Что такое мощность множества
Мощность множества. Конечные и бесконечные множества
Конечное множество – множество, содержащее конечное число элементов; мощность n-элементного множества А равна числу его элементов, т.е. | А | = n; множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Æ; пустое множество является подмножеством любого множества и имеет нулевую мощность (| Æ | = 0). Из определения конечного множества следует – любые два конечные множества с одинаковым (равным) числом элементов эквивалентны (между ними легко установить взаимно однозначное соответствие – для этого достаточно, например, ввести нумерацию элементов).
Одна из особенностей конечного множества заключается в том, что его всегда можно задать путем перечисления элементов. Ясно, что это не всегда удобно (когда число элементов велико), но довольно часто другие способы просто неприемлемы. Последнее относится, например, к ситуации, когда нужно описать подмножество студентов, объединенных в определенную группу (поток). Очевидно, в этом случае придумать какое-то свойство или порождающую функцию, позволяющие однозначно выделить группу студентов из всего множества студентов вуза (факультета), практически невозможно (да в этом и нет необходимости – достаточно составить список студентов).
множества, составленные из элементов бесконечных числовых последовательностей как функций натурального аргумента (если эти множества после исключения одинаковых элементов не трансформируются в конечные ).
Замечание. С возможностью нумерации элементов счетного множества связан тот факт, что довольно часто такого рода множества описываются посредством перечисления элементов. Это характерно, например, при задании (описании) бесконечных числовых последовательностей и рядов, когда по записанным нескольким первым членам последовательности (ряда) видна закономерность их изменения и, как следствие, запись последующих членов с помощью выявленной закономерности не вызывает затруднений. Простейшей иллюстрацией к вышесказанному могут служить применяемые на практике описания множеств натуральных и целых чисел, а именно:
множество всех подмножеств всякого счетного множества;
множество точек, принадлежащих некоторой прямой или поверхности;
множество всех действительных чисел некоторого интервала ( a,b ) или отрезка [ a,b ] (см. пример1.2).
В отличие от счетного множества,элементы континуального множества не могут быть пронумерованы, т.е. множество-континуум несчетно. Справедливость данного утверждения подтверждается теоремой Кантора, одно из доказательств которой представлено ниже.
Теорема Кантора. Множество действительных чисел отрезка [0,1] несчетно.
→ Докажем теорему методом от противного. Для этого предположим, что множество счетно, т.е. может быть пронумеровано. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями, в порядке их нумерации:
Геометрическая интерпретация множеств. Для геометрического (графического) изображения множеств и их свойств (связей между ними) довольно часто используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна, представляющие собой в общем случае некоторый прямоугольник на плоскости и вложенные в него круги.
» МÎ S : M Ì U. При этом каждое множество мыслится как множество точек, принадлежащих изображающему его кругу Эйлера.
Замечание. Ясно, что множество-универсум U должно быть либо задано, либо очевидно из контекста задачи. Так, для S = <A, B, С >, где
в качестве универсального множества можно использовать как весь латинский алфавит, так и множество U = <a,b,c,d,e,f,g>. Круги, иллюстрирующие множества А и В на рисунке, пересекаются, так как эти множества имеют общие элементы.
Мощность множества
Содержание
Определения [ править ]
| Определение: |
| Если А и В — произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, то они равномощны: [math] |A| = |B| [/math] |
| Определение: |
| Множество называется конечным, если его элементы можно пересчитать, иначе оно называется бесконечным. |
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
Мощность Q [ править ]
[math] B \subset A [/math]
[math] a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \ < a_1 \>= A_1 [/math] — бесконечное множество.
[math] a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \ < a_2 \>= A_2 [/math] — также бесконечное множество.
Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:
Выпишем все элементы этих множеств в таблицу:
[math] \begin
Будем нумеровать их по диагоналям: [math] \begin
В частности, множество рациональных чисел [math] \mathbb Q [/math] — счетно.
Континуум [ править ]
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
В результате выстраивается система вложенных отрезков:
[math] \ < \Delta_n : \Delta_
По свойству системы вложенных отрезков:
[math] \exists d = \bigcap\limits_
Мощность R [ править ]
Применим следующий прием:
Между счетными множествами можно установить биекцию: [math] B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A \leftrightarrow [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math]
В итоге получили, что [math] |\mathbb R| = |[0, 1]| [/math]
Так как [math] \mathbb Q [/math] — счетно. [math] |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow [/math] иррациональных чисел по мощности континииум.
Мощность множества
Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.
В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:
До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.
Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.
Мощность множества 
обозначается через 
. Сам Кантор использовал обозначение 
. Иногда встречаются обозначения 
и 
.
Содержание
Определение
Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.
Комментарий
Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является множеством.
Связанные определения
Примеры
Свойства
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Мощность множества» в других словарях:
Мощность множества — в математике, обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых… … Большая советская энциклопедия
МОЩНОСТЬ (в математике) — МОЩНОСТЬ множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие «число элементов». Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества… … Энциклопедический словарь
мощность — и; ж. 1. к Мощный (1 5 зн.). М. голоса. М. землетрясения. Удивиться мощности животного. М. организма. М. угольного пласта. М. государства. Проверить м. армии. 2. Физ., техн. Величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение… … Энциклопедический словарь
Мощность — 1) (в физике) некоторая физическая величина, характеризующая работу в единицу времени (имеет место в механике, электричестве, акустике, оптике и т. д.); 2) (в математике) определяют мощность множества, которая характеризует то общеелчто присуще… … Начала современного естествознания
Мощность (значения) — Мощность: Мощность (в физике и технике) отношение работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. Мощность множества (в математике) число элементов множества. Вычислительная мощность компьютера число операций,… … Википедия
МОЩНОСТЬ — кардинальное число, множества А такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное… … Математическая энциклопедия
Мощность статистических критериев (power of tests) — Проверка гипотезы предполагает сопоставление двух конкурирующих гипотез. Нулевая гипотеза указывает на невозможность редких, необычных событий. Альтернативная гипотеза, напротив, утверждает, что такие события возможны. Напр., нулевая гипотеза… … Психологическая энциклопедия
Упорядоченные и частично упорядоченные множества — (математичексие) множества, в которых каким либо способом установлен порядок следования их элементов или, соответственно, частичный порядок. Понятия порядка и частичного порядка следования элементов определяются следующим образом. Говорят … Большая советская энциклопедия
Что такое мощность множества
число из M является образом некоторого натурального n ∈ N. Значит, а — сюръективно и, следовательно, биективно: а : N ↔ M.
Каждому натуральному n N соответствует одно чётное, и наоборот: каждому чётному числу соответствует одно натуральное. Между множествами N, M установлено взаимно однозначное соответствие.
Введём понятие мощности множества. Если множество состоит из конечного числа элементов: A =
Как мы убедились, при работе с мощностью бесконечных множеств интуиция нас подводит. Здесь нужно придерживаться строгих определений. Однако в начале XX века математики обнаружили ещё более существенные трудности. Их назвали парадоксами теории множеств. Расскажем об одном из них.
Будем говорить, что множество A плохое, если оно является элементом самого себя. (Не подмножеством, а именно элементом!) Таково, например, множество всех множеств. Остальные множества (т. е. те, для которых A ∉ A) назовем хорошими. Пусть P — множество всех хороших множеств. Хорошее оно или плохое? Допустим, P плохое, т. е. P ∈ P. Но P, по определению, состоит только из хороших множеств. Получили противоречие. Допустим, P хорошее. Так как P — множество всех хороших множеств, то P ∈ P, и получаем, что P — плохое. В любом случае получается противоречие.
Пути разрешения парадоксов теории множеств не являются простыми. В частности, нельзя рассматривать в качестве множеств такие необозримые объекты как множество всех множеств.
1.2. Числовые множества Понятие о числе, сейчас для нас очень привычное, вырабатывалось очень медленно. На протяжении веков люди учились считать предметы. Число было свойством совокупности (множества) предметов и лишь постепенно стало отвлечённым понятием. Так возникли натуральные числа.
Мощность множества
Мо́щность, или кардина́льное число́, мно́жества (лат. cardinalis ← cardo «главное обстоятельство; основа; сердце») — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.
В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:
До того, когда была построена теория мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.
Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.
Содержание
Определение
Связанные определения
Примеры
Свойства
Арифметика кардинальных чисел
Обычные арифметические операции над числами натурального ряда можно обобщить на случай кардинальных чисел. Можно также показать, что в случае конечных кардинальных чисел эти операции совпадают с соответствующим арифметическими действиями над числами. Помимо этого, операции над кардинальными числами сохраняют многие свойства обычных арифметических операций.
Следующее по порядку кардинальное число
Сложение кардинальных чисел
Нейтральность нуля относительно сложения:
Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:
Вычитание
Умножение кардинальных чисел
Нейтральность единицы относительно умножения:
Монотонность (неубывание) умножения по обоим аргументам:
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
Деление
Возведение кардинальных чисел в степень
Возведение в степень определяется следующим образом:
κ 0 = 1 <\displaystyle \kappa ^<0>=1> 
(в частности, 0 0 = 1 <\displaystyle 0^<0>=1> ), см. «Пустая функция» 1 ≤ μ → 0 μ = 0 <\displaystyle 1\leq \mu \rightarrow 0^<\mu >=0> 1 μ = 1 <\displaystyle 1^<\mu >=1> κ 1 = κ <\displaystyle \kappa ^<1>=\kappa > κ μ + ν = κ μ ⋅ κ ν <\displaystyle \kappa ^<\mu +\nu >=\kappa ^<\mu >\cdot \kappa ^<\nu >> κ μ ⋅ ν = ( κ μ ) ν <\displaystyle \kappa ^<\mu \cdot \nu >=(\kappa ^<\mu >)^<\nu >> ( κ ⋅ μ ) ν = κ ν ⋅ μ ν <\displaystyle (\kappa \cdot \mu )^<\nu >=\kappa ^<\nu >\cdot \mu ^<\nu >>
( 1 ≤ ν ∧ κ ≤ μ ) → ν κ ≤ ν μ <\displaystyle (1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\rightarrow \nu ^<\kappa >\leq \nu ^<\mu >> κ ≤ μ → κ ν ≤ μ ν <\displaystyle \kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^<\nu >\leq \mu ^<\nu >>
Все последующие утверждения, приведённые в этом разделе, опираются на аксиому выбора.