Что такое мажорирующий ряд

Мажорируемость функционального ряда

Определение 6.2.6. Функциональный ряд называется мажорируемым на данном множестве Д (на котором определены функции , где ), если существует такой числовой сходящийся ряд с положительными членами, что члены ряда (хотя бы начиная с некоторого) при всех не превосходят по модулю соответствующих членов ряда , т. е.

(При этом ряд называется мажорирующим или мажорантным рядом для функционального ряда).

! Другое определение6.2.7.Функциональный ряд (1) называется мажорируемым на данном множестве Д (на котором определены функции , где ), если существует такой сходящийся числовой ряд (2) с положительными членами, что для всех выполняются соотношения

,( )

Равномерная сходимость функционального ряда

Среди сходящихся функциональных рядов выделяются своей важностью так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Определение 6.2.8. Ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве Д, если для любого можно указать такое число , что при всех будет выполнятся неравенство: для всех (или ).

— n-я частичная сумма ряда (1)

Рассмотрим следующий признак, достаточный для равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса) 6.2.15.: Если функциональный ряд (1) мажорирует на данном множестве Д, то он: 1) равномерно и 2) абсолютно сходится на этом множестве.

Пример 6.2.26.Доказать, что ряд сходится равномерно на всей оси ОХ.

Т. к. для » имеем , то ( ). Ряд сходится. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей оси.

Замечание 6.2.8.Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие равномерной сходимости функционального ряда, оно не является необходимым.

Замечание 6.2.9. Равномерно сходящийся в некотором промежутке ряд не обязательно сходится там и абсолютно.

Степенные ряды

Одним из важных классов функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение 6.2.9.Функциональные ряды, членами которых являются целые положительные степени независимой переменной х или двучлена (х-х₀), ( где х₀=const), умноженные на числовые коэффициенты:

(1) , или

(2) называются степенными рядами.

Члены степенных рядов являются: 1) непрерывными и 2) дифференцируемыми функциями на всей числовой оси.

Ряд (1) получается из ряда (2) при х₀=0.

Все последующие рассуждения будем проводить для ряда (1), поскольку ряд (2) приводится к ряду (1) с помощью замены переменной х-х₀=Х.

Замечание 6.2.10. Для удобства n-м членом степенного ряда называют член , несмотря на то, что он стоит на (n+1)-м месте. Свободный член ряда a₀ считают нулевым членом.

Логически могут представиться 3 возможности:

1)ряд (1) сходится на свей числовой оси;

2)ряд сходится только в т. х=0 (в т. х=0 сходится всякий степенной ряд (1),

3) ряд сходится не только в точке х=0, но и не на всей числовой оси.

Источник

Мажорируемые ряды

Функциональные ряды.

О.Ряд вида (1) называется функциональным.

При каждом фиксированном х ряд(1) превращается в числовой, который может сходиться или расходиться.

Существует общая область определения для всех функций.

О.Множество тех значений х, при которых ряд (1) сходится называется областью сходимости этого ряда.

Если — частичная сумма ряда тогда из области сходимости ряда , где — сумма ряда.

Т.1. Если ряд (1) мажорируемый в области D, то он сходится в этой области абсолютно.

О.2. Ряд (1) – равномерно сходящийся в области D, если

—выполняется условие

или .

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье

Исследовать на сходимость числовые ряды.

А)

Б)

А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

— следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.

Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.

Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.

1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

;

Используем 2й признак сравнения:

Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость.

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:

Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле

Источник

Что такое мажорирующий ряд

Новичок

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 28.5.2007
Город: Krasnoyarsk
Учебное заведение: ПИ СФУ

подскажите плиз как решить задание, а то завтра типовой сдавать (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

«Построить мажорирующий ряд и доказать его равномерную сходимость на заданном промежутке»

сумма от n=1 до бесконечности : x^n/n*2^n ; [-3/2;3/2].

