Триангуляция (в геодезии)
Т. имеет большое научное и практическое значение. Она служит для: определения фигуры и размеров Земли методом градусных измерений; изучения горизонтальных движений земной коры; обоснования топографических съёмок в различных масштабах и целях; обоснования различных геодезических работ при изыскании, проектировании и строительстве крупных инженерных сооружений, при планировке и строительстве городов и т.д.
При построении Т. исходят из принципа перехода от общего к частному, от крупных треугольников к более мелким. В связи с этим Т. подразделяется на классы, отличающиеся точностью измерений и последовательностью их построения. В малых по территории странах Т. высшего класса строят в виде сплошных сетей треугольников. В государствах с большой территорией (СССР, Канада, КНР, США и др.) Т. строят по некоторой схеме и программе. Наиболее стройная схема и программа построения Т. применяется в СССР.
Вершины треугольников Т. обозначаются на местности деревянными или металлическими вышками высотой от 6 до 55 м в зависимости от условий местности (см. Сигнал геодезический ). Пункты Т. в целях долговременной их сохранности на местности закрепляются закладкой в грунт особых устройств в виде металлических труб или бетонных монолитов с вделанными в них металлическими марками (см. Центр геодезический ), фиксирующими положение точек, для которых даются координаты в соответствующих каталогах.
Лит.: Красовский Ф. Н., Данилов В. В., Руководство по высшей геодезии, 2 изд., ч. 1, в. 1‒2, М., 1938‒39; Инструкция о построении государственной геодезической сети СССР, 2 изд., М., 1966.
Что такое метод триангуляции
Триангул я ция (от лат. triangulum — треугольник) — один из методов создания опорной геодезической сети.
Состоит в построении рядов или сетей примыкающих друг к другу треугольников и в определении положения их вершин в избранной системе координат. В каждом треугольнике измеряют все три угла, а одну из его сторон определяют из вычислений путём последовательного решения предыдущих треугольников, начиная от того из них, в котором одна из его сторон получена из измерений. Если сторона треугольника получена из непосредственных измерений, то она называется базисной стороной триангуляции. В рядах или сетях триагуляции для контроля и повышения их точности измеряют большее число базисов или базисных сторон, чем это минимально необходимо.
Принято считать, что метод триангуляции изобрёл и впервые применил В. Снеллиус в 1615–17 гг. при прокладке ряда треугольников в Нидерландах для градусных измерений. Работы по применению метода триангуляции для топографических съёмок в дореволюционной России начались на рубеже 18–19 вв. К началу 20 в. метод триангуляции получил повсеместное распространение.
Триангуляция имеет большое научное и практическое значение. Она служит для: определения фигуры и размеров Земли методом градусных измерений; изучения горизонтальных движений земной коры; обоснования топографических съёмок в различных масштабах и целях; обоснования различных геодезических работ при изыскании, проектировании и строительстве крупных инженерных сооружений, при планировке и строительстве городов и т.д.
При построении триангуляции в государственной геодезической сети (ГГС) исходят из принципа перехода от общего к частному, от крупных треугольников к более мелким. В связи с этим триангуляция подразделяется на классы, отличающиеся точностью измерений и последовательностью их построения. В малых по территории странах триангуляция высшего класса строят в виде сплошных сетей треугольников. В государствах с большой территорией (Россия, Китай, Индия, США, Канада и др.) триангуляцию строят по некоторой схеме и программе.
Государственная триангуляция РФ делится на 4 класса (рис.).
Государственная триангуляция 1-го класса строится в виде рядов треугольников со сторонами 20–25 км, расположенных примерно вдоль меридианов и параллелей и образующих полигоны с периметром 800–1000 км. Углы треугольников в этих рядах измеряют высокоточными теодолитами, с погрешностью не более ± 0,7″. В местах пересечения рядов триангуляции 1-го класса измеряют базисы при помощи мерных проволок, причём погрешность измерения базиса не превышает 1 : 1000000 доли его длины, а выходные стороны базисных сетей определяются с погрешностью около 1 : 300 000. После изобретения высокоточных электрооптических дальномеров стали измерять непосредственно базисные стороны с погрешностью не более 1 : 400 000.
