Что такое механика твердого тела

Что такое механика твердого тела

На кафедре общей физики ведется работа по подготовке и изданию оригинального курса «Общая физика», предназначенного для студентов физических специальностей вузов.

Курс будет охватывать четыре раздела: «Механика», «Молекулярная физика», «Электромагнетизм» и «Оптика», соответствовать новым учебным программам, разработанным на физическом факультете МГУ, и отражать современные тенденции и технологии физического образования.

В соответствии с поставленными задачами каждый раздел курса будет состоять из четырех пособий: «Лекции», «Лекционный эксперимент», «Лабораторный эксперимент», «Семинарские занятия». Пособия, написанные в едином методическом ключе, будут комплектоваться видеозаписями лекционных демонстраций и дискетами с описанием модельных экспериментов.

Лекции по кинематике и динамике твердого тела являются частью готовящегося к изданию курса «Механика» и могут рассматриваться как самостоятельное учебное пособие по данной теме. Лекции написаны на основе курсов, читаемых авторами на физическом факультете МГУ.

Авторы выражают глубокую благодарность М.В.Семенову за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания, а также К.Б.Бегун, М.П.Виноградову и А.А.Якуте за подготовку рукописи к изданию.

Лекция 1.

Кинематика абсолютно твердого тела. Степени свободы. Углы Эйлера. Поступательное движение. Вращение вокруг неподвижной оси. Плоское движение. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Движение свободного твердого тела.

Степени свободы. Углы Эйлера.

Двигаясь в пространстве, твердое тело обладает определенными степенями свободы.

Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

Каково же число степеней свободы твердого тела в самом общем случае?

(1.1)

где — расстояние между точками.

Рис. 1.3.

Источник

3. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции:

Где Mi – элементарная масса I – го кусочка тела, Ri – расстояние этого кусочка от оси вращения.

Моменты инерции некоторых твердых тел относительно оси, проходящей через их центры масс:

Тонкий обруч I = MR2.

Сплошной цилиндр I = mR2.

Шар I = mR2.

Тонкий стержень I = Ml2.

Если ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции используют теорему Штейнера:

Где I – момент инерции тела относительно данной оси, I0 – момент инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, M – масса тела, А – расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела: I e = M,

Где I – момент инерции твердого тела, относительно оси вращения, e – его угловое ускорение, М – суммарный момент сил, действующий на тело относительно данной оси.

Где L – расстояние от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси: L = I ω,

Где I – момент инерции твердого тела относительно данной оси, ω – угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси: L = M υ R,

Где M – масса частицы, υ – ее скорость, R – расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется: ΣLi = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела:

EK = ,

Где I – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

EK = + ,

Где M – масса тела, υ0 – скорость поступательного движения центра масс, I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость вращения тела.

Примеры решения задач

Прямой круглый однородный конус имеет массу M и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.

Разобьём конус на цилиндрические слои Ось толщиной Dr. Масса такого слоя

Где ρ – плотность материала, из которого изготовлен конус. Момент инерции этого слоя

Момент инерции всего конуса складывается из моментов инерции всех слоёв:

I = = ρπ R 4 Dr = ρR5.

Остаётся выразить его через массу всего цилиндра:

M = ==R3,

Отсюда ρ = ,

I = = mR2.

Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг∙м2, вращается с частотой 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил.

При торможении угловое ускорение отрицательно. Найдём его модуль из кинематического соотношения для угловой скорости.

Отсюда ε = .

Это ускорение обусловлено действием момента сил трения

MТр = I ε = .

Полный угол поворота при равнозамедленном движении находится из соотношения:

φ = ω0 T— ,

φ =2π N, ω 0 = 2 π ν0, ε = .

Перепишем соотношения для угла в виде:

2π N = 2 π ν0 T — = 2 π ν0 T — = .

Для нахождения числа оборотов получим:

N = .

Подставив числовые значения, найдём:

MТр = = 506 Нм,

N = = 600 об.

На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого равен I = 0,1 кг∙м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой M = 0,5 кг. До начала вращения высота груза над полом равна H1 = 1 м. Найти: 1) через какое время груз опустился до пола; 2) кинетическую энергию груза в момент удара о пол; 3) натяжение нити. Трением пренебречь.

На груз действует сила тяжести Mg и сила натяжения шнура Т. Уравнение поступательного движения груза Ma = Mg – T.

Барабан вращается вокруг неподвижной оси. Его уравнение движения M = I ε,

Где М – момент силы натяжения шнура, М = TR, I – момент инерции барабана, ε = – его угловое ускорение.

TR = I .

Выражаем отсюда силу натяжения шнура:

T = I (10)

И подставляем ее в уравнение движения груза:

Получаем ускорение груза:

A = . (11)

Время движения груза можно найти из уравнения:

H1 = ,

T = = .

В момент удара о пол груз имел скорость:

υ = At = .

Следовательно, его кинетическая энергия:

EK = =.

Подставив выражение для ускорения (11) в формулу (10), получим: T = = .

Подставив числовые значения, определим искомые величины:

T = = 1,1 c,

EK = = 0,82 Дж,

T = = 4,1 Н.

Шар массой M = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку υ = 10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количество тепла Q, выделившееся при ударе.

Кинетическая энергия катящегося тела равна:

EK = + . (12)

Момент инерции шара I = ,

Угловая скорость вращения w = .

Подставляем эти величины в формулу (12):

EK = + = M υ 2.

Количество тепла, выделившегося при ударе, равно разнице его кинетических энергий до и после удара:

Q = EK1 – EK2 = M υ12 — M υ22 = M(υ12 — υ22).

Подставив числовые значения, получим:

а = ∙1(100∙10-4 – 64.10-4) = 10-4 = 2,25∙10-3 Дж = 2,52 МДж.

Найти кинетическую энергию велосипеда, едущего со скоростью υ = 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом M = 78 кг, причем на колеса приходится масса M1 = 3 кг. Колеса считать тонкими обручами.

Кинетическая энергия велосипеда складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения колес.

EK = + .

Момент инерции колес, представляющих собой тонкие обручи, равен I = , а угловая скорость вращения w = .

Подставляем эти значения в выражение для кинетической энергии: EK = + = .

Скорость надо перевести в м/с: υ = 2,5 м/с.

Подстановка числовых значений дает: EK =253 Дж.

Однородный стержень длиной 85см подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

Чтобы стержень смог сделать полный оборот вокруг оси, он должен подняться до вертикального положения В.

Если отсчитывать потенциальную энергию стержня от начального положения А, то в положении В центр масс его поднят на

Высоту С2-С1=L – длина стержня. Стержень приобретает потенциальную энергию ЕN = Mgℓ за счет кинетической энергии,

В которую ему сообщили в положении А. Если

υ – наименьшая скорость нижнего конца, при которой он сможет сделать полный оборот, то

угловая скорость стержня w = .

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, определятся по теореме Штейнера:

I = M L2 = M = M L2,

Где Ml2–момент инерции стержня относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр масс, – расстояние от центра масс до требуемой оси.

Кинетическая энергия вращательного движения:

EK = =.= .

По закону сохранения энергии, кинетическая энергия стержня в положении А равна его потенциальной энергии в положении В:

Отсюда υ = .

Подставляем числовые значения: υ = »7 м/с.

Человек массой M1 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой M = 100 кг. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек будет двигаться по окружности радиуса 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы равна 4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Первоначально платформа с человеком покоилась,

Момент импульса этой системы был равен нулю. Когда человек начнет двигаться по платформе, платформа будет вращаться в противоположном направлении. Если расстояние от человека до оси вращения платформы R, в месте нахождения человека U = w R. Таким образом, если человек движется относительно платформы со скоростью

υ, то относительно земли он будет двигаться со скоростью υ – w R, его момент импульса относительно оси платформы L1 = M1(υ – wR)R. Момент импульса платформы относительно ее оси:

где I – момент инерции платформы.

Поскольку платформа представляет собой однородный диск, то ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр:

I = MR2.

Запишем закон сохранения момента импульса для данной системы:

O = L1 + L = M1(υ – w R) R – MR2w,

Отсюда можно определить угловую скорость вращения платформы:

W = .

Число оборотов платформы в минуту определится из соотношения:

N = 60 = .

Подстановка числового значений дает:

N = = 0,49 об/мин.

Источник

Механика твердого тела

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рисунок 1. Механика твердого тела. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Данное научное направление охватывает очень широкий круг вопросов в физике – в ней изучаются различные объекты, а также мельчайшие элементарные частицы вещества. В этих предельных случаях выводы механики представляют чисто теоретический интерес, предметом которого является также проектирование многих физических моделей и программ.

На сегодняшний день различают 5 видов движения твердого тела:

Любое сложное движение материального вещества может быть в итоге сведено к совокупности вращательного и поступательного движений. Фундаментальное и важное значение для всей этой тематики имеет механика движения твердого тела, предполагающая математическое описание вероятных изменений в среде и динамику, которая рассматривает движение элементов под действием заданных сил.

Особенности механики твердого тела

Твердое тело, которое систематически принимает разнообразные ориентации в любом пространстве, можно считать состоящим из огромного количества материальных точек. Это просто математический метод, помогающий расширить применимость теорий движения частиц, но не имеющий ничего общего с теорией атомного строения реального вещества. Поскольку материальные точки исследуемого тела будут направляться в разных направлениях с различными скоростями, приходится применять процедуру суммирования.

Готовые работы на аналогичную тему

В этом случае, нетрудно определить кинетическую энергию цилиндра, если заранее известен вращающегося вокруг неподвижного вектора с угловой скоростью параметр. Момент инерции можно вычислить посредством интегрирования, и для однородного предмета равновесие всех сил возможно, если пластина не двигалась, следовательно, компоненты среды удовлетворяют условию векторной стабильности. В результате выполняется выведенное на изначальном этапе проектирования соотношение. Оба эти принципа составляют базу теории строительной механики и необходимы при возведении мостов и зданий.

Интересно, что Ньютон первым применил принципы интегрального и дифференциального исчисления при решении сложных физических задач, а последующее становление механики как комплексной науки было делом таких выдающихся математиков, как Ж.Лагранж, Л.Эйлер, П.Лаплас и К.Якоби. Каждый из указанных исследователей находил в ньютоновском учении источник вдохновения для своих универсальных математических изысканий.

Момент инерции

При исследовании вращения твердого тела физики часто пользуются понятием момента инерции.

Моментом инерции системы (материального тела) относительно оси вращения называется физическая величина, которая равна сумме произведений показателей точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемого вектора.

Суммирование производится по всем движущимся элементарным массам, на которые разбивается физическое тело. Если изначально известен момент инерции исследуемого предмета относительно проходящей через его центр масс оси, то весь процесс относительно любой другой параллельной линии определяется теоремой Штейнера.

Теорема Штейнера гласит: момент инерции вещества относительно вектора вращения равен моменту его изменения относительно параллельной оси, которая проходит через центр масс системы, полученному посредством произведения масс тела на квадрат расстояния между линиями.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижного вектора каждая отдельная точка движется по окружности постоянного радиуса с определенной скоростью и внутренний импульс перпендикулярны этому радиусу.

Деформация твердого тела

Рисунок 2. Деформация твердого тела. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассматривая механику твердого тела, часто используют понятие абсолютно твердого тела. Однако в природе не существует таких веществ, так как все реальные предметы под влиянием внешних сил изменяют свои размеры и форму, то есть деформируются.

Деформация называется постоянной и упругой, если после прекращения влияния посторонних факторов тело принимает первоначальные параметры.

Деформации, которые сохраняются в веществе после прекращения взаимодействия сил, называются остаточными или пластическими.

Деформации абсолютного реального тела в механике всегда пластические, так как они после прекращения дополнительного влияния никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные изменения малы, то ими возможно пренебречь и исследовать более упругие деформации. Все виды деформации (сжатие или растяжение, изгиб, кручение) могут быть в итоге сведены к происходящим одновременно трансформациям.

Если сила движется строго по нормали к плоской поверхности, напряжение носит название нормальным, если же по касательной к среде – тангенциальным.

Количественной мерой, которая характеризует характеризующей деформации, испытываемой материальным телом, является его относительное изменение.

Источник