Доцент

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель

подскажите плиз как решить задание, а то завтра типовой сдавать (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

«Построить мажорирующий ряд и доказать его равномерную сходимость на заданном промежутке»

сумма от n=1 до бесконечности : x^n/n*2^n ; [-3/2;3/2].

Для всех х из [-3/2;3/2] : |x^n/n*2^n|

Новичок

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 28.5.2007
Город: Krasnoyarsk
Учебное заведение: ПИ СФУ

Можно еще вопросик.

нужно найти сумму ряда summa от n=2 до бесконечности : x^2n/(2n-3)(2n-2).

Пробывал сделать через интерал,
получается интеграл от 0 до бесконечности : x^2 * summa x^(2n-3)/(2n-3).
Сумма так и напрашивается взять еще один интеграл, но двойные мы не умеем решать, видимо существует какой-то другой способ.
Подскажите плиз, если знаете.

Доцент

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель

Новичок

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 28.5.2007
Город: Krasnoyarsk
Учебное заведение: ПИ СФУ

Доцент

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель

Новичок

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 28.5.2007
Город: Krasnoyarsk
Учебное заведение: ПИ СФУ

Источник

Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества D С Е и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D.

Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Дапамбера, признака Коши. Пример 1. Найти область сходимости ряда М Так как числовой ряд сходится при р > 1 и расходится при р ^ 1, то, полагая р — Igx, получим данный ряд. который будет сходиться при Igx > Ц т.е. если х > 10, и расходиться при Igx ^ 1, т.е. при 0

Равномерная сходимость Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды. Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму Определение. Функциональный ряд ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов называется равномерно сходящимся на множестве ПС1), если для любого числа е > О найдется число ЛГ > О такое, что неравенство будет выполняться для всех номеров п > N и для всех х из множества fI. Замечание.

Здесь число N является одним и тем же для всех х € Ю, т.е. не зависит от z, однако зависит от выбора числа е, так что пишут N = N(e). Равномерную сходимость функционального ряда £ /п(®) к функции 5(х) на множестве ft часто обозначают так: Определение равномерной сходимости ряда /п(ж) на множестве ft можно за- писать короче с помощью логических символов: Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теорема 1 (признак Вейерштрасса):

Пусть для всех х из множества Q члены функционального ряда по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда П=1 с положительными членами, т. е. для всех х € Q. Тогда функциональный ряд (1) на множестве П сходится абсолютно и равномерно. А Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве Q, то по признаку сравнения ряд 2 \fn(x)\ сходится при любом х € И, и, следовательно, ряд (1) сходится на П абсолютно.

Докажем равномерную сходимость ряда (1).

равномерно сходится к функции 5(ж), а функ- ция д(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что По определению равномерной сходимости ряда для любого числа е > 0 существует номер N такой, что для всех п > N и для всех х € [а, Ь] будет выполняться неравенство где 5n(ar) — частичная сумма рассматриваемого ряда.

Так как х является произвольной точкой отрезка [а, 6], то 5(ж) непрерывна на |а, 6|. Замечание. Функциональный ряд члены которого непрерывны на отрезке [а, 6), но который сходится на (а, 6] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию. Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд на отрезке |0,1). Вычислим его n-ю частичную сумму Поэтому Она разрывна на отрезке [0,1], хотя члены ряда непрерывны на нем.

Пусть все члены fn(x) ряда непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции S(x). Тогда справедливо равенство В силу непрерывности функций f„(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, 6] его сумма 5(ж) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [a, ft].

Рассмотрим разность

Из равномерной сходимости ряда на [о, Ь] следует, что для любого е > 0 найдется число N(e) > 0 такое, что для всех номеров п > N(e) и для всех х € [а, 6] будет выполняться неравенство Если ряд fn(0 не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е. Теорема 5 (о почленном дифференцировании функционального ряда). Пусть все члены сходящегося ряда 00 имеют непрерывные производные и ряд составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, Ь].

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник