Что такое логическая функция
Что такое логическая функция
Логические элементы и логические функции.
Элементы математической логики.
может принимать только два значения : 0 или 1. В свою очередь,
сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может
принимать только два значения : 0 или 1.
таблицей, которая называется таблицей истинности.
Логические функции одной переменной
Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего
2 строки, а число функций одной переменной равно 4.
соединение вывода Y с общей шиной с нулевым потенциалом.
Таблица истинности функции константа 0 имеет вид:
Таблица истинности функции повторения имеет вид:
или логическом элементе, или транзисторный ключ.
Таблица истинности функции отрицания имеет вид:
Логический элемент НЕ обозначается на схемах следующим образом:
(пишется X c чертой сверху)
соединение вывода Y с источником питания.
Таблица истинности функции константа 1 имеет вид:
Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ,
остальные функции являются тривиальными.
Логические функции двух переменных
Таблица истинности функции двух переменных Y=f(X1,Х2) содержит 4
строки, а число функций двух переменных равно 16.
Мы рассмотрим только несколько основных функций двух переменных.
1. Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):
Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:
Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:
2. Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпаде-
Таблица истинности логического И имеет вид:
Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:
3. Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)
Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:
Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом :
4. Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1|X2 = NOT(X1X2)
Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:
Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:
Есть ещё три логические функции двух переменных, имеющие специ-
альные названия: импликация, эквивалентность, неравнозначность
(исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2). Последние две функции
являются взаимно обратными, также как, например, функция И и
функция штрих Шеффера.
формации. К триггерам относятся устойства, имеющие два устойчивых
элементов И-НЕ (или ИЛИ-НЕ). Он позволяет запоминать 1 бит инфор-
мации, поскольку информация в компьютере представляется в двоич-
ном виде. Его схема приведена ниже.
Действие RS-триггера поясняется в приведенной ниже таблице ис-
тинности. S-вход установки (Set), R-вход сброса (Reset).
В обычном (исходном) состоянии на входы триггера поданы 1. Для
записи информации на вход R подан 0. Для сброса информации и под-
готовки к приёму новой информации на вход S подается 0 и триггер
вернётся в исходное состояние.
Поскольку один триггер запоминает 1 бит информации, то для запо-
минания 1 байта (8 бит) нужно 8 триггеров, для запоминания 1 Кб
(1024 байт) надо 8192 триггеров. Современные микросхемы ОЗУ спо-
собны запоминать десятки мегабайт информации.
Элементы математической логики
Существуют такие наборы логических функций, с помощью которых
можно выразить любые другие логические функции. Они называются
это набор функций И, ИЛИ, НЕ. Функция штрих Шеффера является ба-
зисной, также как и функция стрелка Пирса. Поэтому, с помощью ло-
гических элементов ИЛИ-НЕ или И-НЕ можно собрать любую логическую
схему. На таких элементах собран микропроцессор компьютера и дру-
гие логические устройства. Логические схемы состоят из логических
элементов, осуществляющих логические операции.
ности одних высказываний на основе истинности или ложности других
высказываний (утверждений). Логика изучает методы доказательств и
опровержений. Логика составляет основу всякого управления, в том
числе технологическими процессами.
формальные математические методы.
торые могут быть либо истинными, либо ложными. Существуют два
подхода установления истинности высказываний: эмпирический (опыт-
ный) и логический. При эмпирическом подходе истинность высказыва-
ний устанавливается на основе наблюдений, экспериментов, докумен-
тов и других фактов. При логическом подходе истинность высказыва-
ний доказывается на основе истинности других высказываний, то
есть чисто формально, на основе рассуждений без обращения к фак-
В языках программирования QBasic и Turbo Pascal логические функ-
ции И, ИЛИ, НЕ реализуются в виде логических операций OR (ИЛИ),
Множество всех логических функций, на котором определены три ло-
гические операции И, ИЛИ, НЕ называется булевой алгеброй (по име-
ни основоположника математической логики английского математика
Джорджа Буля). Упрощение формул в булевой алгебре производится на
основе эквивалентных преобразований, опирающихся на следующие ос-
новные законы (эквивалентные соотношения):
Кроме того, применяются ещё три соотношения:
Законы 1,2,3,7 показывают, что свойства конъюнкции очень похожи
на свойства умножения, поэтому её часто называют логическим умно-
жением. Из законов 6 и 8 следует, что используя отрицание, дизъ-
юнкцию можно выразить через конъюнкцию, и наоборот:
Это означает, что наборы И-НЕ и ИЛИ-НЕ также являются функцио-
нально полными или базисными.
1. Что такое логическая функция и логический элемент?
2. Что такое таблица истинности и сколько в ней строк?
3. Какие функции одной переменной Вы знаете? Какая из них являет-
4. Как зависит число функций от числа переменных?
5. Что такое конъюнкция и дизъюнкция? Как они реализуются?
6. Что такое функция стрелка Пирса? Какова её таблица истинности?
7. Что такое функция штрих Шеффера? Какова её таблица истинности?
8. Что такое базисная функция и какие базисы Вы знаете?
9. Что такое логика? Какие два подхода существуют в логике?
10. Как доказывается истинность или ложность высказываний? Приве-
дите примеры из практики.
11. Что такое булева алгебра?
12. Какие законы булевой алгебры Вы знаете? Где они применяются?
13. Что такое триггер? Как работает RS-триггер?
14. Сколько надо триггеров, чтобы запомнить 1 Мб информации?
Что такое логическая функция
2) Логическое сложение или дизъюнкция:
Таблица истинности для дизъюнкции
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
3) Логическое отрицание или инверсия:
Таблица истинности для инверсии
| A | ¬ А |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
4) Логическое следование или импликация:
«A → B» истинно, если из А может следовать B.
Обозначение: F = A → B.
Таблица истинности для импликации
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
5) Логическая равнозначность или эквивалентность:
Логическая функция: что такое, способы представления, значение
Содержание:
Логическая функция — это такая функция, которая может принимать только одно из 2-х значений: 0 («ложь», «false») или 1 («истина», «true»). Логическую функцию можно обозначить как F (A), где А — это логический аргумент, чье количество в функции никак не ограничено.
Любая современная компьютерная система состоит из множества логических схем, где присутствуют логические функции и логические переменные. Для того чтобы описать эти взаимоотношения, есть таблицы истинности, в которых расписаны значения логической функции для разных наборов аргументов функции.
Логическая функция, что это
Логическая функция: отрицание
Логическая функция: конъюнкция
Логическая функция: дизъюнкция
Эта логическая функция, как и предыдущая, должна быть представлена несколькими аргументами. Ее значение буде «false» только в том случае, когда значения всех аргументов будет «false», во всех остальных случаях она будет «true».
Например нам даны два аргумента «А и В», тогда их таблица дизъюнкции будет выглядеть следующим образом:
Логическая функция: импликация
Логическая функция «импликация» — это такое выражение, которое показывает зависимость одного аргумента от другого. Его еще можно «прочитать» как «если А, то В». Обозначается как «А→В» и оно будет считаться «false» только тогда, когда А будет «true», а «В» будет «false».
Логическая функция: эквиваленция
Логическая функция «эквиваленция» простыми словами может читаться как «для А нужно и достаточно В». Его значение будет «true», только тогда, когда А и В вместе, либо «false», либо «true». Такая функция обозначается как «А↔В».
Вот как выглядит таблица истинности эквиваленции:
Логические основы ЭВМ
Основные логические функции и элементы
Рассмотрим ключевую схему представленную на рис. 1.1,а. Примем за логический 0 [2]:
Правило логического умножения :если на вход логического элемента И подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логический 0.
В логических выражениях применяется несколько вариантов обозначения логического умножения. Так, для приведенного на рис. 1.1,в трёх-входового элемента И, логическое выражение можно представить в виде:
Правило логического сложения: если на вход логического элемента ИЛИ подается хотя бы одна логическая 
, то на его выходе будет логическая 1.
Для логического сложения решающим является уровень логической 1.
В логических выражениях применяется два варианта обозначения логического сложения. Так, для приведенного двух-входового элемента ИЛИ, логическое выражение можно представить в виде:
Правило инверсии: проходя через инвертор, сигнал меняет свое значение на противоположное.
В логических выражениях применяется единственный вариант обозначения инверсии:
К основным логическим элементам относятся еще два элемента, которые являются комбинацией элементов И, ИЛИ и НЕ: элемент И-НЕ и ИЛИ-НЕ.
Логическая функция и элемент И-НЕ
Данная функция производит логическое умножение значений входных сигналов, а затем инвертирует результат этого умножения. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.4,а. Таблица истинности приведена на рис. 1.4,б.
Если на вход логического элемента И-НЕ подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логическая 1.
В логических выражениях применяются обозначения:
Логическая функция и элемент ИЛИ-НЕ
В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.5,а. Таблица истинности приведена на рис. 1.5,б.
Если на вход логического элемента ИЛИ-НЕ подается хотя бы одна логическая 1, то на его выходе будет логический 0.В логических выражениях применяются обозначения:
Основные понятия алгебры логики. Функции алгебры логики. Основные логические эквивалентности
Представление логической функции в виде таблицы истинности
Прежде всего, определимся с понятием «элементарная логическая функция». Чаще всего,это понятие в литературе никак не расшифровывается. В дальнейшем мы будем понимать под «элементарной логической функцией» ФАЛ от аргументов, каждый из которых, в свою очередь, не является логической функцией и которые имеют своё собственное обозначение.
Таблица истинности указывает значение логической функции при всех значениях наборов аргументов. Ниже мы рассмотрим элементарные логические функции от одной и двух переменных.
Все возможные элементарные логические функции от одной переменной представлены в Табл. 1.1:
| Функция | x | Наименование функции | Обозначение функции | |
|---|---|---|---|---|
| x=0 | x=1 | |||
| ƒ0 | 0 | 0 | Константа «ноль» | ƒ(x)=0 |
| ƒ1 | 0 | 1 | Тождественная функция | ƒ(x)=x |
| ƒ2 | 1 | 0 | Отрицание |  |
| ƒ3 | 1 | 1 | Константа «единица» | ƒ(x)=1 |
Здесь интерес представляет лишь одна функция – отрицание. Опишем ее основные свойства:
Последнее свойств можно описать как «отрицание отрицания есть утверждение».
Все возможные логические функции от двух переменных представлены в Табл. 1.2: