Что такое мера лебега
Мера Лебега в R^n
| Определение: |
| Множества [math]E\in\mathcal[/math] — измеримые по Лебегу. |
Измеримые по Лебегу множества [ править ]
Тогда [math]\ <\bar x\>= \bigcap\limits_
По монотонности меры, [math]\lambda(\bar x) \leq \lambda\Pi_p = v(\Pi_p) = \left(\frac<2>
\right)^n \xrightarrow
[math]E = \<\bar x_1, \bar x_2, \ldots, \bar x_n, \ldots \>[/math] — не более, чем счётное множество точек. Тогда [math]\lambda E = \sum\limits_j \lambda\bar x_j = 0[/math]
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и объединения пошагово строим интересующий нас объект.
Теорема о внешней мере Лебега [ править ]
[math] \sum\limits_m v(B_m) \le \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon \sum\limits_m \frac1 <2^m>= \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon [/math]
При [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math] получаем требуемое неравенство.
Выведем ряд важных следствий из этой теоремы.
Далее нам пригодятся множества [math] \Delta_p = [-p; p) \times [-p; p) \times \ldots \times [-p; p), p \in \mathbb N [/math]
Сначала докажем первый пункт теоремы.
Если мера [math] E [/math] конечна, то просто воспользуемся только что доказанной теоремой:
Рассмотрим теперь случай, когда мера [math]E[/math] бесконечна:
Второй пункт доказывается переходом к дополнениям:
Такие множества также являются измеримыми по Лебегу, как счетное объединение (пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы).
Тогда [math] B = E \setminus A, B \subset E \setminus F_m\ \forall m [/math]
Что такое мера лебега
2.3. Понятие меры Лебега
1. По определению будем считать, что мера прямоугольника P, mesP=a*b. Назовём элементарным плоским множеством (ступенчатой фигурой) такое множество, которое можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся прямоугольников.
2. Полагаем, что если множество 
то 
Для прямоугольников можно доказать, а для других элементарных множеств постулируется σ-аддитивность.
3. Покрытием множества A называется такая совокупность множеств Gα⊂X, что 
4. Внешняя мера μ * определяется так: 
где инфинум берётся по всем возможным покрытиям множества конечной или счётной совокупностью прямоугольников Pn или других элементарных множеств.
5. Определим некоторое множество Aε как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников или других элементарных множеств. Это измеримое элементарное множество.
( Комментарий. Стало быть, совокупность измеримых множеств замкнута относительно операции счётного объединения, а мера σ-аддитивна.)
Теорема 5 (О непрерывности σ-аддитивной меры). Если
2. Таким образом, исходное множество A заменяется со сколь угодно большой степенью точности множеством Aε и теперь уже не важно, как определить меру множества или как внешнюю меру по всем покрытиям, или как конечную сумму мер прямоугольников, из которых состоят элементарные множества. Через покрытия удобнее, так как не надо искать способ представления множества A.
Определение 1. Множество A⊂R n 2 имеет лебегову меру ноль, если ∀ε>0, можно указать последовательность открытых параллелепипедов Vk, такую, что 
и 
Пример 1. Меру ноль имеет любое дискретное множество, любое конечное или счётное множество, например, множество рациональных чисел (как объединение конечного или счётного числа точек, имеющих меру ноль).
Пронумеруем множество рациональных чисел 
и вокруг любого числа xn рассмотрим интервал 
Его мера (длина) 
а 
Переходя к дополнениям, получим, что мерой множества иррациональных чисел на отрезке будет длина отрезка.
Множество рациональных чисел стало измеримым, имеет лебегову меру ноль, но это всюду плотное множество первой категории. Может ли несчётное множество иметь меру ноль?
Пример 2. Покажем, что канторов дисконтинуум есть замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество лебеговой меры ноль и мощности континуума.
1. Замкнутость. Канторов дисконтинуум K есть пересечение Kn замкнутых отрезков, оставшихся на n-м шаге процедуры с отрезком [0,1], то есть 
а это замкнутое множество.
2. Совершенство. По процедуре, мы никогда не выбрасываем два смежных интервала, то есть в множестве K нет изолированных точек.
3. Нигде не плотность. Возьмём произвольный интервал (a,b)∈[0,1] и покажем, что ∃(α,β)∈(a,b)∈[0,1], не содержащий точек множества K. В самом деле: или на n-ном шаге процедуры интервал (a,b) уже не содержит точек множества K, или на следующем шаге мы выбрасываем из него треть, а это и есть тот самый интервал (α,β)∈(a,b), не содержащий точек множества K.
4. Мера ноль. Сумма длин выброшенных интервалов 
то есть то, что осталось имеет меру ноль.
( Комментарий. Канторов дисконтинуум не имеет внутренних точек, так как если точка M внутренняя, то существует окрестность точки M, целиком принадлежащая множеству K, то есть UM⊂K. Но тогда мера μUM>0, и μK>0. Процедура Кантора позволяет строить на отрезке замкнутые, совершенные, нигде не плотные множества мощности континуума и произвольной лебеговой меры, меньшей, чем длина отрезка.)
Пример 3. Построим на отрезке [0,1] замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество мощности континуума и с заданной мерой μ
Измеримые функции. Мера Лебега и интеграл Лебега
мера m[S] может быть как конечной, так и бесконечной.
Рассматривают и более общее определение: мера M[S], определенная на подходящем классе (вполне аддитивной булевой алгебре) точечных множеств S, есть функция множества со свойствами
Мера Лебега m[S] точечного множества на прямой обладает дополнительным свойством
для каждого ограниченного интервала (a, b); таким образом, мера Лебега является обобщением длины интервала (аксиоматическое определение меры Лебега).
Каждое ограниченное открытое множество измеримо. Можно высказать более общие утверждения. Борелевское множество на прямой есть множество, полученное посредством конечной или счетной последовательности объединений, пересечений и/или взятия дополнений интервалов и получающихся в результате комбинаций. Класс борелевских множеств есть вполне аддитивная булева алгебра измеримых множеств. Каждое измеримое множество есть объединение некоторого борелевского множества и множества лебеговой меры нуль. Каждое конечное или счетное множество измеримо и имеет лебегову меру нуль. Аналогичные теоремы справедливы и в многомерном случае.
Если какое-либо свойство выполняется для каждой точки данного интервала, области или множества, исключая, быть может, лишь множество лебеговой меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном интервале, области или множестве почти всюду (или почти во всех точках этого интервала и т. д.).
ЛЕБЕГА МЕРА
для любого конечного интервала I; при всех
то последнее равенство достаточно для
Л. м. введена А. Лебегом [1].
Лит.:[1] Lebesgue H., «Ann. mat. pura ed appl.», (3) 1902, v. 7, p. 231;[2] Сакс С., Теория интеграла, пер. сангл., М., 1949; [3] X а л м о ш П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [4] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981. В. В. Сазонов.
Полезное
Смотреть что такое «ЛЕБЕГА МЕРА» в других словарях:
МЕРА — множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… … Математическая энциклопедия
Мера Жордана — Мера Жордана один из способов формализации понятия длины, площади и мерного объёма в мерном евклидовом пространстве. Содержание 1 Построение 2 Свойства … Википедия
ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ — одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть пространство с неотрицательной полной счетноаддитивной мерой причем Простой ф у. н к ц и е й наз. измеримая функция принимающая не более счетного множества значений: Простая функция gназ … Математическая энциклопедия
Мера Синая — Рюэлля — Боуэна — Мера Синая Рюэлля Боуэна, или SRB мера мера на фазовом пространстве динамической системы, к которой стремится распределение траекторий типичных начальных (в смысле меры Лебега) точек (возможно, из какой либо области). При этом множество… … Википедия
Мера Синая — Рюэлля Боуэна, или SRB мера мера на фазовом пространстве динамической системы, к которой стремится распределение траекторий типичных начальных (в смысле меры Лебега) точек (возможно, из какой либо области). При этом множество точек, для… … Википедия
МЕРА — филос. категория, выражающая диалектич. единство качеств, и количеств. характеристик объекта. Качество любого объекта органически связано с оп редел. количеством. В рамках данной М. количеств. характеристики могут меняться за счёт… … Философская энциклопедия
Мера — в Викисловаре? … Википедия
Мера вероятности — Мера качественная и/или количественная пропорция соотношения истин. Во многом пропорция устанавливается произвольно. Термины Мера (в метрологии) синоним единицы измерения. Мера внесистемная русская единица объёма. Мера (философия) философский… … Википедия
Мера Лебега — на мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году. Содержание 1 Построение меры на прямой 1.1 … Википедия
Число Лебега
Ле́мма Лебе́га (по имени французского математика Анри Лебега) — утверждает, что
Для некомпактных метрических пространств это утверждение неверно, возможно даже построить двухэлементное покрытие вещественной прямой, для которого нет ни одного числа Лебега.
Смотреть что такое «Число Лебега» в других словарях:
ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ — одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть пространство с неотрицательной полной счетноаддитивной мерой причем Простой ф у. н к ц и е й наз. измеримая функция принимающая не более счетного множества значений: Простая функция gназ … Математическая энциклопедия
ЛЕБЕГА РАЗМЕРНОСТЬ — размерность, определенная посредством покрытий; важнейший размерностный инвариантdim Xтопологич. пространства X, открытый А. Лебегом [1]. Он высказал гипотезу, что dim In=n для re мерного куба In. Л. Брауэр [2] впервые доказал это, а также более… … Математическая энциклопедия
ЛЕБЕГА ЧИСЛО — 1) Л. ч. открытого покрытия со метрич. пространства X любое такое число что как только подмножество Апространства Xимеет диаметр так Асодержится хотя бы в одном элементе покрытия со. Для любого открытого покрытия компакта существует хотя бы одно… … Математическая энциклопедия
Размерность Лебега — У этого термина существуют и другие значения, см. Размерность (значения). Размерность Лебега или топологическая размерность размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега… … Википедия
Мера Лебега — на мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году. Содержание 1 Построение меры на прямой 1.1 … Википедия
Лемма Лебега — (по имени французского математика Анри Лебега) утверждает, что Для любого открытого покрытия компактного метрического пространства существует число такое, что любое подмножество диаметра в … Википедия
Принцип Бореля-Лебега — Компактное пространство это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.… … Википедия
Нормальное число — по основанию n ( ) всякое действительное число, в записи которого в n ричной системе счисления каждая группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n k для каждого k = 1, 2, …. Числа, нормальные… … Википедия
ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА — число, характеризующее k мерную протяженность множества в n мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация замкнутого ограниченного множества Еесть число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества… … Математическая энциклопедия
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… … Энциклопедия Кольера