Что такое наклонная и проекция
Перпендикуляр и наклонная
Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а с другим – на плоскости.
Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной (рис.24)
СВ – проекция наклонной
С – основание наклонной,
В – основание перпендикуляра
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам (рис.26)
Для обозначения перпендикулярности используют символ вида « 
». То есть, если плоскости α и β перпендикулярны, то можно кратко записать 
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис.27)
Если плоскости α и β перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость α перпендикулярна к плоскости β или плоскость β перпендикулярна к плоскости α. Поэтому перпендикулярные плоскости α и β часто называют взаимно перпендикулярными.
В качестве примера перпендикулярных плоскостей можно привести плоскости стены и пола в комнате.
Также существует признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется для доказательства перпендикулярности двух плоскостей. В его формулировке участвуют перпендикулярные прямая и плоскость.
Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от прямой до плоскости
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Первый способ.
Имеем квадрат, центр квадрата точка – О, SО – перпендикуляр. Значит, для наклонной SC отрезок ОС есть проекция.
Прямая ВD перпендикулярна прямой ОС, которая является проекцией наклонной SC, значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямая ВD перпендикулярна наклонной SC.
Второй способ.
Прямая SО перпендикулярна плоскости АВС, а значит – и прямой ВD, лежащей в ней.
Прямая ВD перпендикулярна SО и прямая ВD перпендикулярна прямой АС по свойству квадрата.
Получаем, что прямая ВD перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости SОС, значит, она перпендикулярна ко всей плоскости SОС, а значит – и к прямой SC, лежащей в этой плоскости.
Расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр, опущенный на эту плоскость, то есть расстояние от точки А до плоскости a, есть длина перпендикуляра АВ.
В единичном тетраэдре DABC найдите расстояние от точки C до плоскости ADB.
Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120 \(^\circ\) и сторонами, равными 3 и 4. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.
Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.
Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин прямоугольника равны 12 м, 14 м, 18 м. Найдите отрезок АК.
Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС.
АВ = АС = 10 см, ВС = 12 см, AD = 6 см.
Найдите расстояние от точки D до ВС.
Через вершину прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №10. Перпендикуляр и наклонные
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.
Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр короче любой наклонной, проведенной к плоскости из той же точки
У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны. Верно и обратное. Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные.
Из двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.
Теорема о трех перпендикулярах 
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Заметим, что, вообще говоря, теорема о трех перпендикулярах верна и в более общем случае:
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕМА: «Наклонная и ее проекция»
Государственное бюджетное образовательное учреждение
профессиональная образовательная организация
«Магнитогорский технологический колледж имени В.П.Омельченко»
урока по математике
Тема: «Наклонная и ее проекция»
Разработчик: преподаватель Шаранова Т.Б.
Методическая разработка урока усвоения новых знаний по математике по теме «Наклонная и ее проекция» предназначена для текущего урока по разделу: « Геометрия»
Методическая разработка включает в себя:
Технологическую карту урока усвоения новых знаний ;
Описание хода урока ;
Отражение собственного опыта проведения урока.
Проведение урока усвоения новых знаний по данному разделу подразумевает не только взаимосвязь знаний по разным темам на одном занятии, но и интегрирование педагогических технологий, методов и форм обучения в пределах занятия.
Данная методическая разработка может быть рекомендована к использованию в средних профессиональных учебных заведениях.
План урока
1. Тема урока: «Наклонная и ее проекция».
2. Тип урока: урока усвоения новых знаний
3. Форма проведения урока: Комбинированный.
Параметры качества обучения
Обучающая : сформировать знания о понятиях перпендикуляра и наклонной, умения решать простейшие стереометрические задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости, длин наклонной и её проекции.
определения и теоремы о перпендикулярности в пространстве;
определения понятий «перпендикуляр», «наклонная»;
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
5. Методическая характеристика урока
Методы стимулирования и мотивации интереса к учению.
Создание ситуаций познавательной новизны.
Поощрение в учении.
Примеры использования стереометрический понятий применения в жизни, в профессиональной деятельности.
— Использование доски, цветных мелков
-Доска, цветные мелки,
-Алгоритмическая запись на доске и в тетрадях решения типовых задач;
-Разбор разных способов решения задач на наклонную и ее проекцию;
— Атанасян, Л. С. и др. «Геометрия, 10-11», стр. 40 – 42, 44-46, §2, п. 19-20
— Доска, мел, тетради, ручки
Раздаточный материал: дидактические карточки по вариантам
Дидактические задачи этапа
Рефлексивная деятельность учащихся
Подготовка учащихся к работе на уроке.
Предъявление единых педагогических требований:
выявление отсутствующих на уроке;
проверка внешнего вида (соответствие требованиям внутреннего распорядка лицея).
Отвечают на приветствие. Староста докладывает о явке учащихся на занятие. Приводят в соответствие с требованиями внешний вид, рабочее место.
Психологическая установка на восприятие материала урока.
Организация внимания и готовности учащихся к уроку (устранение отвлекающих факторов: посторонний шум, лишние предметы на рабочем месте).
Готовятся к восприятию урока.
Подготовка к основному этапу урока.
Проверка домашнего задания.
Установление правильности и полноты выполнения домашнего задания.
Организация контроля знаний и умений учащихся и коррекция
Самоосмысление учебного материала.
Обеспечение возникновения у учащихся мотива – внутреннего побудителя деятельности, придающего ей личностный смысл и соответствующего требованиям учения и будущей профессии.
-Знаете ли вы как называется процесс получения неразъёмных соединений посредством установления межатомных связей между свариваемыми частями при их местном или общем нагреве, пластическом деформировании или совместном действии того и другого?
— А как называется неразъёмное соединение, выполненное с помощью сварки?
— с варным соединением;
— А какими основными умениями должен обладать сварщик?
— производить сварку конструкций во всех пространственных положениях сварного шва и уметь читать рабочие чертежи и схемы;
Рассмотрим сварку закладных деталей.
Закладные детали – это специальные металлические элементы, которые состоят из полосовой, круглой, уголковой стали.
Бывают открытые закладные конструкции и закрытые, закладные детали с перпендикулярными, параллельным, наклонным или же смешанным размещением анкерных стержней (последние могут быть с резьбой).
Т.о., простейшие приемы сварки вполне доступы, нужно иметь богатую фантазию и хорошо владеть сварочными аппаратами. От того как вы привариваете детали, можно получить нужную конструкцию.
Скажите, как с точки зрения геометрии можно расположить деталь относительно плоскости (поверхности)?
(Предполагаемый ответ: параллельно, перпендикулярно и под углом).
Осмысливают значимость материала данного урока в формировании профессионального опыта.
Тема сегодняшнего урока: «Наклонная и ее проекция».
Запишите тему в тетради.
Слушают название темы. Записывают в тетрадь.
Обеспечение самоосмысления через постановку цели.
Перед вами стоит следующая цель:
определения и теоремы о перпендикулярности в пространстве;
определения понятий «перпендикуляр», «наклонная»;
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;
анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве.
Учащиеся осмысливают и записывают цель в терминалах «иметь представление», «знать», «уметь».
Актуализация опорных знаний.
межпредметных (производственное обучение – спецпредметы – общеобразовательные предметы);
внутрепредметных (материал предыдущих и данного уроков).
Входной тест проводить в виде фронтального опроса все задачи решаются устно (См. приложение №1).
Вопросы базовых дисциплин или предыдущих уроков:
Сформулируйте теорему Пифагора.
Продолжить фразу: «Прямая d перпендикулярна плоскости β, если …»
Ответ: 1) называют определение перпендикулярности прямой и плоскости;
2)называют признак перпендикулярности прямой и плоскости
Отвечают на вопросы. Сравнивают свои ответы с эталонами (прилагаются). Определяют Ку – коэф. усвоения Ку = Рпр\Р, где Р – общее число существенных операций (ответов), Рпр. – число правильно выполненных существенных операций (ответов).
Коррекция опорных знаний.
Выявление пробелов и внесение исправлений, поправок в опорных знаниях учащихся.
Разбор вопросов, вызвавших затруднения. Доведение до Ку=0,7 опорных знаний.
Определяют и восполняют пробелы в знаниях.
Сильные помогают более слабым.
ориен-тировчной основы учебной деятельности. Получение новой информации.
Обеспечение восприятия и осмысления способов действий.
Разберём возможное применение понятия перпендикулярности прямой. Изобразите рисунок у себя в тетради.
Возьмём на данной прямой некоторую точку А.
Назовите понятие, которое определяет прямая по отношению точки А и плоскости.
С помощью перпендикулярной прямой можно определить расстояние от точки А до данной плоскости.
Отрезок АО называют расстоянием от точки А до данной плоскости, под которым понимают длину перпендикуляра опущенного на данную плоскость из данной точки.
Записывают в тетради.
Можно вместе с учащимися сформулировать определение данного понятия и затем записать в тетради.
С помощью преподавателя формулируют определение перпендикуляра
Через точку А можно провести различные прямые, назовите прямую проходящую под прямым углом.
Прямая проходящая под прямым углом к плоскости является перпендикулярной прямой к плоскости.
Такие прямые можно назвать наклонные.
Сформулируем определение наклонной прямой, и записывают его в тетради.
С помощью преподавателя формулируют определение наклонной.
Проведя различные прямые, мы получили множество точек в пересечении этих прямых и плоскости.
