, которая при движении отображается в точку М₁, а при наложении отображается в другую точку М₂. При отображениях и сохраняются расстояния, поэтому ВМ=В₁М₁, ВМ=В₁М₂, отсюда В₁М₁=В₂М₂, то есть точка В₁ равноудалена от точек М₁ и М₂.

Аналогично можно доказать, что точки А₁ и С₁ равноудалены от точек М₁ и М₂. Следовательно, точки А₁, В₁, и С₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М₁М₂, но это не возможно, так как вершины А₁В₁С₁ не лежат на одной прямой. Значит, наше предположение неверно и отображение совпадает с , другими словами, движение является наложением. Теорема доказана.

Следствие

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Геометрия. 9 класс

Представим себе, что каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Говорят, что задано отображение плоскости на себя. Примерами отображения плоскости на себя являются осевая и центральная симметрия.
Возьмем произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М₁ относительно прямой а.

Так любой точке плоскости может быть поставлена в соответствие ей симметричная относительно прямой а. При этом любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М.
Аналогично при центральной симметрии.

Введем понятие «движение плоскости». Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние. Поясним, что это значит. Пусть М и N какие-либо точки плоскости, а M₁ и N₁ симметричные им относительно прямой а.

Из точек N и N₁ проведём перпендикуляры РN и РN₁ к прямой МM₁. Прямоугольные треугольники МРN и М₁Р₁N₁ равны по двум катетам: МР = М₁Р₁ и РN = Р₁N₁. Поэтому гипотенузы МN и M₁N₁ равны. Значит расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными точками M₁ и N₁. Аналогично при центральной симметрии.

Рассмотрим свойства движения:
При движении отрезок отображается на отрезок.
Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Также любая геометрическая фигура (луч, угол, многоугольник и другие) отображается на равную ей фигуру.

Не всякое отображение плоскости на себя сохраняет расстояние. Пример гомотетия, треугольники АВС и А₁В₁С₁ не равны.

В геометрии равенство фигур устанавливается с помощью наложения. Говорят, что фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, если их можно совместить наложением. При наложении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Таким образом, наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние. Справедлива следующая теорема: Любое движение является наложением.

Источник

Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф₁. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф₁ мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф₁ Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф₁, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф₂, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф₂ = Ф₁ (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф₂ отображается в фигуру Ф₁. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А₁ и В₁. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А₁В₁. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Источник