Что такое локальный максимум и локальный минимум

Что такое локальный максимум и локальный минимум

Точки, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) равна нулю либо не существует, называются критическими точками данной функции. Следовательно, стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Необходимое условие экстремума формулируется следующим образом:

Если точка \(\) является точкой экстремума функции \(f\left( x \right),\) то в этой точке либо производная равна нулю, либо не существует. Другими словами, экстремумы функции содержатся среди ее критических точек.

Отметим, что выполнение необходимого условия еще не гарантирует существование экстремума. Классической иллюстрацией здесь является кубическая функция \(f\left( x \right) = .\) Несмотря на то, что в точке \(x = 0\) производная данной функции равна нулю: \(f’\left( \right) = 0,\) эта точка не является экстремумом.

На основании определения заключаем, что точка \(\) является точкой строгого минимума функции \(f\left( x \right).\)

Аналогично можно доказать первое достаточное условие для строгого максимума функции.

Заметим, что в первом достаточном условии не требуется, чтобы функция была дифференцируемой в точке \(.\) Если в этой точке производная равна бесконечности или не существует (т.е. точка \(\) является критической, но не стационарной), то первое достаточное условие все равно можно использовать для исследования функции на максимум или минимум.

Аналогично рассматривается случай максимума.

Второй достаточный признак экстремума удобно применять, когда вычисление первых производных в окрестности стационарной точки затруднительно. С другой стороны, второй признак можно использовать лишь для стационарных точек (где первая производная равна нулю) − в отличие от первого признака, который применим к любым критическим точкам.

Ясно, что при \(n = 2\) в качестве частного случая мы получаем рассмотренное выше второе достаточное условие экстремума. Чтобы исключить такой переход, в третьем признаке полагают, что \(n > 2.\)

Данная функция относится к семейству показательно-степенных функций. В общем случае они имеют вид \(y = g<\left( x \right)^>.\) Обычно считают, что область определения показательно-степенных функций удовлетворяет условию \(g\left( x \right) > 0.\) (В некоторых частных случаях основание \(g\left( x \right)\) может быть отрицательным − например, если \(h = \large\frac<1><3>\normalsize.\) В нашем случае полагаем \(x > 0.\) Отсюда следует, что функция принимает лишь положительные значения.

\(2x = \large\frac<\pi ><6>\normalsize + 2\pi n,\;\; \Rightarrow = \large\frac<\pi ><<12>>\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb;\)

\(2x = \large\frac<5\pi ><6>\normalsize + 2\pi k,\;\; \Rightarrow = \large\frac<5\pi ><<12>>\normalsize + \pi k,\;k \in \mathbb.\)

Согласно принципу наименьшего действия Ферма, между любыми двумя точками реализуется такая траектория света, которая соответствует наименьшему времени распространения.

Рассмотрим две среды с плоской границей между ними (см. выше рисунок \(8\)). Пусть свет распространяется из точки \(A\) в точку \(B\), причем в первой среде угол падения (угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела сред) составляет \(<\alpha _1>,\) а во второй среде угол выходит под углом \(<\alpha _2>.\) Скорости света в первой и второй среде равны, соответственно, \(\) и \(.\)

Пусть луч пересекает границу между средами в точке с координатой \(x\). Задача состоит в том, чтобы определить значение \(x,\) при котором время распространения света будет наименьшим.

Исследуем изменение знака производной при переходе через эти точки (рисунок \(11\)).

Схематический вид данной функции приведен на рисунке \(12\).

\(\ln x = 0,\;\; \Rightarrow = 1;\)

Источник

Что такое локальный максимум и локальный минимум

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума. Теорема.

. Запомните, что не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума. Теорема.

Пусть для функции \(f(x)\) выполнены следующие условия:

Тогда в точке \(x = \) функция \(f(x)\) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку \(\) производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку \(\) производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная \(f'(x)\) при переходе через точку \(\) не меняет знак, то экстремума в точке \(x = \) нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию \(f(x)\) на экстремум, необходимо:

Рассмотрим пример использования данного алгоритма, исследуем функцию на экстремумы: \(y(x) = — 1.\)

\(y'(x) = 4 = 0 \Rightarrow x = 0.\)

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки. Для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины:

Так как при переходе через точку \(x = 0\) производная сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения).

Важно, что \(x = 0\) является точкой минимума. Сам же экстремум, минимум функции или наименьшее значение функции необходимо еще посчитать, подставив \(x = 0\) в выражение функции:

Не забывайте данное замечание и всегда внимательно читайте условие, что именно необходимо записать в ответе к задаче.

Источник

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.

Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).

Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.

Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции:

.

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

.

Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3. Найти экстремумы функции и построить её график.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти экстремумы функции .

Пример 6. Найти экстремумы функции .

Пример 7. Найти экстремумы функции .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции:

Точки и не могут быть точками экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке производная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке — с минуса на плюс. Следовательно, — точка максимума, а точка — точка минимума функции.

Найдём значения функции в этих точках:

Таким образом, экстремумы функции:

.

Пример 9. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции.

Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции:

Таким образом, у данной функции две критические точки: и . Определим значения производной в критических точках. При переходе через точку производная функции продолжает убывать (сохраняет знак минус), а при переходе через точку — начинает возрастать (меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, — точка минимума функции.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, минимум функции:

.

Пример 10. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём первую производную функции:

.

Найдём критические точки функции:

.

Так как для любого действительного x должно выполняться условие , то

.

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку производная функции начинает убывать (меняет знак с плюса на минус). Следовательно, — точка максимума функции.

Найдём значение функции в точке максимума:

.

Таким образом, максимум функции:

.

Источник