Что такое множество меры нуль

Мера множества

Понятие меры множества является далеко идущим обобщением понятия длины отрезка. В простейшем случае (которым только мы и будем заниматься) задача состоит в том, чтобы дать определение длины не только для отрезков, но также и для более сложных точечных множеств, расположенных на прямой.

Задача определения длины множеств, или, как говорят еще, задача измерения множеств, весьма важна, так как она имеет существенное значение для обобщения понятия интеграла. Понятие меры множества применяется и в других вопросах теории функций, а также в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и т.д.

Ниже излагается определение меры множеств, предложенное французским математиком А. Лебегом и лежащее в основе данного им определения интеграла.

Мера открытого и замкнутого множества

Начнем с определения меры произвольного открытого или замкнутого множества. Как уже отмечалось, всякое открытое множество на прямой является конечной или счетной суммой попарно не пересекающихся интервалов.

Мерой открытого множества называется сумма длин составляющих его интервалов.

Определение меры множества

Если удовлетворяется соотношение

Отметим, что всегда

Сделаем несколько пояснений. Длина простейших множеств (например, интервалов и отрезков) обладает рядом замечательных свойств. Укажем важнейшие из них.

4. Мера множества не меняется, если его сдвинуть как твердое тело.

Желательно, чтобы основные свойства длины сохранялись и для более общего понятия меры множеств. Но, как можно совершенно строго показать, это оказывается невозможным, если приписывать меру произвольному множеству точек на прямой. Поэтому-то в данном выше определении и появляются множества, имеющие меру или измеримые, и множества, не имеющие меры или неизмеримые. Впрочем, класс измеримых множеств настолько широк, что это обстоятельство не вносит каких-либо существенных неудобств. Даже построение примера неизмеримого множества представляет известные трудности.

Приведем несколько примеров измеримых множеств.

Мера канторова совершенного множества

Как показывает этот пример, множество может иметь мощность континуума и тем не менее иметь меру, равную нулю.

Мера множества R всех рациональных точек отрезка [0, 1]

Этот пример показывает, что множество может быть всюду плотным на некотором отрезке и тем не менее иметь меру, равную нулю.

Множества меры нуль во многих вопросах теории функций не играют никакой роли, и ими следует пренебрегать. Например, функция интегрируема по Риману в том и только в том случае, если она ограничена и множество её точек разрыва имеет меру нуль. Можно было бы привести значительное число таких примеров.

Измеримые функции

Какие функции можно получить из непрерывных функций путем повторного применения операции построения предела почти всюду сходящейся последовательности функций и алгебраических операций?

Для ответа на этот вопрос нам потребуется несколько новых понятий.

Можно показать, что произвольная непрерывная функция, заданная на отрезке, измерима. Однако к числу измеримых функций принадлежат также и многие разрывные функции, например функция Дирихле, равная 1 для иррациональных точек отрезка и равная 0 для остальных точек этого отрезка.

Отметим без доказательства, что измеримые функции обладают следующими свойствами.

также измеримы (последняя, если ).

Это свойство показывает, что алгебраические операции над измеримыми функциями снова приводят к измеримым функциям.

Таким образом, операция построения предела почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций вновь приводит к измеримым функциям.

Эти свойства измеримых функций были установлены Лебегом. Глубокое исследование измеримых функций было произведено советскими математиками Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным. В частности, Н. Н. Лузин показал, что всякую измеримую функцию, заданную на отрезке, можно превратить в непрерывную, изменив ее значения на некотором множестве сколь угодно малой меры.

Этот классический результат Н. Н. Лузина и перечисленные выше свойства измеримых функций позволяют показать, что измеримые функции и представляют собой тот класс функций, о котором шла речь в начале этого пункта. Измеримые функции имеют также большое значение для теории интегрирования, именно, понятие интеграла может быть обобщено таким образом, чтобы всякая ограниченная измеримая функция оказалась интегрируемой. Подробнее об этом рассказывается в разделе интеграл Лебега.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

множества меры нуль

Заслуженный участник

Нет, не верно. Любое счетное множество имеет меру нуль. Также полно несчетных множеств меры нуль (например, канторово).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось alex1910 16.06.2011, 15:41, всего редактировалось 1 раз.

—mS—, ежу ясно, что ТС имел ввиду меру на прямой.

Заслуженный участник

—mS—, ежу ясно, что ТС имел ввиду меру на прямой.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 16.06.2011, 17:33, всего редактировалось 1 раз.

Полностью согласен. Лебега-Стилтьеса.

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Множества меры ноль

Множества меры ноль

Множества меры ноль. В предыдущем пункте было установлено, что множество может быть измерено в соответствии с Иорданией только в том случае, если его границей является мера 0.Поэтому важно, чтобы были признаки, по которым можно установить, что набор измерений равен нулю. Довольно распространенным примером набора измерительных нулей является цилиндр, основанный на наборе измерительных нулей(см. результаты теоремы 2).Следующая теорема указывает на другой широкий класс нулевых множеств меры. Теорема 3.Мера графа непрерывной функции в компактном множестве равна нулю.

Эта оценка достигается, если точка графика, соответствующая указанному экстремальному значению, находится на грани куба ранга k. Людмила Фирмаль

So например, плоское множество («сектор» кривой, определяемый криволинейной трапецией, полярными координатами и вращателем, площадью и объемом, вычисленными в§ 1 с использованием соответствующего 32-мерного интеграла Римана) является измеримым множеством В Иордании. Убедитесь, что границы равны нулю. Точно так же параллелепипеды и эллипсоиды, особенно шары, измеримы по Жордану, потому что их границы могут быть представлены как объединение графов последовательных функций в компактном множестве. Обратите внимание, что в § 31 понятие Major Major было введено для открытого множества. Если мы сравним его определение с определением, приведенным в§ 44.1, то увидим, что измерения, введенные в тезисе 0 = 11 * 0, то есть измерения, введенные в§ 31, являются измерениями нижней Иордании.

Даже в этом случае только по непрерывности рассматриваемых кривых видно, что их недостаточно для достижения измеряемой величины нуля. Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Что такое множество меры нуль

2.3. Понятие меры Лебега

1. По определению будем считать, что мера прямоугольника P, mesP=a*b. Назовём элементарным плоским множеством (ступенчатой фигурой) такое множество, которое можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся прямоугольников.

2. Полагаем, что если множество то Для прямоугольников можно доказать, а для других элементарных множеств постулируется σ-аддитивность.

3. Покрытием множества A называется такая совокупность множеств G_α⊂X, что

4. Внешняя мера μ * определяется так: где инфинум берётся по всем возможным покрытиям множества конечной или счётной совокупностью прямоугольников P_n или других элементарных множеств.

5. Определим некоторое множество A_ε как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников или других элементарных множеств. Это измеримое элементарное множество.

( Комментарий. Стало быть, совокупность измеримых множеств замкнута относительно операции счётного объединения, а мера σ-аддитивна.)

Теорема 5 (О непрерывности σ-аддитивной меры). Если

2. Таким образом, исходное множество A заменяется со сколь угодно большой степенью точности множеством A_ε и теперь уже не важно, как определить меру множества или как внешнюю меру по всем покрытиям, или как конечную сумму мер прямоугольников, из которых состоят элементарные множества. Через покрытия удобнее, так как не надо искать способ представления множества A.

Определение 1. Множество A⊂R n ₂ имеет лебегову меру ноль, если ∀ε>0, можно указать последовательность открытых параллелепипедов V_k, такую, что и

Пример 1. Меру ноль имеет любое дискретное множество, любое конечное или счётное множество, например, множество рациональных чисел (как объединение конечного или счётного числа точек, имеющих меру ноль).

Пронумеруем множество рациональных чисел и вокруг любого числа x_n рассмотрим интервал Его мера (длина) а

Переходя к дополнениям, получим, что мерой множества иррациональных чисел на отрезке будет длина отрезка.

Множество рациональных чисел стало измеримым, имеет лебегову меру ноль, но это всюду плотное множество первой категории. Может ли несчётное множество иметь меру ноль?

Пример 2. Покажем, что канторов дисконтинуум есть замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество лебеговой меры ноль и мощности континуума.

1. Замкнутость. Канторов дисконтинуум K есть пересечение K_n замкнутых отрезков, оставшихся на n-м шаге процедуры с отрезком [0,1], то есть а это замкнутое множество.

2. Совершенство. По процедуре, мы никогда не выбрасываем два смежных интервала, то есть в множестве K нет изолированных точек.

3. Нигде не плотность. Возьмём произвольный интервал (a,b)∈[0,1] и покажем, что ∃(α,β)∈(a,b)∈[0,1], не содержащий точек множества K. В самом деле: или на n-ном шаге процедуры интервал (a,b) уже не содержит точек множества K, или на следующем шаге мы выбрасываем из него треть, а это и есть тот самый интервал (α,β)∈(a,b), не содержащий точек множества K.

4. Мера ноль. Сумма длин выброшенных интервалов то есть то, что осталось имеет меру ноль.

( Комментарий. Канторов дисконтинуум не имеет внутренних точек, так как если точка M внутренняя, то существует окрестность точки M, целиком принадлежащая множеству K, то есть U_M⊂K. Но тогда мера μU_M>0, и μK>0. Процедура Кантора позволяет строить на отрезке замкнутые, совершенные, нигде не плотные множества мощности континуума и произвольной лебеговой меры, меньшей, чем длина отрезка.)

Пример 3. Построим на отрезке [0,1] замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество мощности континуума и с заданной мерой μ

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Множества меры 0, лебеговская мера их подмножеств

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось PAV 02.06.2012, 09:04, всего редактировалось 2 раз(а).

Супермодератор

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось xmaister 22.02.2012, 22:02, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось _hum_ 22.02.2012, 22:04, всего редактировалось 1 раз.

Наверное, все же имелось в виду доказать, что всякое подмножество множество меры нуль измеримо по Лебегу (ибо отсюда автоматом по монотонности вытекает его нулевая мера).

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось _hum_ 22.02.2012, 22:20, всего редактировалось 1 раз.

Монотонность внешней меры?

(Вообще, зависит от того, какую конструкцию вы используете для определения лебеговских множеств. Если через внешнюю и внутреннюю меры, то монотонность внешней меры должна помочь)

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось a_nn 22.02.2012, 22:25, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось xmaister 22.02.2012, 22:26, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось xmaister 22.02.2012, 22:32, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник