Что такое начертательная геометрия и инженерная графика
Что такое начертательная геометрия и инженерная графика
Контрольные задания по теме:
Рабочая тетрадь задача 7, задача 8, задача 9, задача 10
Начертательная геометрия занимает особое положение среди других наук. Она является лучшим средством развития у человека пространственного мышления и воображения.
Начертательная геометрия – один из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры, представляющие собой совокупность точек, линий, поверхностей, изучаются по их плоским изображениям или проекциям.
Основная задача начертательной геометрии заключается в сопоставлении трёхмерного объекта с его плоской проекционной моделью.
Плоское изображение предмета или детали называется её чертежом. Чертёж – это не просто рисунок, а конструкторский документ. Он выполняется по соответствующим требованиям, единым стандартом. Его можно назвать своеобразным языком, в котором используются точки, линии, буквы, цифры, причём этот язык является интернациональным, т.к. он понятен любому инженеру и не зависит от языка.
При помощи этих простых геометрических элементов (точек, линий и т.д.) человек имеет возможность изобразить сложнейшие механизмы, приборы, здания и т.д.
Методы начертательной геометрии находят широкое применение в физике, химии, механике, кристаллографии, архитектуре и применяются практически во всех отраслях промышленности, начиная от лесного хозяйства и заканчивая сложнейшей электроникой космических летательных аппаратов.
Начертательная геометрия, как и другие разделы математики, развивает логическое мышление и поэтому входит в число фундаментальных дисциплин инженерного образования.
Начертательная геометрия и инженерная графика укладываются в рамки одной учебной дисциплины и выполняют одну и ту же задачу – сопоставление трёхмерного объекта с его плоской проекционной моделью. Отличие между ними заключается в том, что в инженерной графике под трёхмерным объектом понимается конкретное, материально воплощённое задание, строительное сооружение или деталь, в то время как начертательная геометрия имеет дело с абстрактными, отвлечёнными моделями. В этом смысле инженерная графика представляет собой очень частное ответвление начертательной геометрии, её узкоспециализированный подраздел. Но, благодаря такой узкой практической направленности инженерной графики, в ней появляются совершенно новые вопросы, к начертательной геометрии отношения не имеющие. Сюда относятся правила оформления чертежей, сведения об использовании технических стандартов и ряд других вопросов.
История развития начертательной геометрии уходит корнями в глубокую древность. Об этом свидетельствуют памятники древнего искусства, строительные и архитектурные формы, сохранившиеся до нашего времени. Ещё древние египтяне пытались изображать объекты в виде плоских проекций, но это всё осуществлялось стихийно, без использования твёрдо установленных правил и закономерностей.
Первое сохранившееся систематизированное изложение инженерного опыта относится к 16-13 годам до н.э.: сочинение под названием «Десять книг об архитектуре» написал римский зодчий и инженер Марк Витрувий Поллион.
Примерно в это же время расцвета культуры древней Греции шло интенсивное накопление геометрических знаний. Появилась вычислительная геометрия. Пифагор, Эвклид и др. систематизировали геометрические сведения. Эвклид издал труд под названием «Начала» –15 книг, куда вошли определения, постулаты, основные аксиомы и теоремы. Он построил науку геометрию так, как она есть сейчас. Мы до сих пор пользуемся ей почти без изменений. Из учёных этой же эпохи можно назвать также Архимеда, Фалеса.
Следующим рывком в развитии наук, искусств и техники явилась эпоха Возрождения. Вопросам построения наглядных изображений (перспективы) уделяли в то время большое внимание многие известные учёные, инженеры, зодчие и художники. Среди них Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Леон Баттист, Гвидо Убальди. Такое повышенное внимание к этой теме было вызвано развитием техники, усложнением архитектурно-строительных задач, а также общим духом времени, направленным на культ научного метода и научного знания.
С тех пор начертательная геометрия пополнилась некоторыми вспомогательными вариантами проекционных изображений (аксонометрия) и постепенно оформлялась жёсткими правилами, требованиями, стандартами. Весь этот материал в совокупности составил основу современной инженерной графики.
Наряду с этим тенденция к обобщению привела к объединению идей Г. Монжа и исследователей эпохи Возрождения. В результате этого возникла классическая начертательная геометрия, предназначенная для изучения геометрических образов трёхмерного пространства. Развивалась проективная геометрия (Х. Винер, Г. Гаук, Э. Мюллер), рассматривались проблемы отображения многомерного геометрического пространства и способы построения нелинейных изображений (В. Фидлер, Е.С. Фёдоров). Эти исследования составили область математически абстрагированной начертательной геометрии.
Русские инженеры и зодчие пользовались на практике проекционными чертежами, в том числе и системой ортогональных проекций задолго до появления Г. Монжа. Об этом свидетельствуют сохранившиеся документы, относящиеся к началу XIX века (изобретатель Кулибин и зодчие С.И. Чевакинский, К.А. Ухтомский, В.И. Баженов). В те времена в инженерных школах преподавалось черчение. В Перновском военно-техническом училище 1731-1733 г. преподавание математических наук, фортификации и черчения вёл А.П. Ганнибал – прадед А.С. Пушкина. В начале XIX века в высших и средних учебных заведениях началось преподавание начертательной геометрии. Шарль Потье читал курс лекций в Московском институте инженеров путей сообщения. Появились первые учебные пособия (Я.С. Севастьянов, Н.И. Макаров, В.И. Курдюмов ) по начертательной геометрии в строго классическом её понимании. И в этом виде дисциплина сохранилась до 20 века.
Примерно с середины 40-х годов началось развитие вычислительной техники, появились ЭВМ. Среди разнообразных функций, доступных компьютеру, могут быть: выполнение графиков, схем и чертежей. Возникла специальная учебная дисциплина – «Машинная графика», которая, с 1987 г. вошла в учебную программу подготовки инженеров.
При выполнении чертежей и изображений в начертательной геометрии приняты следующие условные обозначения:
а) точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами. Например: A, B, C или 1, 2, 3. Цифры и буквы могут быть снабжены индексами: A1, B2;
б) линии принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а1, в2, m3 и т.д.;
в) плоскости обозначаются заглавными буквами греческого алфавита: Γ, Σ, Ω, Ψ;
г) знак параллельности: //. Например, прямая А параллельна прямой В записывается: А//В;
д) пересечение: а Ç в;
ж) обозначение угла: Ð ABC;
з) принадлежность: Ì
Точка М принадлежит прямой t: М Ì t;
Прямая l перпендикулярна плоскости S: l ^ S.
Для решения основной задачи начертательной геометрии, т.е. для установления адекватного соответствия положения точки в пространстве и её изображения на плоскости применяется конструктивный приём, который именуется операцией проецирования. Для этого вводится некоторая плоскость, которая называется плоскостью проекций, и некоторая точка в пространстве – центр проекций. Через центр проекций и данную точку проводится луч до пересечения с плоскостью проекций.
Рисунок 1
На рисунке 1 точка S- центр проекций; П1- плоскость проекций; точка A1 и B2- проекции точек A и B на плоскость П1.
Однако для того, чтобы проделать обратную процедуру, т.е. по проекции точки получить ее положение в пространстве, недостаточно одной ее проекции. Имея две проекции точки А и два центра проекций, можно получить точку А (рисунок 2).
Рисунок 2
Параллельное проецирование является частным случаем центрального, когда центр проекции удалён в бесконечность. В этом случае задаётся направление проецирования – луч S1 или S2. Проекцией точки А в данном случае будет точка пересечения луча, проведённого через эту точку параллельно направлению проецирования до пересечения с плоскостью проекций (рисунок 3).
Рисунок 3
Для того, чтобы по проекциям точки А получить её истинное положение в пространстве, необходимо иметь две её проекции на плоскость П. Точка пересечения лучей, восстановленных из точки А1 и А2 параллельно S1 и S2, будет являться точкой А.
Частным случаем параллельного проецирования является ортогональное проецирование. При этом направление проецирования всегда перпендикулярно плоскости проекций (рисунок 4).
Рисунок 4
В случае ортогонального проецирования, для того чтобы определить положение точки в пространстве по её проекции, необходимо ввести дополнительную плоскость проекций П2, которая была бы перпендикулярна П 1 (рисунок 5).
Рисунок 5
На рисунке 5 показано построение проекций точки А на две взаимно ортогональные плоскости П 1 и П2. И наоборот, имея две проекции точки А – А1 и А2, мы всегда можем получить положение точки А в пространстве, восстановив перпендикуляры к плоскостям проекций.
Преимущества ортогонального проецирования:
1. Простота графических построений для определения ортогональных проекций.
2. Возможность сохранить при определённых условиях на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.
Рисунок 6
Рисунок 6 представляет пространственное изображение точки А и плоскостей проекций, но в инженерной практике пользоваться такими изображениями не всегда удобно. Поэтому применяется плоский чертёж, на котором совмещены все три плоскости и который носит название Эпюр Монжа. Образуется он следующим образом: горизонтальная плоскость П 1 поворачивается вокруг оси Х на 90 градусов вниз до совмещения с фронтальной плоскостью, а профильная поворачивается вокруг оси Z на 90 градусов вправо. В результате получим плоское изображение всех трёх плоскостей проекций (рисунок 7). Этот чертёж называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.
Рисунок 7
Построим проекции точки А, изображённой на рисунке 6, на эпюре Монжа. Для этого отложим по оси X (рис.7) координату точки А по оси Х – расстояние Ах. Затем из этой точки восстановим перпендикуляры к оси Х на плоскости П 2 и П1.
Вверх, на плоскость П2, отложим высоту точки А или её координату по оси Z, а вниз, на плоскость П1, откладываем глубину точки два раза. Это искажение по оси У получается из-за того, что ось У повернулась на 45 градусов по сравнению с пространственным изображением. Для того чтобы построить профильную проекцию точки А, из её фронтальной проекции А2 проводим перпендикуляр к оси Z и откладываем на нём от оси Z глубину точки или её координату по оси У. Полученные три проекции точки А(А1, А2, А3) дают полное представление о положении точки в пространстве. Этот чертёж называется комплексным чертежом точки. Линии, соединяющие проекции точки, называются линиями связи.
1. Что изучает начертательная геометрия?
2. Что называется чертежом?
3. В чем отличие начертательной геометрии от инженерной графики?
4. Назовите основные этапы развития геометрии.
5. Какие специальные символы существуют для обозначения параллельности, перпендикулярности, пересечения, скрещивания? Какие обозначения вы знаете, кроме этих?
6. В чем сущность центрального проецирования?
7. Как образуется проекция точки при параллельном проецировании?
8. Назовите основные плоскости проекций.
9. Что такое эпюр Монжа? Как он образуется?
© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет
Начертательная геометрия и инженерная графика
Одними из самых ”трудных” предметов для студентов первых курсов инженерных, особенно строительных, специальностей Вузов являются Начертательная геометрия и Инженерная графика.
Традиционно, в преподавательской среде, считается, что основное предназначение курса Начертательная геометрия — это развитие пространственного мышления у студентов и создание теоретической базы для последующего курса, Инженерной графики (технического черчения). Вместе с тем, не оспаривая этот тезис, нужно отметить следующее. В психологии восприятия давно уже известно, что изначально зачатками пространственного мышления обладает всего несколько процентов населения. Целенаправленный отбор, по признаку наличия пространственного мышления у абитуриентов основных технических специальностей, не ведется. Следовательно, у большей части студентов просто отсутствует то, что предполагается развивать.
Попытка же развить пространственное мышление ”на пустом месте”, вкупе с отсутствием четкого представления (у обучающего и обучаемого) о том, зачем это все нужно и приводит к такому положению, когда Начертательная геометрия попадает в разряд ”трудных” курсов.
Исторически Начертательная геометрия развивалась как прикладная математическая дисциплина, призванная решать инженерно-технические задачи с использованием графических методов. До недавнего времени она была единственным ”поставщиком” алгоритмов решения сложных инженерных задач. Глубоко формализованный математический аппарат, используемый Начертательной геометрией, позволяет ей обходиться и без пространственного представления процесса решения той или иной задачи. Наиболее характерно это задач многомерного пространства.
С точки зрения прикладной математики Начертательная геометрия является системой моделирования пространства, базирующейся на собственном методе – проецировании. В этом случае проекционные чертежи рассматриваются как плоские эквиваленты пространств различной размерности.
При таком подходе к изучению Начертательной геометрии на первый план выходит задача по изучению формальных методов реализации моделей объектов пространства на чертежах (плоских эквивалентах). А это уже не требует наличия у обучаемого пространственного мышления. Решение той или иной задачи сводится к изучению системы, правил, реализующих методы Начертательной геометрии, базирующихся на формальной логике. Рассмотрение расширенного Евклидова пространства (пространства, дополненного несобственными элементами) позволяет значительно сократить число таких правил. А подход к геометрии трехмерного пространства с точки зрения многомерного еще более упрощает задачу. Все позиционные и метрические задачи для объектов различной размерности решаются с использованием одних и тех же алгоритмов.
Рассмотрение метода двух изображений, как базового для построения чертежей объектов трехмерного расширенного Евклидова пространства, позволяет единообразно подходить к построению, как ортогональных чертежей (эпюр Монжа), так и наглядных (аксонометрии и линейная перспектива), что весьма важно в дальнейшем для изучения алгоритмов машинной графики. Переход от классического Эпюра Монжа к арифметизированному (координированному) делает осязаемой связь Начертательной геометрии с компьютерными технологиями проектирования сложных инженерных объектов.
Опытные преподаватели хорошо знают, что даже самые слабые студенты при переходе от начертательной геометрии к изучению основ Технического черчения (Инженерной графики) как бы обретают второе дыхание. Это в большей степени объясняется тем, что осуществляется переход от теоретических чертежей абстрактных геометрических объектов, таких как: точки, линии, поверхности, к чертежам реальных объектов. Абстрактное мышление, необходимое для теоретических чертежей, может быть замещено практическим, менее трудоемким для многих обучаемых.
Не смотря на то, что оба курса, Начертательная геометрия и Инженерная графика, используют общий метод построения чертежей, технические чертежи не являются точными, они условны. Правила их выполнения в, основной своей массе, базируются на ограничениях, налагаемых ГОСТами. Если исключить требование проекционной связи, то вряд ли можно найти что-нибудь объединяющее теоретические и технические чертежи. Построение технических чертежей регламентируется системой условностей и упрощений. Более того, для чертежей различных видов изделий эти условности и упрощения носят различный характер.
С учетом всего сказанного утверждение о том, что начертательная геометрия — это база для Инженерной графики, является весьма спорным. Этот тезис подтверждается и многолетним опытом работы с выпускниками колледжей и техникумов. Такие студенты очень грамотно выполняют чертежи технических изделий и совершенно беспомощны при выполнении теоретических чертежей абстрактных объектов, чертежей Начертательной геометрии.
Подводя некоторый промежуточный итог, можно сказать, что Начертательная геометрия не обеспечивает формирование и развитие пространственного мышления и не является базой для изучения Инженерной графики.
Итак, возникает вопрос, какое же место, в настоящее время, занимает Начертательная геометрия в системе подготовки специалистов технического профиля?
Как ни странно это может показаться, ответ на этот, казалось бы, риторический вопрос, может быть следующий. Начертательная геометрия является основополагающим предметом при подготовке высококвалифицированного специалиста. И это объясняется следующим.
Подготовка современного специалиста ориентирована на использование им в практической деятельности средств вычислительной техники, моделирующей те или иные производственные процессы, работу технических объектов и сами объекты. Все это базируется на формальном описании объектов и процессов. Последнее же невозможно без обращения к объектам расширенного Евклидова пространства, знания позиционных и метрических их свойств, методов их преобразования, без соответствующей ”геометрической культуры” пользователя.
Именно эту геометрическую культуру и формирует Начертательная геометрия. Основными ее задачами на нынешнем этапе становятся:
– формирование формальной модели расширенного Евклидова пространства;
– формирование системного подхода к процессу решения позицион-ных и метрических задач;
– формирование умений геометрического моделирования процессов, систем и сложных технических форм.
Решение этих задач лежит в плоскости модернизации рабочих учеб-ных программ. В пределах, допускаемых образовательными стандартами, необходимо увеличить объемы часов, планируемых на изучение разделов конструирования кривых и поверхностей. Использование в промышленности идеологии 3D проектирования требует более полной увязки методов построения ортогональных чертежей с метрически определенными чертежами ”наглядных изображений” (аксонометрии и перспективы).
При проведении практических занятий, в первую очередь, необходимо обращать внимание на выработку у студентов устойчивых навыков в конструировании геометрических объектов по наперед заданным свойствам. Нельзя противопоставлять решение задач ”в пространстве и на чертеже”, ибо чертеж, будучи эквивалентом пространства, служит только для визуализации тех или иных его объектов, в той или иной форме.
Различные методы решения на чертежах задач, в основном, определяются особенностями получения (построения) их как эквивалентов. Наибольшее внимание следует уделять тем методам решения геометрических задач, которые в дальнейшем используются в CAD/CAM системах.
Последнее справедливо и для курса инженерная графика (Техническое черчение). В первую очередь студент должен усвоить ту информацию, которая необходима для настройки системы при выполнении той или иной проектной задачи. По окончании курса Инженерная графика студент должен иметь устойчивое представление о тех общих условностях и упрощения, которые применяются при выполнении технических чертежей.
Изучение правил выполнения специальных чертежей должны быть отнесены на специальные курсы. Понимание, зачем и почему именно так выполняются эти чертежи, в большинстве случаев, невозможно без знания технологии производства. Обучение черчению не заканчивается на первом курсе вуза. Как писал В.С.Левицкий «… инженер учиться чертить всю свою сознательную жизнь …».