Назовём их: О – основание перпендикуляра.
Записывают новые понятия.
Мы назвали два отрезка: АО-перпендикуляр, АС – наклонная. Остался ещё один отрезок СО, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной. Этот отрезок называют проекцией наклонной. Запишите это определение (можно пояснить, что СО состоит из совокупности точек, являющихся проекциями точек прямой АС).
Записывают новые понятия.
Первичное закрепление базисного уровня
Обеспечение репродуктивного воспроизведения материала на основе алгоритма действий.
Итак, перечислите понятия, с которыми мы познакомились.
СО – проекция наклонной.
Проверка понимания алгоритма
Определение возможности допуска студентов к самостоятельной работе.
Рассмотрим задачи на закрепление данных понятий. (см. Приложение № 2)
Задача 1. Из точки А на плоскость опущен перпендикуляр длиной 4 см и проведена наклонная длиной 5 см. найдите длину проекции наклонной.
Отвечают на вопросы. Воспроизведение знаний ориентировочной основы действий.
С помощью преподавателя решают данную задачу (метод решения: Th Пифагора).
Сравнение своих ответов с эталонами
Закрепление базисного уровня.
Обеспечение репродуктивного воспроизведения материала.
Сравнение своих ответов с эталонами
Проверка понимания алгоритма действий.
Определение возможности допуска учащихся к итоговому тесту.
Задача 3. Из точки А к плоскости проведены две наклонные равные 10 см и 12 см. разность проекций этих наклонных равна 9 см. найдите проекции наклонных.
С помощью преподавателя решают данную задачу (Метод решения: рассматривается два прямоугольных треугольника, для которых по теореме Пифагора записываются формулы для вычисления длины перпендикуляра. Из этих формул приравниваются правые части, не содержащие отрезок-перпендикуляр и решается квадратное уравнение).
Сравнение своих ответов с эталонами
Коррекция знаний ориентировочной основы действий
Выявление пробелов и исправление ошибок в понимании ориентировочной основы действий.
Определяют и восполняют пробелы в знаниях. Задают вопросы.
Сильные помогают более слабым.
III. Основной этап работы.
Самостоятельная работа студентов по применению полученных знаний.
Обеспечение самореализации через саморегуляцию и
самоосмысление. Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в знакомой и измененной ситуации.
Предлагается выполнить итоговый контроль по индивидуальным карточкам
Самостоятельное выполнение заданий с применением знаний в знакомой и измененной ситуациях.
IV. Заключительный этап урока
Анализ и оценка успешности достижения цели урока.
Подвести итоги за урок
Анализ работы каждого учащегося.
Сообщить оценку качества работы каждого учащегося.
Отметить, кто достиг отличного качества работы.
Разобрать наиболее характерные недочёты в работе учащихся и рекомендации по их устранению.
Слайд текст с целями проведённого мероприятия.
Самоанализ выполненной работы.
Развитие творческих способностей.
Формирование у учащихся ориентации на успех.
Поощрение учащихся в процессе достижения ими поставленной цели (в т.ч. слабых).
Саморегуляция через достижения цели
Обеспечение понимания цели домашнего задания. Обеспечение понимания содержания и способов выполнения домашнего задания.
1) Выучить определения перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной, признак перпендикулярности прямой и плоскости
2) Домашнее задание. Атанасян, Л. С. и др. «Геометрия, 10-11», с 40-42, №139.
Самоосмысливают способов выполнения домашнего задания.
Постановка новой цели к следующему уроку.
Создание мотивации через анализ результатов достигнутого, развивает аналитико – синтетическую деятельность учащихся.
— Тема следующего урока:
«Плоскости в пространстве.».
На следующем уроке мы рассмотрим:
Самоосмысление информации о задачах на ближайший урок.
Приложение № 1.
Решить квадратное уравнение: х 2 + 3х – 4 = 0
Вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если длины его катетов равны 2см и 3 см.
(Можно предложить учащимся данные задания в 2 вариантах)
Приложение №2
АС – перпендикуляр – отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости .
АВ – наклонная – любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром.
Примеры решения задач
Задача 1. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и наклонная длиной 10 см. Найдите длину перпендикуляра, если длина проекции наклонной равна 6см.
ВС – проекция наклонной,
АВ и АД – наклонные,
ВС и СД – проекции наклонных АВ и АД,
АВ – АД = 2см → АВ = АД + 2 (см).
Рассмотрим Δ АВС – прямоугольный (АС – перпендикуляр).
Рассмотрим Δ АСВ и Δ АСД – прямоугольные (АС – перпендикуляр).
По теореме Пифагора:
Т.к. левые части уравнений равны, то должны равняться и правые части, поэтому справедливо следующее равенство: