Что такое монотонная функция

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) = f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 =» следует заменить на строгий « »: f(r1) f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

Критерии возрастания и убывания

Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) = 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) 0.

Основные свойства

Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

Базовые знания

Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

Нахождение производной

Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

Корни уравнений и критические точки

Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

Источник

Как определить что функция монотонна?

Как узнать что функция монотонна?

Монотонность функции, основные понятия и определения

Какая Булева функция является монотонной?

Монотонная булева функция — булева функция, которая монотонно возрастает (точнее не убывает) по каждому аргументу. Класс всех монотонных булевых функций является одним из пяти предполных классов.

Как определить монотонность функции по производной?

Связь монотонности функции с ее производной

Если производная функции f′(x)>0 на некотором промежутке X, то функция y=f(x) возрастает на этом промежутке; если же f′(x) Как понять что функция возрастает?

Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.

Как определить является ли последовательность монотонной?

Последовательность называется монотонной, если она убывающая или возрастающая. Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу, то последовательность называется постоянной. Читать дальше: предел числовой последовательности.

Что является функцией?

Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Как определить является ли Булева функция монотонной?

Булева функция f(x1, …, xn) называется монотонной (принадлежит классу M), если для любой пары наборов α и β таких, что α β, выполняется условие f(α)≤ f(β) (назовем его условием монотонности).

Как определить является ли функция Самодвойственной?

Функция самодвойственна, если и только если на противоположных наборах принимает противоположые значения. Достаточное условие несамодвойственности булевой функции. Если число единиц в столбце значений функции не совпадает с числом нулей, то функция не является самодвойственной. Примеры.

Какая Булева функция называется линейной?

Функция называется линейной, если каждое элементарное произведение канонического полинома Жегалкина, который представляет эту функцию, имеет не больше одного сомножителя.

Что такое промежутки монотонности?

Как найти производную функцию?

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции.

Как найти промежутки возрастания и убывания функции по графику?

Как понять что функция возрастает на всей области определения?

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей. Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей. Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Что такое растущая функция?

Что такое возрастающая и убывающая функция?

Функция y=f(x) называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т. е. Функция y=f(x) называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.

Источник

Что такое монотонная функция

Пусть \(y = f\left( x \right)\) является дифференцируемой функцией на интервале \(\left( \right).\) Функция называется возрастающей (или неубывающей ) на данном интервале, если для любых точек \(, \in \left( \right),\) таких, что \( строго возрастающей на интервале \(\left( \right).\)

Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая ) и строго убывающая функции.

Если функция \(f\left( x \right)\) дифференцируема на интервале \(\left( \right)\) и принадлежит к одному из четырех рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется монотонной на данном интервале.

Снова рассмотрим функцию \(y = f\left( x \right),\) считая ее дифференцируемой на некотором интервале \(\left( \right).\) Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции.

Поскольку \(f’\left( c \right) \ge 0,\) то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно, \[f\left( <> \right) \ge f\left( <> \right).\] т.е. функция \(y = f\left( x \right)\) является возрастающей на интервале \(\left( \right).\)

Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая строго возрастающей функции.

\(f’\left( x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left( \right);\)

Производная \(f’\left( x \right)\) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке \(\left[ <,> \right] \in \left( \right).\)

Условие \(1\) содержится в теореме \(1\) и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие \(2\) требуется для того, чтобы исключить участки постоянства функции, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) тождественно равна нулю.

На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания или строгого убывания функции. Из теоремы \(2\) следует такая формулировка достаточного признака:

Соответственно, условие \(f’\left( x \right) строго убывающую функцию.

Число точек, в которых \(f’\left( x \right) = 0,\) является, как правило, конечным. Согласно теореме \(2\), они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале \(\left( \right).\)

Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке:

Если \(f’\left( <> \right) > 0\), то функция \(f\left( x \right)\) строго возрастает в точке \(\);

Если \(f’\left( <> \right) сумма функций \(f + g\) также возрастает (убывает) на этом интервале.

Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) то противоположная функция \(-f\) убывает (возрастает) на этом интервале.

Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) то обратная функция \(\large\frac<1>\normalsize\) убывает (возрастает) на этом интервале.

Если функции \(f\) и \(g\) возрастают (убывают) на интервале \(\left( \right)\) и, кроме того, \(f \ge 0\), \(g \ge 0\), то произведение функций \(fg\) также возрастает (убывает) на этом интервале.

Если функция \(g\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) а функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) где \(g:\left( \right) \to \left( \right),\) то композиция функций \(f \circ g\) (т.е. сложная функция \(y = f\left( \right)\) также возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right).\)

Данная функция является суммой функций \(\) и \(3.\)

Первую функцию \(\) можно рассматривать как произведение двух одинаковых функций \(\). Из примера \(1\) следует, что квадратичная функция \(\) строго возрастает при \(x \ge 0.\) Следовательно, функция \(\) также строго возрастает при \(x \ge 0\) на основании свойства \(4\).

Второе слагаемое \(3\) представляет собой трехкратную сумму функций \(\) и, поэтому, также является строго возрастающей (на основании свойства \(1\)).

Итак, исходная функция \(f\left( x \right) = + 3\) является суммой двух строго возрастающих функций и, следовательно, также строго возрастает при \(x \ge 0.\)

Для контроля рассмотрим также неравенство \(f’\left( x \right) Рис.5

Следовательно, на основании достаточного признака монотонности, функция строго возрастает при \(x \in \left( <\large\frac<1>\normalsize,\infty > \right)\) и строго убывает при \(x \in \left( <0, \large\frac<1>\normalsize> \right).\) Ее вид схематически приведен на рисунке \(10\).

На основании достаточного признака монотонности заключаем, что функция возрастает при \(x \in \left( <0,\large\frac<1><2>\normalsize> \right)\) и убывает при \(x \in \left( <\large\frac<1><2>\normalsize,1> \right).\) График функции представляет собой полуокружность с центром в точке \(\left( <\large\frac<1><2>\normalsize,0> \right)\) и радиусом \(<\large\frac<1><2>\normalsize>\) (рисунок \(14\)).

Источник

В математика, а монотонная функция (или же монотонная функция) это функция между заказанные наборы что сохраняет или отменяет данное порядок. [1] [2] [3] Эта концепция впервые возникла в исчисление, а позже был обобщен на более абстрактную установку теория порядка.

Содержание

Монотонность в исчислении и анализе

Если неясно, что «увеличение» и «уменьшение» включают возможность повторения одного и того же значения при последовательных аргументах, можно использовать термины слабо монотонный, слабо увеличивается и слабо убывающий чтобы подчеркнуть эту возможность.

Термины «неуменьшение» и «неувеличение» не следует путать с (гораздо более слабыми) отрицательными квалификациями «не уменьшается» и «не увеличивается». Например, функция на фиг.3 сначала падает, затем возрастает, а затем снова падает. Следовательно, он не убывает и не увеличивается, но и не не убывает, и не увеличивается.

Обратная функция

Функция, которая является монотонной, но не строго монотонной и, следовательно, постоянной на интервале, не имеет обратного. Это связано с тем, что для того, чтобы функция имела инверсию, должно быть взаимно-однозначное отображение диапазона в домен функции. Поскольку у монотонной функции есть некоторые значения, которые являются постоянными в ее области, это означает, что в диапазоне, который отображается на это постоянное значение, может быть более одного значения.

Однако функция y = g (x), которая является строго монотонной, имеет обратную функцию, такую ​​что x = h (y), потому что всегда гарантируется взаимно-однозначное отображение диапазона в область определения функции. Кроме того, можно сказать, что функция является строго монотонной для диапазона значений и, таким образом, имеет инверсию для этого диапазона значений. Например, если y = g (x) строго монотонен в диапазоне [a, b], то он имеет обратный x = h (y) в диапазоне [g (a), g (b)], но мы не могу сказать, что весь диапазон функции имеет инверсию.

Обратите внимание, что в некоторых учебниках ошибочно утверждается, что обратное существует для монотонной функции, хотя на самом деле они означают, что обратное существует для строго монотонной функции.

Монотонное преобразование

Период, термин монотонное преобразование (или же монотонное преобразование) также может вызвать некоторую путаницу, поскольку относится к преобразованию с помощью строго возрастающей функции. Так обстоит дело в экономике в отношении порядковых свойств вспомогательная функция сохраняются при монотонном преобразовании (см. также монотонные предпочтения). [4] В этом контексте то, что мы называем «монотонным преобразованием», более точно называется «положительным монотонным преобразованием», чтобы отличить его от «отрицательного монотонного преобразования», которое меняет порядок чисел на обратный. [5]

Некоторые основные приложения и результаты

Эти свойства являются причиной того, почему монотонные функции полезны в технической работе в анализ. Еще несколько фактов об этих функциях:

Функция одномодальный если он монотонно увеличивается до некоторой точки ( Режим), а затем монотонно убывает.

Монотонность в топологии

Монотонность в функциональном анализе

Теорема Качуровского показывает, что выпуклые функции на Банаховы пространства имеют монотонные операторы в качестве производных.

Монотонность в теории порядка

Теория порядка имеет дело с произвольными частично упорядоченные наборы и предварительно заказанные наборы как обобщение действительных чисел. Приведенное выше определение монотонности актуально и в этих случаях. Однако термины «увеличение» и «уменьшение» избегаются, поскольку их обычное графическое изображение не применяется к заказам, которые общий. Кроме того, строгий отношения мало используются во многих неполных порядках, и поэтому для них не вводится дополнительная терминология.

для всех Икс и у в своей области. Композиция двух монотонных отображений также монотонна.

В двойной понятие часто называют антитон, антимонотонный, или же изменение порядка. Следовательно, антитонная функция ж удовлетворяет свойству

для всех Икс и у в своей области.

А постоянная функция одновременно монотонный и антитонный; наоборот, если ж является одновременно монотонным и антитонным, и если область ж это решетка, тогда ж должно быть постоянным.

Монотонные функции занимают центральное место в теории порядка. Они появляются в большинстве статей по данной теме, и в этих местах можно найти примеры из специальных приложений. Некоторые известные специальные монотонные функции: заказать вложения (функции, для которых Икс ≤ у если и только если ж(Икс) ≤ ж(у)) и изоморфизмы порядка (сюръективный заказать вложения).

Монотонность в контексте поисковых алгоритмов

Источник

В математика, а монотонная функция (или же монотонная функция) это функция между заказанные наборы что сохраняет или отменяет данное порядок. [1] [2] [3] Эта концепция впервые возникла в исчисление, а позже был обобщен на более абстрактную установку теория порядка.

Содержание

Монотонность в исчислении и анализе

Если неясно, что «увеличение» и «уменьшение» включают возможность повторения одного и того же значения при последовательных аргументах, можно использовать термины слабо монотонный, слабо увеличивается и слабо убывающий чтобы подчеркнуть эту возможность.

Термины «неуменьшение» и «неувеличение» не следует путать с (гораздо более слабыми) отрицательными квалификациями «не уменьшается» и «не увеличивается». Например, функция на фиг.3 сначала падает, затем возрастает, а затем снова падает. Следовательно, он не убывает и не увеличивается, но и не не убывает, и не увеличивается.

Обратная функция

Функция, которая является монотонной, но не строго монотонной и, следовательно, постоянной на интервале, не имеет обратного. Это связано с тем, что для того, чтобы функция имела инверсию, должно быть взаимно-однозначное отображение диапазона в домен функции. Поскольку у монотонной функции есть некоторые значения, которые являются постоянными в ее области, это означает, что в диапазоне, который отображается на это постоянное значение, может быть более одного значения.

Однако функция y = g (x), которая является строго монотонной, имеет обратную функцию, такую ​​что x = h (y), потому что всегда гарантируется взаимно-однозначное отображение диапазона в область определения функции. Кроме того, можно сказать, что функция является строго монотонной для диапазона значений и, таким образом, имеет инверсию для этого диапазона значений. Например, если y = g (x) строго монотонен в диапазоне [a, b], то он имеет обратный x = h (y) в диапазоне [g (a), g (b)], но мы не могу сказать, что весь диапазон функции имеет инверсию.

Обратите внимание, что в некоторых учебниках ошибочно утверждается, что обратное существует для монотонной функции, хотя на самом деле они означают, что обратное существует для строго монотонной функции.

Монотонное преобразование

Период, термин монотонное преобразование (или же монотонное преобразование) также может вызвать некоторую путаницу, поскольку относится к преобразованию с помощью строго возрастающей функции. Так обстоит дело в экономике в отношении порядковых свойств вспомогательная функция сохраняются при монотонном преобразовании (см. также монотонные предпочтения). [4] В этом контексте то, что мы называем «монотонным преобразованием», более точно называется «положительным монотонным преобразованием», чтобы отличить его от «отрицательного монотонного преобразования», которое меняет порядок чисел на обратный. [5]

Некоторые основные приложения и результаты

Эти свойства являются причиной того, почему монотонные функции полезны в технической работе в анализ. Еще несколько фактов об этих функциях:

Функция одномодальный если он монотонно увеличивается до некоторой точки ( Режим), а затем монотонно убывает.

Монотонность в топологии

Монотонность в функциональном анализе

Теорема Качуровского показывает, что выпуклые функции на Банаховы пространства имеют монотонные операторы в качестве производных.

Монотонность в теории порядка

Теория порядка имеет дело с произвольными частично упорядоченные наборы и предварительно заказанные наборы как обобщение действительных чисел. Приведенное выше определение монотонности актуально и в этих случаях. Однако термины «увеличение» и «уменьшение» избегаются, поскольку их обычное графическое изображение не применяется к заказам, которые общий. Кроме того, строгий отношения мало используются во многих неполных порядках, и поэтому для них не вводится дополнительная терминология.

для всех Икс и у в своей области. Композиция двух монотонных отображений также монотонна.

В двойной понятие часто называют антитон, антимонотонный, или же изменение порядка. Следовательно, антитонная функция ж удовлетворяет свойству

для всех Икс и у в своей области.

А постоянная функция одновременно монотонный и антитонный; наоборот, если ж является одновременно монотонным и антитонным, и если область ж это решетка, тогда ж должно быть постоянным.

Монотонные функции занимают центральное место в теории порядка. Они появляются в большинстве статей по данной теме, и в этих местах можно найти примеры из специальных приложений. Некоторые известные специальные монотонные функции: заказать вложения (функции, для которых Икс ≤ у если и только если ж(Икс) ≤ ж(у)) и изоморфизмы порядка (сюръективный заказать вложения).

Монотонность в контексте поисковых алгоритмов

Источник