Что такое минимальный объем

Решение главной проблемы MOQ (минимального объема заказа)

Жоаннес Верморель, декабрь 2016 г.

Минимальный объем заказа (MOQ) — это один из наиболее распространенных видов ограничений заказа в цепях поставок. MOQ используется, когда поставщик не принимает заказы на закупку, если их объем меньше определенного значения, которое обычно выражается в единицах товара или в долларах. Достаточно часто различные ограничения MOQ накладываются друг на друга, и все их обязательно нужно учитывать. Основная проблема MOQ заключается в (приблизительном) расчете оптимального объема заказа, который соответствовал бы всем ограничениям MOQ и позволял бы получать максимальную прибыль за каждую приобретаемую единицу товара.

Стандартные ограничения MOQ

Ограничения MOQ могут принимать различные формы. Приведем несколько наиболее распространенных ограничений MOQ, с которыми мы сталкивались:

Понятия

Прежде чем разбираться с числовой оптимизацией, давайте рассмотрим наиболее важные понятия, которые используются при решении основной проблемы MOQ. У нас есть:

Понятие цели вводится как универсальный механизм определения дополнительных критериев завершения заказа при работе с политикой приоритетных заказов. Проще говоря, мы рассчитываем такие заказы на закупку, которые дадут максимальный экономический эффект при минимальных вложениях и обеспечат достижение целей. Ниже приводится более точное определение данного процесса оптимизации.

Формальное определение основной проблемы MOQ

В данном разделе основная проблема MOQ описана в виде формальной нелинейной задачи на оптимизацию. Достаточно очевидно, что данная проблема является НП-трудной. Основная проблема MOQ тесно связана с https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_об_упаковке_в_контейнеры, которая также является НП-трудной. Таким образом, основная проблема MOQ является, по меньшей мере, такой же трудной, как и задача об упаковке в контейнеры. Несмотря на то, что проблема является НП-трудной, надо сказать, что на практике для нее можно найти очень хорошие решения.

Мы получим несколько функций.

Источник

Что такое МРОТ. Объясняем простыми словами

МРОТ — это минимальный размер оплаты труда. Речь идёт об условной сумме, ниже которой не может опускаться размер зарплаты работника на полной ставке и при полном рабочем дне.

Проще говоря, если даже самый низкоквалифицированный специалист в компании трудится восемь часов пять дней в неделю, ему нужно за месяц заплатить не меньше МРОТ. Минимальный размер оплаты труда устанавливают на год. В 2021 году он составляет 12 792 рубля, а в 2022-м повысится до 13 617 рублей.

С 1 января 2021 года МРОТ рассчитывают исходя не из потребительской корзины, как это делалось с 1997-го, а по медианной заработной плате — величине, которая делит количество работающих в стране граждан на две равные части: 50% рабочих мест оплачиваются ниже этого значения и 50% рабочих мест — выше.

Примеры употребления на «Секрете»

«Нынешний МРОТ соответствует нищете, а два МРОТ — всё-таки хоть какая-то цифра».

(Представитель межрегионального профсоюза работников образования «Учитель» в Санкт-Петербурге Александр Кондрашев — о зарплатах педагогов в России.)

«Отрыв сегодня прожиточного минимума от МРОТ позволит в будущем правительству фальсифицировать цифры количества бедного населения, оно у нас будет снижаться, несмотря на то что уровень жизни, зарплаты будут реально падать. Вот такой интересный статистический феномен, к которому нас Правительство РФ продвигает».

(Депутат Госдумы от КПРФ Алексей Куринный — о потерях россиян от МРОТ.)

Ошибки в употреблении

Не стоит путать понятие МРОТ с термином «прожиточный минимум».

Прожиточный минимум — минимальный уровень дохода, считающийся необходимым для обеспечения определённого уровня жизни в России. До конца 2020 года этот показатель отражал стоимость условной потребительской корзины, от использования которой впоследствии решили отказаться. С 1 января 2021 года прожиточный минимум устанавливается сразу на год, а не ежеквартально, как было до этого. Как и МРОТ, прожиточный минимум высчитывают по значению медианы: в 2021-м на душу населения по России он составил 44,2% медианного дохода, или 11 653 рубля (11 950 рублей в 2022-м).

Прожиточный минимум сам по себе влияет на выплаты сильнее и чаще, чем МРОТ. Например, от него зависят выплаты на первого и второго ребёнка, доплаты к пенсиям и алименты. Для разных групп населения прожиточный минимум разный.

Нюансы

В 2018 году правительство приравняло МРОТ к величине прожиточного минимума для трудоспособного населения. Кроме того, в законе отдельно указано, что значение МРОТ не может уменьшиться по отношению к предыдущему году.

Помимо федерального МРОТ есть также региональные коэффициенты. Регионы ориентируются на федеральный уровень: они не могут сделать свой МРОТ меньше общероссийского, а больше — могут. Например, в Москве МРОТ заметно выше, чем в остальных регионах, — больше 20 000 рублей. В Вологодской области такого коэффициента нет, поэтому там работодатели ориентируются на федеральный показатель. А в Татарстане МРОТ превышает 15 000 рублей (по состоянию на 2021 год).

Если сотрудник работает на полставки, по совместительству или только два дня в неделю, его зарплата может быть и меньше МРОТ, но пропорционально отработанному времени. Если же речь идёт о полных ставке и рабочем дне, за зарплаты меньше «минималки» работодателя могут и оштрафовать.

Должностному лицу за такое нарушение, согласно КоАП РФ, грозит штраф от 10 000 до 20 000 рублей, юрлицу — от 20 000 до 30 000 рублей, а ИП — от 1000 до 5000 рублей.

Повторное нарушение грозит ИП штрафом от 10 000 до 30 000 руб, юрлицам — от 50 000 до 100 000 рублей, а должностным лицам — штрафом от 20 000 до 30 000 рублей или дисквалификацией.

Пособия, которые зависят от МРОТ

МРОТ влияет на несколько пособий и выплат:

Например, больничные выплаты рассчитываются по МРОТ, если страховой стаж сотрудника к моменту заболевания составляет менее полугода. Эти же правила действуют при оформлении пособия по беременности и родам, также называемому декретными выплатами.

На фиксированные взносы ИП МРОТ не влияет. До 2018 года индивидуальные предприниматели платили взносы, исходя из МРОТ. В конечном итоге это требование отменили, установив конкретные суммы минимальных страховых взносов на каждый год. Их нужно платить, даже если у ИП вообще нет дохода.

Источник

Минимальный объем заказов (MOQ)

Жоаннес Верморель, март 2020 г.

Вкратце минимальный объем заказа (MOQ) представляет собой наименьшее количество товара, которое можно приобрести у поставщика. MOQ широко применяют компании, которые не входят в розничный’’ сектор. MOQ обычно отражают экономические сложности со стороны поставщика, которые связаны с обработкой заказов (например, административные задачи типа выставления счетов и бухгалтерии) и их последующим выполнением (например, расходы на погрузочные работы и доставку). Сложные MOQ, которые сочетают в себе несколько ограничений, встречаются, когда экономические сложности нельзя выразить с помощью простых MOQ. Помимо MOQ, наиболее известные ограничения заказов включают в себя экономичный размер заказа (EOQ), коэффициенты заказа и скидки.

Простые MOQ

Мы говорим о простых MOQ, когда для размещения любого заказа необходимо, чтобы его объем превысил единственное нижнее значение. Объем заказа можно изменять в штуках (единицах) или в деньгах (например, в долларах или евро). Ограничение может применяться к следующим категориям:

MOQ на уровне всего заказа часто применяются, когда можно получить эффект экономии от масштаба при обработке и доставке заказа. Например, компании по продаже ходовых товаров могут принимать заказы на поставку моющих средств, только если грузовик при этом можно загрузить хотя бы наполовину, пусть даже разными продуктами. В таких случаях MOQ выражается в денежном эквиваленте и работает как гарантия оплаты расходов на доставку.

Иногда с поставщиками можно договориться об отдельных условиях MOQ, но чаще всего этого сделать не удается. На самом деле, поставщики иногда просто не могут работать с маленькими заказами — у них нет для этого рабочих процессов и потоков. Этим, как правило, занимаются розничные магазины или дистрибьюторы, которые отвечают именно за то, чтобы продать товар в строго необходимом количестве. Исключив малые заказы из своих цепей поставок, поставщики могут добиться большей эффективности за счет экономии от масштаба.

Читайте также: на что можно прикрепить шарики к обоям
Сложные MOQ

Ограничение заказа по MOQ считается сложным, если оно включает в себя несколько условий, все из которых должны быть выполнены одновременно, чтобы поставщик принял заказ к выполнению. Сложные MOQ обычно вводятся, когда простые MOQ не могут надлежащим образом отразить экономические затруднения. Сложные MOQ — это достаточно эффективный механизм ценообразования, которым поставщики пользуются, чтобы клиенты не размещали неудобные заказы.

Например, сложные MOQ часто используются производителями одежды. Они включают в себя следующие ограничения:

Второе ограничение отражает эффект экономии от масштаба на уровне изделия, но это условие дополняется третьим ограничением, которое предписывает минимальный объем заказа в долларах. Третье ограничение устанавливается, чтобы клиенты не размещали дешевые заказы, например 10 000 пар носков по 30 центов за пару.

Наконец, последнее ограничение вводится как гарантия покрытия транспортных расходов, потому что производители одежды чаще всего полагаются на доставку автотранспортом, тогда как клиенты, в свою очередь, могу пользоваться контейнерной доставкой (морем).

Ограничения заказов и механизмы ценообразования

Помимо MOQ существует несколько других ограничений заказа:

Оптимизация объемов заказа с помощью MOQ

Наличие MOQ усложняет процесс размещения заказов. Для покупателя выбор оптимального объема заказа с учетом MOQ представляет собой задачу оптимизации с ограничениями — это обширный раздел на пересечении информатики и математической оптимизации.

Наиболее очевидный способ оптимизации заказа с учетом ограничений MOQ заключается в оценке экономической выгоды от приобретения того объема товара, который можно заказать, отсеивании всех нерациональных вариантов (например, объемы заказа не удовлетворяют ограничениям) и расстановке приоритетов для всех вариантов с точки зрения их прибыльности. Такой подход обычно слишком сложен, чтобы реализовать его вручную или посредством неспециализированных инструментов типа электронных таблиц и решающих алгоритмов, однако программные компоненты, предназначенные специально для решения задач оптимизации с ограничениями, позволяют проводить соответствующую оптимизацию.

Даже при наличии подходящего ПО ограничения по MOQ часто оказываются слишком сложными, в особенности из-за ретроактивного эффекта, который они оказывают на планирование в цепях поставок. На самом деле, чем выше MOQ, тем реже будут появляться заказы, что приведет к увеличению времени их выполнения. Таким образом, актуальное время выполнения заказа для заказов на закупку представляет собой сумму времени выполнения заказа поставщиком, а также время размещения заказа — это значение зависит от MOQ. Это, в свою очередь, влияет на спрос.

Оптимизация MOQ с точки зрения производителя

С точки зрения производителя, оптимизация MOQ — это компромисс между снижением стоимости производства и расширением рынка за счет более мелких заказов. Более того, даже крупные клиенты могут быть заинтересованы в заказах небольшого объема, потому что так они могут повысить гибкость и эффективность своих цепей поставок в условиях меняющегося рынка.

Выбор MOQ производителем определяется следующими факторами:

Мягкие MOQ

Мягкие MOQ (1) — это ограничения, которые вводит сам покупатель. В отличие от «жестких» MOQ, устанавливаемых поставщиком, мягкие MOQ отражают принятые практики, а не какие-либо требования. Мягкие MOQ обычно используются, когда процессы или программные инструменты для размещения и отслеживания заказов на закупку не поддерживают большое число активных заказов. В такой ситуации среднее число отдельных активных заказов можно сократить, введя мягкие MOQ.

Мягкие MOQ, по сути, представляют собой вариацию на тему экономичного объема заказа. На практике мягкие MOQ являются не результатом какого-нибудь эконометрического анализа, но скорее экстренной мерой для случаев, когда отдел закупок не справляется с объемом заказов и/или доставок, если разбить весь объем заказанного товара на минимальные части, допустимые с точки зрения расходов на перевозку и размещение заказов.

Мягкие MOQ часто используются вместе с графиком заказов на неделю или месяц — это иной подход к достижению той же самой цели: снижение нагрузки на отдел закупок при работе с очень мелкими заказами.

Основная задача MOQ

Главная задача MOQ — нелинейная оптимизация. Достаточно очевидно, что данная проблема является NP-трудной. Основная проблема MOQ тесно связана с задачей об упаковке в контейнеры, которая также является NP-трудной. Таким образом, основная проблема MOQ является, по меньшей мере, такой же сложной, как и задача об упаковке в контейнеры. Несмотря на то, что задача является NP-трудной, надо сказать, что на практике для нее можно найти очень хорошие решения.

Понятия, важные для проблемы MOQ в целом. У нас есть:

Мы получим несколько функций.

Точка зрения Lokad на MOQ

Многие компании недооценивают важность MOQ — как при закупках, так и на производстве — как и многие поставщики ПО для работы с цепями поставок.

При закупках очень часто заказ просто округляется до ближайшего MOQ без учета инвентарных рисков, связанных с размещением крупного заказа, или изменений в расписании заказов. Сотрудники, которые давно занимаются цепями поставок, знают о данной проблеме, и за неимением лучших вариантов обычно решают ее с помощью громадных таблиц Excel.

На производстве MOQ обычно определяются размером партии и/или упаковкой, которая выбирается скорее наугад, чем посредством количественного анализа, учитывающего все плюсы и минусы. Выбрав MOQ, многие производители выстраивают свои процессы вокруг соответствующих объемов товара, которые далее не меняются». Даже если изначальное значение MOQ было выбрано удачно, за десять лет все может поменяться.

Наконец, MOQ — это сложная и зачастую неверно понимаемая математическая задача. Как следствие, многие поставщики ПО описывают такие ограничения с помощью упрощенных правил. Они работают с ними, как с исключениями, даже если эти MOQ действительны для большинства размещаемых или получаемых заказов. Компания Lokad разработала специальные алгоритмы для решения задач с MOQ.

Источник

Лот и минимальный объем сделки — основные понятия и как лучше торговать — советы от NSBroker.

Лотами на бирже Форекс измеряется объем открываемых ордеров. Это фиксированная величина, определяющая количество вкладываемой в позицию базовой валюты. Объем инвестированных средств указывается только в лотах, от количества которых напрямую зависит уровень риска открываемых ордеров. Чем выше объем в лотах, тем рискованнее позиция. Умение рассчитать оптимальный объем целого лота поможет трейдеру избежать ненужных рисков. Как это делать и где использовать на практике, рассмотрим в этой статье.

Разбираемся с терминологией

Лотами измеряется объем валютного ордера, который открывается трейдером. То есть это те средства, которые он инвестирует в покупку того или иного актива для его последующей продажи по более выгодному курсу. Если вы хотите заниматься трейдингом обдуманно и профессионально, необходимо уметь рассчитывать лот, чтобы научиться управлять торговыми рисками.

На рынке обменных валютных операций допускается открывать ордера только конкретного объема. Этот объем измеряется лотами. Инвестор не может вложить в покупку актива 100EUR или ровно 10 тыс. евро, он совершает покупки на 1, 2, 3 или 1/100 лота. Лотами измеряется величина контракта актива, который приобретается или реализуется инвестором.

Виды лотов

Целый лот приравнивается к 100 тыс. базовой валюты. Когда курс GBPUSD равен 1.3700, то ордер объемом 1 лот стоит 137000 ед. базовой валюты, то есть именно столько американских долларов необходимо, чтобы стать обладателем 100 тыс. британских фунтов.

Все необходимые для работы данные о лотах приводятся в спецификации контракта. Они бывают несколько видов:

Большинство дилеров в различных типах счетов устанавливают разные максимумы и минимумы для лота. Верхняя отметка обычно равна 100 lot, нижняя – 0,1 lot.

Расчет лота

Каким бы финансовым инструментом не решил торговать трейдер, в любом случае ордер по нему он будет открываться в валюте счета. Чаще всего это доллар США. Трейдеру крайне важно иметь представление о том, какая сумма будет зарезервирована на его депозите для открытия позиции, допустим, по кросс-курсу. Проще всего подсчитать стоимость лота на специальном калькуляторе.

Рассчитывать величину лота необходимо для достижения следующих целей:

Имея четко рассчитанное оптимальное значение объема позиции, можно не переживать за то, что величина финансового рычага каким-то образом повлияет на риск. Если лот останется константой, при варьировании плеча меняется только величина залога.

В подсчетах стоимости пункта важную роль играет то, какой является котировка – прямой или обратной. В зависимости от этого параметра для расчетов используется разная формула. Для обратно котируемых пар валют и CFD lot=величина контракта*объем ордера*цена актива. При прямой котировке lot для валютных пар вычисляется по формуле «величина контракта*объем ордера». Для кросс-курсов lot =величина контракта*объем ордера*стоимость актива/цена котируемой валюты.

Исходя из того, с чем работает трейдер, с лотами, минилотами или микролотами, и что под этим стоит понимать, определяется стоимость 1 пункта. Это значение позволяет оценить профит или потери, которые получит трейдер в валюте счета, если цена актива пройдет 1 пункт в любом из направлений. Цена пункта легко рассчитывается с помощью калькулятора трейдера. Так, например, при торговле целыми лотами 1 пункт принесет трейдеру 10 у.е. прибыли, минилотами – 1 у.е., микролотами – 10 центов, нанолотами – 1 цент. Если торговать не целыми лотами, а объемом в 0,1 lot, то и пункт будет дешевле в 10 раз. То есть при торговле целыми лотами 1 пункт в приказе объемом 0,1 lot принесет 1 у.е. профита или потерь. Как видим, чем объемнее лота, тем дороже стоит пункт и тем быстрее сольется депозит, если котировки развернутся и устремятся в неподходящем для инвестора направлении.

Максимальный лот

Какой бы ни был предложен брокером тип лота, у него всегда имеется свой максимум и минимум. Эти значения указываются в спецификации контракта. В терминале МТ4 это выглядит следующим образом.

Это характеристики ордера по активу EURUSD, размер которого составляет 100 тысяч, то есть торговля ведется целым лотом. При этом минимально допустимая позиция – 0,01, это значит, что нужно покупать не менее 1 тыс. евро. Если курс 1.1825, для приобретения нужно 11825 у.е. Для торговли максимальным лотом в 10000 для приобретения 1 млрд. EUR необходимо 1 млрд. 182 млн. 400 тыс. у.е.

Эти данные указаны без учета финансового рычага. Если его использовать, необходимая сумма инвестиций существенно снизится.

Как выбрать лот?

Размер целого лота – это константа, которая равна 100 тысячам базовых единиц. Отличаться может сумма, которую блокирует брокер как залог. Эта характеристика зависит от цены выбранного актива. Трейдер, создавший 2 ордера по 1 lot, может заметить, что по каждому из них блокируется разный объем средств. Чем дороже актив, тем больше залоговая сумма и тем рискованнее торги.

Подбирая объем лота при создании ордера, нужно обращать внимание на следующие нюансы:

Как величина лота сказывается на эквити?

Эквити – это график, отображающий изменение баланса торгового счета в процессе торгов. Повышение лота повысит расценки пункта. Чем дороже пункт, тем больше доход по ордеру или потери. Если лот минимальный, баланс меняется медленно и плавно. Когда объем ордера увеличивается, увеличение или уменьшение баланса происходит более стремительно и резко.

Знание и понимание базовых терминов, которые необходимы для работы на рынке Форекс, поможет любому трейдеру достичь успеха в трейдинге и желаемой финансовой независимости.

Источник

Определение минимального объёма выборки

СТАТИСТИКИЕ СОВОКУПНОСТИ

Математической статистикойназывается раздел математики, который занимается разработкой методов получения, описания и обработки экспериментальных данных, полученных в ходе наблюдения за массовыми случайными явлениями, с целью изучения закономерностей этих явлений.

Основным понятием, которым оперирует математическая статистика является статистическая совокупность.

Статистическая совокупность – это группа, состоящая из объектов однородных относительно некоторого признака и взятых вместе в определенных границах пространства и времени.

Признаки, по которым формируется статистическая совокупность, делятся на количественные и качественные.

К качественному признаку можно отнести наличие (да, имеется) или отсутствие (нет, не имеется) детей в семье, а к количественному – количество детей (один, два, три, четыре, …).

Для определённости статистические совокупности обозначаются прописными буквами латинского алфавита, причем чаще всего берутся буквы из последней трети алфавита – U, V, X, Y, Z. Число объектов совокупности называется ее объемом.

Статистическая совокупность, распределение которой по интересующему нас признаку необходимо изучить, называется генеральной совокупностью.

Иначе, генеральная совокупность – это совокупность всех объектов, которые являются носителями изучаемого признака.

Множество объектов, отобранных из генеральной совокупности для изучения определённого признака, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Выборочный метод

Выборочный метод является единственно возможным, если ставится задача исследования бесконечной статистической совокупности или исследование связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например, анализ содержимого консервных банок). Недостатком этого метода является то, что для исследования берется только часть генеральной совокупности, а значит, возможным появление ошибок. Математическая статистика дает рекомендации, как организовать отбор объектов для выборки, чтобы свести эти ошибки к минимуму, и дает методику оценки величины этих ошибок.

Основным требованием к выборке является её репрезентативность или представительность (от лат. represento – представляю). Репрезентативная выборка должна отбираться из генеральной совокупности таким образом, чтобы все объекты генеральной совокупности имели одинаковую вероятность попасть в выборку.

Опыт показывает (и подтверждается законом больших чисел), что выборка, полученная способом рандомизации (от англ. random – случай), то есть простым случайным отбором, даёт объективную картину изучаемой совокупности. Она отображает все закономерности, присущие генеральной совокупности и её широко используют при исследованиях, например, в биологии, медицине, метрологии и др. Однако, в случаях, когда генеральная совокупность неоднородна и доступность для исследователя отдельных её частей неодинакова, обеспечить репрезентативность выборки, используя механически метод рандомизации, невозможно.

Например, при изучении общественного мнения жителей большого города можно сделать ошибочные выводы, если произвести случайный опрос на улицах, так как данная выборка вряд ли будет отображать совокупное мнение всех слоёв общества (тех, кто в это время находится в аудиториях, на работе или сидит дома).

В подобных случаях для обеспечения представительности следует использовать расслоённую выборку, однако внутри каждого выделенного слоя необходимо соблюдать принцип рандомизации.

Таким образом, прежде чем приступить к отбору объектов, необходимо иметь достаточную информацию о соотношениях и особенностях, имеющих место в генеральной совокупности. Принцип рандомизации (случайности) и плановости должны, при необходимости, сочетаться, так как от этого зависит представительность выборки.

При практическом изучении генеральной совокупности чаще всего используют два основных типа выборок:

1). Повторная выборка, когда каждый элемент, случайно отобранный и исследованный, возвращается в общую совокупность и может быть вновь отобран повторно;

2). Бесповторная выборка, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Кроме того, выборки различаются по объему, что приходится учитывать при вычислении и анализе числовых характеристик:

1). Выборка малого объема, когда ее численность ;

2). Выборка большого объема, .

Описание и числовые характеристики дискретной выборки

Пусть при проведении эксперимента из генеральной совокупности объёмом N извлечена выборка Х объёмом n (n≤N), элементами (признаками) которой является ряд значений: х₁, х₂, …, х_n, причем признак х₁ встречается в выборке m₁ раз, х₂→ m₂, …, х_k→ m_k раз и .

Наблюдаемые значения признака называют вариантами.

Если варианты записаны в порядке их поступления в процессе отбора, то вариационный ряд называется простым.

Если же для обнаружения закономерности при первичном анализе данные сгруппированы и записаны в порядке их возрастания или убывания, то вариационный ряд называется ранжированным(от франц. ranger – выстраивать).

Соответствующие вариантам x_i числа m_i называются частотами (или «весами») признака, а их отношения к объёму выборки – относительными частотами (где i=1, 2, …, k).

Несложно проверить, что при этом выполняется условие .

Для удобства представления и анализа данных варианты ранжированной выборки и соответствующие им m_i или заносятся в специальную таблицу:

х	х₁	х₂	…	x_и	…	x_k
m	m₁	m₂	…	m_и	…	m_k
p*	p₁	p₂	…	p_и	…	p_k

Таблицу, содержащую все сгруппированные варианты выборки и соответствующие им частоты или относительные частоты, называют статистическим дискретным рядом распределения признака (статистическим распределением выборки).

Разность между наибольшей и наименьшей вариантой называется размахом или амплитудой A вариационного ряда (варьирования признака): x_max—x_min= DХ.

Графическое изображение рядов распределения облегчает их анализ и позволяет судить о форме распределения. Для графического изображения дискретного ряда распределения используют полигон частотили относительных частот. При построении полигона частот используют координатную плоскость, на которой откладывают точки с координатами, соответствующими парам значений статистического распределения (х_i; m_i) или (х_i; р_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Для замыкания полигона крайние точки с координатами (х₁; m₁) и (x_k; m_k) соединяют с точками на оси абсцисс, отстоящими в принятом масштабе от x_min=x₁ и от x_max=x_n, на одно деление (рис. ).

Числовыми характеристиками выборки являются:

1. Выборочная средняя .

2. Выборочная дисперсия или .

3. Выборочное среднее квадратическое отклонение .

В некоторых случаях дополнительно определяют структурные средние характеристики выборки, которые также характеризуют центр распределения:

4. Мода М₀ – варианта, которая встречается в выборке наиболее часто.

5. Медиана М_е – варианта, которая делит объем выборки пополам.

Очень часто они дают больше информации о центре распределения, чем средняя арифметическая величина выборки. Например, при характеристике уровня заработной платы более информативным будет показатель медианы, который говорит: половины работников предприятия получает зарплату менее М_е, другая половина имеет зарплату выше этого уровня, чем показатель – в среднем каждый работающий получает зарплату .

При регистрации количества обслуживаемых на дому в 12 пунктах социальной помощи были получены результаты (данные записаны в порядке их поступления): 66, 69, 72, 70, 75, 73, 70, 71, 70, 72, 69, 70.

Составить статистическое распределение выборки.

Ранжированный ряд более удобен для первичного анализа:

66, 69, 69, 70, 70, 70, 70, 71, 72, 72, 73, 75. Данный ряд является дискретным по своей природе, так как варианты, в данном случае это количество обслуживаемых людей, могут принимать только отдельные значения. Тогда распределение выборки, согласно определению будет иметь вид:

Х
m
p *	1/12	1/6	1/3	1/12	1/6	1/12	1/12

Графическое изображение распределения выборки – полигон частот будет иметь вид:

Вычислим выборочные характеристики:

1. Выборочная средняя

2. Выборочная дисперсия

3. Выборочное среднее квадратическое отклонение .

4. Мода , т.к. эта варианта встречается в выборке чаще всего (m=4).

5. Медиана .

Варианты выборки: 66, 69, 69, 70,70, 70, 70, 71, 72, 72, 73, 75.

Оценка параметров генеральной совокупности

Целью исследования, как правило, является описание всей генеральной совокупности, а не отдельной выборки, поэтому одной из основных задач статистики является оценка параметров генеральной совокупности (которые невозможно вычислить из-за отсутствия данных о всех объектах совокупности) по соответствующим параметрам выборки.

Различают точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности.

Точечной называют оценку, если она оценивает одно численное значение параметра, т.е. определяется одним числом.

Интервальнойоценкой называется интервал, который с заданной вероятностью накрывает оцениваемый параметр.

Статистические методы позволяют получать лишь те интервальные оценки, доверительная вероятность p которых близка к единице. Наиболее часто доверительную вероятность или степень надежности принимают равной 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. При исследованиях доверительную вероятность обычно принимают равной 0,95. При разработке стандартов используется степень надежности 0,99.

Для получения хорошего приближения при оценке параметров генеральной совокупности П* соответствующие параметры выборочной совокупности П_В должны отвечать двум основным требованиям: несмещённости и состоятельности.

Точечная оценка называется несмещённой, если она свободна от систематической ошибки, то есть, если математическое ожидание выборочного параметра при любых объёмах выборки «достаточно близко» или совпадает с его генеральным значением:

Точечная оценка является состоятельной, если для любого, сколько угодно малого, положительного числа e будет выполняться равенство: .

Наилучшей (эффективной) называют оценку с наименьшей дисперсией.

1. Несмещённой оценкой генеральной средней является выборочная средняя, так как , то .

2. Выборочная дисперсия, а следовательно, и среднее квадратическое отклонение, являются смещёнными оценками соответствующих параметров генеральной совокупности.

Это следует из свойств средней: для любой выборки сумма квадратов отклонений вариант от выборочной средней всегда меньше, чем от любого другого числа A, включая и М(Х)=m: . Тогда, если выборочная дисперсия , то точечная оценка генеральной дисперсии σ_х 2 и среднего квадратического отклонения σ_х генеральной совокупности будет занижена, как показывает теория, в раз. Следовательно, чтобы получить несмещённую оценку (устранить систематическую ошибку), необходимо учесть это обстоятельство, то есть выборочную дисперсию необходимо умножить на . В результате получим «исправленную» выборочную дисперсию: .

Следовательно, несмещенная оценка генеральной дисперсии равна: .

3. Несмещенной оценкой генерального среднеквадратического отклонения является величина: .

Т.о. оцененная по выборке генеральная средняя будет находиться в интервале длиной m с центром в точке математического ожидания М:

5. Доверительным интервалом eназывается интервал, в котором с заданной вероятностью будут находиться случайные величины рассматриваемого распределения в генеральной совокупности:

где t – коэффициент пропорциональности (коэффициент Стьюдента), величина которого зависит как от объема выборки, так и от вероятности, с которой предполагается гарантировать результат.

Величина коэффициента Стьюдента определяется по таблице в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.

Т.о., по результатам статистического анализа выборки и оценки параметров генеральной совокупности, мы гарантируем, что величины генеральной совок4упности с заданной вероятностью будут принимать свои значения в интервале: .

Определение минимального объёма выборки

Как следует из выше сказанного, точность оценки параметров генеральной совокупности в большой степени определяется объёмом выборки. Но даже элементарная логика подсказывает, что неразумно стремиться к неоправданно большому числу наблюдений, если убедительный результат можно получить и при некотором минимальном объёме выборки.

Необходимая численность выборки n, отвечающая точности, с которой намечено получить средний результат, зависит от величины ошибки выборочной средней и может быть определена по формуле: ,

где – необходимая точность оценки, t – нормированное отклонение, с которым связана та или иная доверительная вероятность p.

t определяется как аргумент интегральной функции Лапласа по заданной доверительной вероятности при условии, что.

Пример. Для определения среднего возраста студентов академии необходимо провести выборочное обследование. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 10 годам. Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,95 отклонение оценки от истинного среднего возраста не превышало 3 лет?

Решение: По условию задачи ε=3 года, s_x=10 лет. По таблице интегральной функции Лапласа найдём значение аргумента при заданной доверительной вероятности p=0,95 t=1,96.

Итак, найдём минимальное количество необходимых для обследования студентов: .

Т.о., выборка численностью 43 человека обеспечит заданную точность при оценке среднего возраста студентов.

ПЛАН СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

1. Проводим описание выборки, т.е. ранжируем ее и результат представляем в виде ряда распределения при помощи таблицы и графиков (полигон частот, гистограмма, кумулята).

2. Вычисляем выборочные характеристики:

· Выборочная средняя .