Что такое множество в математике 2 класс примеры правило

Что такое множество?

Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F ( friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

12 thoughts on “Что такое множество?”

Источник

Урок математики 2 класс Тема «Множество»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

План урока по математике:

Обозначение множества и его элемента. Знаки и

Урок № 59 Раздел 2С – Обозначение множества и его элемента. Знаки и

Подраздел 4.1 Множества и операции

Сквозная тема: «Мой родной край»

Тема урока: Множество и его элементы

Цели обучения, которые необходимо достичь на данном уроке

Употребление слов: множество, элемент множества, принадлежит множеству, не принадлежит множеству

В ходе урока будет воспитываться диалогическая культура учащихся, взаимопомощь, сотрудничество, умение слушать друг друга.

Во время урока на этапе введения в тему осуществляется связь с предметами познание мира и русский язык.

Предметная лексика и терминология: множество, элемент множества

Серия п олезн ых фраз для диалога/письма

— Что такое множество?

-Чем отличается множество от группы различных предметов?

— Что называют элементами множества?

-Посмотрите вокруг себя и назовите, какие множества видите.

Ключевые слова и фразы:

Решите примеры, запишите, какое слово получилось

учащиеся умеют группировать предметы по определенным признакам

Планируемые действия (замените ниже запланированными действиями)

2. Мотивация урока. Стартер (К)

Прослушивание песни «Вместе весело шагать».

— Ребята! Вам нравится эта песня? Как вы понимаете — о чем она? (Да, нравится, это песня о дружбе …)

— Вы тоже собрались все вместе на урок математики. Поэтому давайте выберем слова «Вместе весело шагать» девизом сегодняшнего урока. Как вы думаете, какое слово в этом девизе самое главное? (Дети высказывают свои версии — вместе, весело, шагать.)- Особое значение имеет слово «вместе».

— На уроках математики тоже важно, чтобы было весело и интересно, чтобы вы все время шагали вперед.

— Ребята, а как вы работаете на уроках математики, как идёте вперёд? (У нас есть 2 шага учебной деятельности: понять «что я не знаю?», потом «сам найду способ».)

— Сегодня мы поговорим с вами о значении слова «вместе» в математике.

— Давайте пожелаем друг другу успеха!

3.Постановка учебной задачи.

(К)А теперь поиграем в игру: «Назови одним словом».

— Как назвать людей, которые объединились, чтобы вместе : петь (хор), танцевать (ансамбль), играть в футбол (команда), работать (бригада)?

— Как назвать собранные вместе : книги (библиотека), марки (коллекция), цветы (букет)?

— Как назвать летящих вместе птиц (стая), пчел (рой)?

— Как назвать пасущихся вместе овец (отара), лошадей (табун)?

— Вы видите, и в речи много слов, имеющих собирательное значение. Приведите свои примеры таких слов. (Класс, сервиз и т.д.)

На столах у детей листы, одна сторона которых чистая, а на второй — примеры с таблицами. Дети записывают на чистой стороне свои версии и через минуту озвучивают их.

— У кого нет слова? – В чём ваше затруднение? (Я не смог подобрать универсальное слово.)

— У кого разные варианты (перечислить)? Обоснуйте своё мнение.- В чём ваше затруднение? (Мы не можем обосновать свой выбор слова.)

— Почему оно возникло? (Много вариантов: мы смогли подобрать нужное слово для группы одушевлённых предметов или, наоборот, для группы неодушевлённых предметов. Не знаем какой вариант выбрать.)

— Какую цель вы перед собой поставите? (Узнать, какой термин в математике используется вместо слов «собраны вместе» и научиться его использовать при решении задач.)

— Какова же тема урока? (варианты детей)

-Это слово зашифровано на обратной стороне ваших листков с примерами и таблицей.

— Что такое множество?

-Чем отличается множество от группы различных предметов?

— Что называют элементами множества?

-Посмотрите вокруг себя и назовите, какие множества видите.

— Знакомство учащихся с правилом в учебнике. Учитель прикрепляет карточки со знаками принадлежности и не принадлежности на доску.

— Проверьте по учебнику – правы вы или нет?

Игра. Вызовите на свободную часть класса 10–15 учащихся (в зависимости от количества детей в классе) и попросите их встать в круг, взявшись за руки. Предложите назвать свое множество. Затем каждому из оставшихся учащихся давайте задание назвать себя таким элементом, чтобы он принадлежал или не принадлежал этому

множеству. Если учащийся принадлежит множеству, то он входит в круг, если не принадлежит, то он остается за кругом. Затем, предложите учащимся посчитать количество элементов, принадлежащих этому множеству и не принадлежащих.

Задание можно усложнить, предложив ученикам, которые не вошли во множества, объединиться между собой по какому-либо признаку и создать свои множества.

Невозможность повторения элементов множества в списке.

— Назовите 3 элемента множества деревьев, 3 элемента множества плодов.

— Является ли элементом этого множества портфель ученика? (Нет.) А его рука? (Тоже нет.) Почему? (Дети высказываются.)

— Верно! Части элемента не принадлежат множеству. А теперь скажите, может ли встретиться в списке класса дважды имя одного и того же ученика? (Нет.)

— Так и в множестве — элементы не могут повторяться! Давайте выпишем в фигурных скобках множество букв, которыми записано слово «математика»: (<М, А, Т, Е, И, К>.)

— Обратите внимание, в слове 10 букв, а в множестве — 5, без повторов!

2) Выделение группы предметов, образующих множество, замкнутой линией.

— На рисунке изображена семья Ивановых. Обведите на этом рисунке множество детей.

— Теперь обведите множество взрослых.

— Определите, сколько элементов содержат эти множества. (2 и 4.)

Теперь в парах перечислите друг другу элементы множества членов вашей семьи. Принадлежит ли этому множеству ученики класса? А стол, который стоит в вашей квартире?

3)– А теперь поиграем в игру «Пойми меня»: один игрок называет какое-нибудь слово, записанное на доске, и ученика, которому надо перевести это слово на математический язык. (Например, хор – множество людей, поющих вместе ; букет — множество цветов, собранных вместе и т.д.)

Назови элементы множеств. Предложите учащимся разбиться в группы по три человека. Каждому взять одно из множеств и назвать его элементы. Остальным двум добавить к его элементам свои примеры.

Например:множество четырехугольников – квадрат, ромб, и т. д.; множество деревьев – береза, дуб, клен и т. д.;

множество насекомых – муха, комар, пчела и т. д.

Подумай. Организуйте работу в группах. Попросите детей рассуждать и делать выводы, относительно каждого задания. Затем пригласите по одному представителю от каждой группы презентовать свое решение.

а) верно; б) неверно; в) верно; г) неверно.

Фонограмма песни «Вместе весело шагать», презентация,

карточки со знаками принадлежности и непринадлежности множеству

Источник

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.

А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = , а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

умножения S ∩ D = D ∩ S;

сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Источник

Что такое множество 👨‍🎓. Свойства и операции над множествами

В этой статье рассмотрим очень важную тему, как в математике, так и в информатике – множества. Ниже Вы найдете основные определения и понятия, свойства множеств, их виды и примеры. Материал изложен таким образом, что разберется даже полный чайник. Здесь приведены, только основы, которые обычно проходятся в рамках школьной программы. Читайте!

Основные положения и обозначения

Теория множеств появилась благодаря знаменитому немецкому математику Гео́рг Ка́нтор (3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств.

Итак, начнем с основных понятий. Основное определение имеет следующий вид:

Множества (м-ва – сокр.) – наборы элементов объединенных по какому либо признаку.

Обозначаются они с помощью заглавных латинских букв, а их элементы указываются в фигурных скобках.

Примеры

​ \( S = \left\ < а, б, в, г, д, …, ю, я \right\>\) – мн-во букв русского алфавита.
\( S = \left\ < Алексей, Анатолий, Галина, …, Александр, Ирина \right\>\) – мн-во имен студентов в группе.
\( S = \left\ < 🐵, 🙈, 🙉, 🙊 \right\>\) – мн-во смайликов с изображением обезьянок.

Также стоит обговорить про принадлежность элементов к множеству. Записать её можно с помощью специального значка «принадлежности» – ​ \( \in \) ​. Так запись вида \( x \in S \) обозначает, что элемент x принадлежит множеству S.

С основным понятием разобрались, перейдем к остальной теории.

Подмножества

Подмножество – множество S1 является подмножеством S, если каждый элемент из S1 содержится (включен) в S.

Обозначают подмножества при помощи специального значка «включения», который имеет вид ​ \( \subset \) \( (\ S_1 \subset S \ ) \) ​. Также их можно отобразить схематично, используя диаграммы Эйлера, которые отображают отношения между подмножествами.

Также Вы можете выделить подмножество мужских имен, или сделать любую выборку по какому-нибудь признаку.

Мощность

Следует также выделить такое понятие, как мощность. Имеет оно следующий вид:

Мощность – количество элементов, которое содержится в множестве.

Мн-ва называются равномощными тогда и только тогда, когда количество элементов одного из них равно количеству элементов другого.

Причем неважно, какие элементы будут в этих мн-ах. Так в одном из них могут содержаться 26 букв английского алфавита, а в другом 26 марок японских автомобилей, при этом они будут равномощными.

Мощность является одним из тех свойств, благодаря которому мы можем проводить сравнение двух (или более) м-в.​​

Равенство

Необходимо сказать и про равенство. Для чайников правило будет выглядеть так:

Два (или несколько) множеств равны только тогда, когда равны все их элементы.

Теперь изучим виды и другие свойства мн-в в математике.

Существует много критериев и свойств, по которым мы можем классифицировать множества. Например, мы можем разделить их по количеству элементов:

А можем поделить их на конечные (ограниченные) и бесконечные:

Теперь рассмотрим примеры множеств в математике.

Примеры

Натуральные числа

Натуральные числа в математике – это те числа, которые мы используем при счете (1, 2, 3 и т.д.). Сюда не относятся отрицательные величины и нуль. Запись: \( N = \left\ < 1, 2, 3, 4, 5, … \right\>\).

Целые числа

Получаются из множества натуральных чисел. К ним добавляются отрицательные числа и нуль. \( Z = \left\ < 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, … \right\>\).

Рациональные числа

Здесь множество задается следующим образом: ​ \( Q = \left\ < \ | \ m \in Z, \ n \in N\right\> \) ​. В формуле m представляет собой целый числитель, а n – натуральный знаменатель.

Так как любое число в математике можно представить в виде дроби (например, ​ \( 5 = <5 \over 1>\) ​), то целые числа являются подмножеством рациональных чисел. Натуральные же числа являются подмножеством целых чисел.

\[ N \subset Z \subset Q \]

Эту теорию Вам надо запомнить.

Операции

В этом разделе рассмотрим основные операции (действия) над множествами в математике.

Пересечение

Чтобы поняли даже чайники, вернемся к нашим «мартышкам»:

\( S_ <1>= \left\ < 🙉, 🙊 \right\>\) — обезьянки показывающие лапки и глаза

\( S_ <2>= \left\ < 🙈, 🙉 \right\>\) — мартышки показывающие лапы и рот

Надо найти \( S_ <1>\ \cap \ S_ <2>\). Для этого воспользуемся диаграммами Эйлера — Венна:

Решение: ​ \( S_ <1>\ \cap \ S_ <2>= \left\ < 🙉 \right\>\) т.к. 🙉 ​ входит и в S1 и в S2.​

Объединение

​Решение: ​ \( S_ <1>\ \cup \ S_ <2>= \left\ < 🙈, 🙉, 🙊 \right\>\) ​

Разность

Решение: ​ \( S_ <1>\ \setminus \ S_ <2>= \left\ < 🙊 \right\>\)

Следует отметить, что здесь приведены не все операции. Например, не написано про симметрическую разность и законы Моргана. Их проходят в рамках высшей математики.

Заключение

Теперь Вы знаете, что такое мн-ва, знаете их свойства и какие операции над ними можно выполнять. Надеюсь я объяснил всю теорию так, что понял даже полный чайник. Если же у Вас возникли вопросы, то задавайте их в комментариях. Также на нашем сайте Вы можете прочитать другие статьи, например про представления чисел в компьютере. Рассказывается как выполнять с ними такие действия, как перемножение, получение суммы и деление.

Источник