Пространства внутри полигонов триангуляции 1-го класса покрывают сплошными сетями треугольников 2-го класса со сторонами около 10–20 км, причём углы в них измеряют с той же точностью, как и в 1-ом классе. В сплошной сети триангуляции 2-го класса внутри полигона 1-го класса измеряется также базисная сторона с указанной выше точностью. На концах каждой базисной стороны 1-го и 2-го классов выполняют астрономические определения широты и долготы с погрешностью не более ± 0,4«, а также азимута с погрешностью около ± 0,5«. Кроме того, астрономические определения широты и долготы выполняют и на промежуточных пунктах рядов триангуляции 1-го класса через каждые примерно 100 км, а по некоторым особо выделенным рядам и значительно чаще.
В практике допускается вместо триангуляции применять метод полигонометрии. При этом ставится условие, чтобы при построении опорной геодезической сети тем и др. методом достигалась одинаковая точность определения положения пунктов земной поверхности.
Вершины треугольников триангуляции. обозначаются на местности деревянными или металлическими вышками высотой от 6 до 55 м в зависимости от условий местности (см. Сигнал геодезический). Пункты триангуляции в целях долговременной их сохранности на местности закрепляются закладкой в грунт особых устройств в виде металлических труб или бетонных монолитов с вделанными в них металлическими марками (см. Центр геодезический), фиксирующими положение точек, для которых даются координаты в соответствующих каталогах.
Координаты пунктов триангуляции определяют из математической обработки рядов или сетей. Построение триангуляции и её математическая обработка приводят к созданию на всей территории страны единой системы координат, позволяющей ставить топографо-геодезические работы в разных частях страны одновременно и независимо друг от друга. При этом обеспечивается соединение этих работ в одно целое и создание единой общегосударственной топографической карты страны в установленном масштабе.
Триангуляция
Полезное
Смотреть что такое «Триангуляция» в других словарях:
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (позд. лат., от лат. triangalus треугольник.). Тригонометрическое действие, при посредстве которого снимают план с известной местности, разделивши ее на треугольники, которые вычисляются при помощи тригонометрических формул. Словарь иностранных… … Словарь иностранных слов русского языка
Триангуляция — (геодезия) один из методов создания сети опорных геодезических пунктов и сама сеть. В математике Триангуляция (топология) разбиение топологического пространства на симплексы. Триангуляция Делоне … Википедия
Триангуляция — (от лат. triangulum треугольник * a. triangulation, survey by triangulation; н. Triangulation; ф. triangulation; и. tciangulacion) один из методов создания сети опорных геодезич. пунктов, заключающийся в построении рядов или сетей из… … Геологическая энциклопедия
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — ТРИАНГУЛЯЦИЯ, см. тригонометрия. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
триангуляция — Метод построения геодезической сети в виде треугольников, в которых измерены их углы и некоторые из сторон [ГОСТ 22268 76] триангуляция Метод определения планового положения геодезических пунктов путём построения на местности системы смежных или… … Справочник технического переводчика
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (от лат. triangulum треугольник) метод определения положения геодезических пунктов построением на местности систем смежно расположенных треугольников, в которых измеряют длину одной стороны (по базису) и углы, а длины других сторон получают… … Большой Энциклопедический словарь
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (тригонометрическая съемка), в навигации и топографической съемке метод определения расстояния. Площадь съемки делится на треугольники. Затем ТЕОДОЛИТОМ измеряют основание треугольника и прилежащие углы. Расстояния от концов основания до… … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — ТРИАНГУЛЯЦИЯ, триангуляции, мн. нет, жен. (от лат. triangulus треугольник). 1. Вычисление углов и протяжений методами тригонометрии (мат.). 2. Определение взаимного расположения точек на поверхности при помощи построения сети треугольников… … Толковый словарь Ушакова
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — (Triangulation) наиболее точный прием определения взаимного расположения точек на земной поверхности. При Т. выбираются на открытых и возвышенных местах опорные пункты и закрепляются постройкой специальных знаков. Стороны между знаками образуют… … Морской словарь
ТРИАНГУЛЯЦИЯ — горизонтальная съемка расположения вершин сети треугольников путем измерения длины одной стороны базиса и измерения всех углов. Т. применяется для точной съемки больших участков земной поверхности или для определения длины дуги меридиана или… … Технический железнодорожный словарь
триангуляция — сущ., кол во синонимов: 2 • аэротриангуляция (1) • стереотриангуляция (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Известно, что триангуляция как геодезический термин означает способ создания геодезических сетей. Да, это так. Но следует начать с другого.
Изначально с возникновением потребности человека в познании, обычное мышление приводит его к накоплению определенного багажа знаний. С развитием научного мышления все эти знания систематизируются, в том числе разъясняются на основе фактов, явлений и доказательств. Применяя теоретические предположения на практике, возникают своего рода критерии истины. То есть имеют ли подтверждения практическим путем все те предположения, которые с помощью определенных способов дают конкретный результат. Пожалуй, одним из таких научных методов, решающих задачу по высокоточному измерению больших расстояний между пунктами на земной поверхности с построением примыкающих друг к другу треугольников и измерений внутри них стал способ триангуляции.
Первым кто изобрел и применил метод триангуляции (1614-1616), был великий голландский ученый Виллеброрд Снелл (Снеллиус). В те годы уже были предположения о том, что Земля является планетой в космическом пространстве и имеет форму сферы (из космологии Джордано Бруно 1548-1600). Установление точных размеров планеты имело большое практическое значение по ее освоению в дальнейшем. Вот для этого в Нидерландах через постройку ряда треугольников были впервые выполнены градусные измерения дуги меридиана способом триангуляции. Что имеется ввиду. Выполнив измерения между жесткими геодезическими пунктами с разностью широт между ними в один градус (у Снеллиуса 1º11´30″) способом триангуляции и получив конкретное расстояние дуги, голландский математик обычным расчетом мог получить длину всей окружности меридиана. Очевидно, что вычислить радиус Земли, приняв ее фигуру за форму шара (эллипса), оставалось делом техники.
В завершение исторического экскурса можно выделить взаимосвязанность и выборность научных познаний для будущего практического применения человеком. И не удивительно, что изобретение способа триангуляции произошло именно в Нидерландах, которые на тот момент считались ведущей морской державой с потребностью новых познаний в навигации, географии, астрономии и конечно геодезии.
Сущность метода
Триангуляция заключается в определении пространственного местоположения специально закрепленных на местности геодезических пунктов в вершинах целого ряда треугольников. Изначально, с высокой степенью точности (до долей секунд) определяют азимуты исходных направлений ab, ba, mn, nm (рис.1.Триангуляционный ряд треугольников по меридиану). Следующим этапом будет определение астрономических координат (широты и долготы) в пунктах измерений азимутов двух исходных базисов. В каждой паре жестких сторон (ab, mn) координаты измеряются только в одной точке, например a, m (рис.1). При этом следует обратить особое внимание на определение астрономических широт в ряду треугольников, расположенных по направлению меридианов. При измерениях в треугольниках, сформированных вдоль параллелей, необходимо уделить должное внимание определению астрономических долгот. Далее производят измерения длин двух базисных сторон (ab, mn). Эти стороны имеют сравнительно не большие длины (порядка 8-10 км). Поэтому их измерения более экономичные и точные относительно сторон cd, tq, составляющих расстояния от 30 до 40 км. В следующую очередь выполняется переход от базисов ab, mn через угловые измерения в ромбах abcd и mntq к сторонам cd, tq. А затем последовательно практически в каждой вершине треугольников cde, def, efg и других измеряются горизонтальные углы до примыкания к следующей основной стороне tq всего ряда треугольников. Через измеренные углы треугольника с измеренной базисной или вычисленной основной стороной последовательно вычисляются все другие стороны, их азимуты и координаты вершин треугольников.
Рис.1. Триангуляционный ряд треугольников по меридиану.
Триангуляционные сети
После первого применения градусного измерения дуги Снеллиусом триангуляционный метод становится основным способом в геодезических высокоточных измерениях. С XIX века, когда триангуляционные работы стали более совершенными с его помощью стали формироваться целые геодезические сети, строящиеся вдоль параллелей и меридианов. Самая знаменитая из всех известна под наименованием геодезической меридианной дуги Струве и Теннера (1816-1852) в последствие зачислена в мировое наследие по ЮНЕСКО. Ее триангуляционный ряд протянулся по Норвегии, Швеции, Финляндии и России от Северного Ледовитого океана до Черного моря в устье Дуная и составил дугу в 25º20´(рис.2).
За основу геодезических сетей триангуляции в нашей стране принята схема профессора Ф.Н.Красовского (рис.3). Ее суть заключается в применении принципа построений от общего к частному. Изначально закладываются вдоль меридианов и параллелей пункты, образующие ряды треугольников протяженностью в пределах 200-240 км. Длины сторон в самих треугольниках составляют 25-40км. Все астрономические измерения азимутов, координат (широт и долгот) выходных точек на пунктах Лапласа (1) и промежуточных астрономических точках (2), высокоточные базисные (3) геодезические измерения и в каждой точке этой цепи должно соответствовать установленным требованиям I класса точности (рис.3). Замкнутый полигон из четырех триангуляционных рядов представляет собой фигуру, напоминающую квадрат с периметром равным ориентировочно около 800 км. Через центральные части первоклассных рядов триангуляции устраиваются в направлении друг к другу основные ряды триангуляционной сети II класса (рис.3) соответствующей точности. Базисные длины сторон в этих рядах не измеряются, а принимаются базисы со сторон триангуляции I класса. Аналогично отсутствуют и астрономические пункты. Возникшие четыре пространства заполняются сплошными триангуляционными сетями и II, и III классов.
Рис.3.Государственные сети триангуляции.
Безусловно описанная схема развития сетей триангуляции по Красовскому не может закрыть всю территорию страны ввиду понятных причин больших лесных и не заселенных территорий страны. Поэтому с запада на восток вдоль параллелей были проложены отдельные ряды первоклассной триангуляции и полигонометрии, а не сплошная триангуляционная сеть.
Достоинства триангуляции
В развитии геодезической науки и ее практического применения очевидны достоинства триангуляционного способа измерений. С помощью этого универсального метода возможно:
Что такое метод триангуляции
1. Определения
Определение. Триангуляцией называется планарный граф, все внутренние области которого являются треугольниками.
Определение. Триангуляция называется оптимальной, если сумма длин всех рёбер минимальна среди всех возможных триангуляций, построенных на тех же исходных точках.
Для большинства реальных задач существующие алгоритмы построения оптимальной триангуляции неприемлемы ввиду слишком высокой трудоёмкости. При необходимости на практике применяют приближенные алгоритмы, например «жадный» алгоритм построения триангуляции или триангуляцию Делоне.
1.1.Жадный алгоритм триангуляции
Шаг 1. Генерируется список всех возможных отрезков, соединяющих пары исходных точек, и он сортируется по длинам отрезков.
Шаг 2. Начиная с самого короткого, последовательно выполняется вставка отрезков в триангуляцию. Если отрезок не пересекается с другими ранее вставленными отрезками, то он вставляется, иначе он отбрасывается.
Заметим, что если все возможные отрезки имеют разную длину, то результат работы этого алгоритма однозначен, иначе он зависит от порядка вставки отрезков одинаковой длины.
Трудоемкость работы жадного алгоритма при некоторых его улучшениях составляет
O(N 2 logN) [3]. В связи со столь большой трудоемкостью на практике он почти не применяется.
1.2. Триангуляция Делоне
Пусть на плоскости дан набор точек
Другое определение триангуляции Делоне дают два следующих определения.
Определение. Говорят, что пара соседних треугольников триангуляции удовлетворяет условию Делоне, если этому условию удовлетворяет триангуляция, составленная только из этих двух треугольников.
Определение. Говорят, что треугольник триангуляции удовлетворяет условию Делоне, если этому условию удовлетворяет триангуляция, составленная только из этого треугольника и трёх его соседей (если они существуют).
Триангуляция Делоне всегда существует. Чаще всего она единственная, но в некоторых случаях (см.ниже) таких триангуляций существует несколько.
Многие алгоритмы построения триангуляции Делоне используют следующую теорему: 
Теорема 1. Триангуляцию Делоне можно получить из любой другой триангуляции по той же системе точек, последовательно перестраивая пары соседних треугольников (ABC) и (BCD), не удовлетворяющих условию Делоне, в пары треугольников (ABD) и (ACD) (см.рис.). Такая операция перестроения также часто называется флипом (flip).
Теорема 2. Триангуляция Делоне обладает максимальной суммой минимальных углов всех своих треугольников среди всех возможных триангуляций.
Теорема 3. Триангуляция Делоне обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около треугольников, среди всех возможных триангуляций.
2. Методы построения триангуляции Делоне
2.1. Итеративные алгоритмы
Все итеративные алгоритмы имеют в своей основе очень простую идею последовательного добавления точек в частично построенную триангуляцию Делоне. Формально это выглядит так.
Итеративный алгоритм построения триангуляции Делоне.
Различные версии этого алгоритма различаются способом выбора очередной точки и методом локализации, последовательностью перестроений.
2.2. Алгоритмы триангуляции Делоне слиянием
В целом, все алгоритмы слияния предполагают разбиение исходного множества точек на несколько подмножеств, построение триангуляций на этих подмножествах, а затем объединение (слияние) нескольких триангуляций в одно целое.
Например, множество точек разбивается на две как можно более равные части с помощью горизонтальных и вертикальных линий. Алгоритм триангуляции рекурсивно применяется к подчастям, а затем производится слияние (объединение, склеивание) полученных подтриангуляций.
В других вариантах триангуляции разбиение на части производится путем выбора диаметра – самого длинного отрезка между данными точками, путем разбиения точек на горизонтальные и/или вертикальные полосы и т.д.
2.3. Алгоритмы прямого построения
(Алгоритм такого типа а у нас и используется в настоящее время)
Во всех вариантах этого алгоритма мы начинаем с некоторого начального (базового) отрезка, расположенного на границе. Далее для него необходимо найти соседа Делоне – узел, который вместе с концами данного базового отрезка в триангуляции Делоне является вершинами одного треугольника. Процесс поиска можно представить как рост «пузыря» от базового отрезка, пока не встретится какой-нибудь узел. «Пузырь» – это окружность, проходящая через точки A и B, и центр которой находится на срединном перпендикуляре к базовому отрезку.
В пошаговом алгоритме для поиска соседа Делоне нужно выбрать среди всех точек Pi триангуляции такую, что угол APiB будет максимальным. Найденный сосед Делоне соединяется отрезками с концами базовой линии и образует треугольник APiB. Новые рёбра APi и BPi построенного треугольника помечаются как новые базовые отрезки, и процесс поиска треугольников продолжается.
Трудоемкость пошагового алгоритма составляет
O(N 2 ) в среднем и в худшем случае.
Цитата из книги [1]: «Из-за столь большой трудоемкости на практике такой алгоритм почти не применяется». Но мы как раз его и используем. В основном из-за того, что этот алгоритм несколько проще в реализации. Кроме того, при количестве точек
100-500 алгоритм все-таки работает достаточно быстро.
2.4. Двухпроходные алгоритмы
При построении триангуляции Делоне итеративными алгоритмами и алгоритмами слияния для каждого нового треугольника должно быть проверено условие Делоне. Если оно не выполняется, то должны последовать перестроения треугольников и новая серия проверок. На практике довольно большую долю времени отнимают как раз проверки на условие Делоне и перестроения. Для уменьшения числа проверок условия Делоне и упрощения логики работы алгоритмов можно использовать следующий подход. Вначале за первый проход нужно построить некоторую триангуляцию, игнорируя выполнение условия Делоне. А после этого за второй проход проверить то, что получилось, и провести нужные улучшающие перестроения для приведения триангуляции к условию Делоне.
3. Имеющаяся реализация триангуляции Делоне
3.1. Описание алгоритма
Имеющаяся на сегодняшний день реализация алгоритма триангуляции Делоне, с точки зрения описанной выше классификации, является одной из разновидностей алгоритма «прямого построения триангуляции».
Опишем сначала общую схему алгоритма. В начале найдем первое ребро, которое заведомо должно войти в триангуляцию. Первая его точка (A на рисунке справа) выбирается как точка с наименьшей координатой x (самая левая точка), а среди точек с одинаковой координатой x – как точка с наименьшей координатой y (самая верхняя). Вторая точка начального ребра (B на рисунке) – это точка с наибольшим коэффициентом наклона отрезка [AB].
Список edges – сплошные ребра, 
edges_all – сплошные и пунктирные
В процессе работы алгоритма поддерживаются список активных ребер edges. «Активные» ребра – это те, у которых с одной стороны уже есть треугольник, а с другой еще надо пристраивать.
В начале работы он состоит из единственного ребра [AB]. В это список одни ребра добавляются, другие удаляются. Алгоритм заканчивает работу, когда этот список становится пустым.
Дальнейший алгоритм состоит в повторении следующих шагов: выбор очередного ребра из списка edges (и удаление его из списка), и нахождении для него присоединенной вершины – узла, который вместе с концами выбранного ребра в триангуляции Делоне образует вершины одного треугольника. Процесс поиска можно представить как рост «пузыря» от выбранного ребра [AB], пока не встретится какой-нибудь узел. «Пузырь» – это окружность, проходящая через точки A и B, и центр которой находится на срединном перпендикуляре к отрезку. 
Фактически, мы выбираем среди всех заданных точек Pi такую, что угол APiB будет максимальным, или, что то же самое – радиус окружности, проходящей через точки APiB будет наименьшим. Найденная присоединенная вершина соединяется отрезками с концами отрезка и образует треугольник APiB. Новые рёбра APi и BPi построенного треугольника добавляются в список edges (если их там еще нет), и процесс поиска треугольников продолжается.
При добавлении ребер в список активных, мы вначале проверяем, нет ли там уже этого ребра. Если нет – то просто добавляем. Если уже есть, это означает, что обработка ребра завершена и его надо удалить из списка.
3.2. Тонкое место
Если точек P с наименьшим радиусом окружности оказывается несколько (рис. слева), надо не выбирать какую-то одну из этих точек, а сразу добавить все получающиеся треугольники и, соответственно, модифицировать список активных ребер. На рисунке справа добавляемые треугольники – это AC1B, C1C2B, C2C3B и активные ребра AC1, C1C2, C2C3, C2C3B.
3.3. Время работы алгоритма
Этот алгоритм для вычисления триангуляции Делоне по набору из n точек выполняется за время О(n 2 ), поскольку при каждой итерации в полный список ребер добавляется ровно одно ребро. Поэтому число итераций равно числу ребер в триангуляции Делоне. Согласно теореме о триангуляции набор точек любая триангуляция содержит не более, чем О(n) ребер, поэтому алгоритм выполняет О(n) итераций. Поскольку на каждую итерацию тратится время О(n), то полностью алгоритм выполняется за время О(n 2 ).
Приведем результаты более точных экспериментов на процессоре Pentium 2.4 Ghz. Так как алгоритм не требует большого объема памяти и не обращается к внешним устройствам, то остальные характеристики компьютера не должны оказывать влияния на скорость работы.
| Количество узлов | Время триангуляции (миллисекунд) |
|---|---|
| 10 | 0.025 |
| 100 | 1.9 |
| 1000 | 172 |
| 10000 | 17500 |
4. Литература
5. Реализация
6. Пример работы
Пример работы: 
