Что такое логарифм в математике простыми словами примеры
Что такое логарифм в математике простыми словами примеры
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
1. Поймете, что такое логарифм.
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень.
Чувствую, сомневаетесь вы. Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
3 x = 9
А теперь решите почти то же самое:
3 x = 8
Что, что-то не так? Ответ, что нету такого икса, не принимается!
Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….
Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (3 1 = 3) и двойкой (3 2 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз. Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?
Вернёмся к нашему загадочному примеру:
3 x = 8.
Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:
Читаем ещё раз: «икс равен логарифму восьми по основанию три».
И это правильный ответ!
Мы решили крутое показательное уравнение 3 x = 8!
И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!
Это все верные ответы! Приятно, правда?
Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: «как доехать до вокзала?» И нам честно и правильно ответили: «На автобусе, который идёт до вокзала!» В жизни толку с такого ответа мало.
На вопрос: чему равен х в уравнении
Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:
Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас. Я покажу вам это конкретное число:
Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно.
Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.
И чему же равен log24?
Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:
А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.
Что, тяжело сообразить, в какой степени шестёрка даст 216? А я предупреждал, что здесь таблицу умножения знать надо! Более того, намекну, что таблицу умножения вообще знать надо. Не только здесь.
Ну что, смотрим на часы? Сильно я ошибся?
До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.
Запишем в общем виде, т.е. через буквы:
В результате получилось:
а > 0; a ≠ 1
А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим. получим. Да! Положительное число и получим. Отсюда:
Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.
Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.
Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.
Основание 10 не пишется, буква «о» пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И
Логарифмы по основанию «е» называются натуральными. Хотя чего уж там натурального.
Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!
Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение «Решение логарифмов» предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.
Запишем знакомое нам выражение:
Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:
А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:
Подставим это в предыдущую формулу, и получим:
И зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!
Это первая формула свойств логарифмов. Её надо помнить! Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.
Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.
Чему равняется выражение:
В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужто забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:
Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:
Оставшиеся свойства логарифмов выводить не будем, я их приведу сразу в комплекте. Этот комплект надо знать! Это основа для решения логарифмов.
Свойства логарифмов.
здесь х>0, y>0, a>0, a≠1, m>0, m≠1.
Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули использовать. Но там мы разберёмся со всеми подводными камнями, не волнуйтесь!
Ну, ладно. Формулы хорошие, решать-то как? Открываю тайну. Все задания на упрощение выражений с логарифмами решаются применением этих хороших формул (во, Америку открыл!). Попробуем, что-нибудь простенькое?
Надеюсь, всё понятно? Что, слишком элементарно? Ну ладно. Вот примеры чуток посложнее. Вычислить:
Ответы (в беспорядке): 2; 2,5; 4,5; 3.
Решилось? Неплохо! А ещё?
Тоже без проблем? Ну ладно. А вот это?
Ответы: 1; 36; 1; 2; 0,5.
Что, не всё решается? Или ничего не решается? Не переживайте, это дело поправимое. Вам прямая дорога в Раздел 555. Особый. Там подробно рассказано, как свойства логарифмов в дело употреблять. И не только для этих примеров, а и для всех сразу! Даны практические советы, которых вы не найдёте в учебниках. Очень рекомендую!
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Свойства логарифмов и примеры их решений
Зачем в жизни нужны логарифмы?
Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.
Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!
Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!
То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.
Логарифм и его свойства. Вебинар (1 час 48 минут)
В этом видео мы разобрали свойства логарифмов на примере решения 35 задач.
Начиная от самых простых логарифмов и заканчивая сложными.
Если вам понравилось видео, подписывайтесь на канал, ставьте лайки — нам будет приятно и мы будем делать такие видео впредь.
Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема.
Чтобы понять, как их решать, нужно всего лишь разобраться, что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень.
Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого. Как решить уравнение \(\displaystyle <<2>^
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\) чтобы получить \(8\)?
Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА!
Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь (\(\displaystyle <<2>^<3>>=8\)) и значит решением уравнения будет число три (\(x=3\)).
Следующий вопрос. Как решить уравнение \(\displaystyle <<2>^
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\), чтобы получить число \(5\)?
Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много.
Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное.
Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:
В общем виде он записывается так:
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь \(2,321928\ldots \) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как \(2,321928\ldots \) или как \(\displaystyle <<\log >_<2>>5\).
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как:
Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение \(\displaystyle <<2>^<3>>=8\) можно также записать в виде \(\displaystyle <<\log >_<2>>8=3\). Читается так:
«Логарифм восьми по основанию два равен трем»
«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»
Теперь более общая запись:
«Чтобы получить число \(b\), нужно число \(a\) возвести в степень \(c\)»:
8 примеров вычисления логарифмов
Пример 1
Чему равен \(\displaystyle <<\log >_<2>>4\)?
\(\displaystyle <<\log >_<2>>4=2\), так как число \(2\) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить \(4\).
Пример 2
Чему равен \(\displaystyle <<\log >_<2>>\frac<1><8>\)?
Заметим, что \(\displaystyle 8=<<2>^<3>>\), тогда \(\displaystyle \frac<1><8>=\frac<1><<<2>^<3>>>=<<2>^<-3>>\), то есть \(2\) нужно возвести в степень \(-3\), чтобы получить \(\displaystyle \frac<1><8>\).
Пример 3
А чему равен \(\displaystyle <<\log >_<2>>0,25\)?
Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить \(0,25\) как \(2\) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: \(\displaystyle 0,25=\frac<1><4>=\frac<1><<<2>^<2>>>=<<2>^<-2>>\).
Пример 4
Чему равен \(\displaystyle <<\log >_<7>>1\)?
В какую степень надо возвести \(7\), чтобы получить \(1\)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно \(1\) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).
Значит, \(\displaystyle <<\log >_<7>>1=0\). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен \(0\).
Пример 5
\(\displaystyle <<\log >_<4>>2\). В этом случае аргумент \(2\) равен корню основания: \(\displaystyle 2=\sqrt<4>\).
Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): \(\displaystyle 2=\sqrt<4>=<<4>^<\frac<1><2>>>\text< >\Rightarrow \text< ><<\log >_<4>>2=\frac<1><2>\).
Попробуй найти следующие 4 логарифма самостоятельно
Десятичные логарифмы
Логарифм по основанию \(\displaystyle 10\) называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: \(\displaystyle \lg \) вместо \(\displaystyle <<\log >_<10>>\)
Когда нужная степень не подбирается
Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.
Например, \(\displaystyle <<\log >_<2>>5=2,321928…\).
Видим, что это число расположено между \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить \(5\), нужно \(2\) возводить в степень больше \(2\), но меньше \(3\).
На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.
Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.
В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.
Например, ответ вполне может выглядеть так:
\(\displaystyle <<\log >_<3>>10\), или даже так: \(\displaystyle \frac<2+<<\log >_<3>>7><5>\).
Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:
Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить \(\displaystyle x=<<\log >_<3>>81\), высший балл за задачу не поставят.
То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать.
Потренируйся на следующих простых примерах:
6 примеров для самостоятельной работы
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Область допустимых значений (ОДЗ)логарифма
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться \( 1\).
Начнем с простого: допустим, что \( a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \( 1\), всегда получается \( 1\).
Более того, \( \displaystyle <<\log >_<1>>b\) не существует ни для какого \( \displaystyle b\ne 1\).
Но при этом \( \displaystyle <<\log >_<1>>1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \( 1\) в любой степени равно \( 1\)).
Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае \( a=0\): \( 0\) в любой положительной степени – это \( 0\), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что \( \displaystyle <^<-c>>=\frac<1><<^
При \( a 0\\x\ne 1\\x+2>0\end
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)
Найдите корень уравнения \( \displaystyle <<\log >_
Решение:
\( \displaystyle <<\log >_
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:
Подставим во второе равенство вместо \( \displaystyle c\) логарифм:
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:
Реши еще следующие примеры:
Пример 2
Найдите значение выражения \( \displaystyle <<25>^<<<\log >_<5>>3>>\).
Пример 3
Решения примеров 2 и 3:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойства логарифмов
К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение.
Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов.
Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.
Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.
А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.
Свойство 1 – степень аргумента
Доказательство:
Свойство 2 – сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: \( \displaystyle <<\log >_>b+<<\log >_>c=<<\log >_>\left( b\cdot c \right)\).
Доказательство:
Пример
Найдите значение выражения: \( \displaystyle <<\log >_<3>>5+<<\log >_<3>>0,6\).
Решение:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
А вот обещанное упрощение:
Зачем это нужно? Ну например: чему равно \( \displaystyle lo<
Теперь упрости сам:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойство 3 – разность логарифмов
| Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:\( \displaystyle lo< |
Доказательство:
Все точно так же, как и в пункте 2:
Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:
Пример посложнее: \( \displaystyle \log _<2>^<2>2\sqrt<3>-\log _<2>^<2>\sqrt<3>—<<\log >_<2>>3\).
Догадаешься сам, как решить?
Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению \( \displaystyle <<2>^<<
Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!
Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.
Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?
Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:
Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?
Ответ для проверки:
Упрости сам:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойство 4 – вынесение показателя степени из аргумента логарифма
Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle <<\log >_><^
>=n\cdot <<\log >_>b\)
Доказательство:
Можно понять это правило так:
То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.
Пример: Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac<<<\log >_<2>>25><<<\log >_<2>>5>\).
Реши сам:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Свойство 5 – вынесение показателя степени из основания логарифма
Доказательство:
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!
Свойство 6 – вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма
Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle <<\log >_<<^
>>><^ >=\frac \cdot <<\log >_>b\).
Свойство 7 – переход к новому основанию
Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: \( \displaystyle <<\log >_>b=\frac<<<\log >_
>b><<<\log >_ >a>\text< >\left( c>0;\text< >\ne \text <1>\right)\).
Доказательство:
Свойство 8 – замена местами основания и аргумента логарифма
Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: \( \displaystyle <<\log >_>b=\frac<1><<<\log >_>a>,\text< >\left( b\ne 1 \right)\).
Доказательство:
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 1. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_<5>>75+<<\log >_<5>>\frac<1><3>\).
Пример 2. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_<3>>36-2<<\log >_<3>>2\).
Пример 3. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_<8\sqrt[5]<4>>>\left( 32\sqrt[5] <2>\right)\).
Пример 4. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac<\log _<5>^<2>25\sqrt<10>-\log _<5>^<2>\sqrt<10>><<<\log >_<5>>250>.\).
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
Твой ход!
Теперь ты знаешь о логарифмах все! Самое время покорять уравнения и неравенства!
Я уверен, что ты справишься. И я очень тобой горжусь. Ведь ты решил сесть и разобраться.
Напиши нам в комментариях ниже, что думаешь об этой статье. Все ли было понятно? Понравилась ли она тебе?
А еще ты можешь задать нам любой вопрос. И мы обязательно ответим!
Добавить комментарий Отменить ответ
20 комментариев
Отличный материал! Спасибо!
Спасибо, Саид. В каком вы классе?
Вы — это просто чу-до, и этот учебник тоже! Если бы я знала о вас в сентябре, я бы выбрала вашу онлайн школу
Спасибо большое, Бася! Очень приятно слышать. Желаем вам сдать ЕГЭ на 100 баллов! )
Как лайк поставить?
Будем считать этот коммент лайком. Спасибо!
хотела зарегистрироваться на вебинар 14 февраля, но не смогла: «сайт не может обеспечить безопасное соединение» может есть еще вариант?
Надежда, я зарегистрировал вас и отправил на почту доступы. Скажите, пожалуйста, где вы столкнулись с такой надписью? Можете написать или отправить ссылку?
Большое спасибо, все изложено четко и красиво!
Инна, очень рады, что понравилось! Заходите к нам еще! )
Это лучшее объяснение, что я встречала! Хорошая методика: простой язык, примеры и практика! Я благодарна Клеверу!
Спасибо, Ника! И за название тоже. «Клевер» — клёво! ))
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Катерина
10 января 2018
Я получила очень хорошую для меня информацию.
Александр (Админ)
11 января 2018
Спасибо, Катерина. Нам очень приятно слышать, что наш учебник полезен.
Владимир
17 января 2018
Прекрасное объяснение! Просто великолепное! В примере после третьего свойства действительно есть опечатка. знак корня у третьего члена лишний. Есть также потерянный член в конце предпоследней строчки решения пятой задачи третьего свойства. В финальной строчке он нашелся 🙂
Алексей Шевчук
06 февраля 2018
Александр, примени свойство степени «произведение степеней с одинаковым основанием»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva
Дарья
10 декабря 2018
А как решать функцию логарифмическую, если логарифм под знаком модуля? Например y=[lgx]-lgx?
Шура
24 января 2019
Как сложить логарифмы если у обоих аргумент x, но у первого основание 2, а у второго 3?
Алексей Шевчук
04 февраля 2019
Шура, нужно воспользоваться формулой перехода к другому основанию Например, log_3 (x) = log_2 (x) / log_2 (3).
Олег
14 апреля 2019
Большое спасибо за очередную великолепную статью, все понятно.
Александр (админ)
14 апреля 2019
Олег, очень рады слышать! Удачи!
Олег
17 апреля 2019
Спасибо за статью, но СЛОЖНА
Александр (админ)
17 апреля 2019
Пожалуйста, Олег. Ну что поделать? Тяжело в ученье, легко на ЕГЭ )
Саня
06 сентября 2019
А что делать, если логарифмы с разными приколами? 0-0 Как их решать?
Алексей Шевчук
06 сентября 2019
Саня, посмотри статью про логарифмические уравнения, там некоторые приколы разобраны. https://youclever.org/book/logarifmicheskie-uravneniya-1
Алексей Шевчук
08 ноября 2019
Виталий, дело в том, что такие уравнения будут иметь действительные решения очень редко. Представим себе, что это уравнение (-2)^6x=-8. Тогда с одной стороны, x=0.5 является решением, но с другой стороны, когда мы решаем уравнение, у нас должна быть возможность воспользоваться свойствами степени: (-2)^6x = ((-2)^x)^6 — а теперь посмотрим, можем ли мы так делать? Подставим вместо x число 0.5: ((-2)^0.5)^6=-8. Вспомним, что такое степень 0.5? Это квадратный корень из числа. Но ведь мы не можем извлекать корень из отрицательного числа! Чтобы не возникало таких неприятностей, математики договорились не использовать отрицательные основания у показательной функции, а как следствие, и у логарифма. Но это касается только вычислений в действительных числах. Если мы рассматриваем также комплексные числа (это в которых можно извлекать корень из отрицательных чисел), то отрицательные основания возможны — но это уже не школьная математика.
Александр (админ)
08 ноября 2019
Отличное объяснение, Алексей! Снова вышли за пределы школьной математики. Это здорово! )
Виталий
12 ноября 2019
Спасибо за ответ. Понял, что это для облегчения начальной стадия обучения, с последующим переходом к более сложным вычислениям.
Антон
16 декабря 2019
Классное объяснение, спасибо!
Александр (админ)
16 декабря 2019
Антон, спасибо! Мы рады, что понравилось. Заходи еще! )
Света
07 января 2020
Спасибо очень понравилась то что не было не понятно все поняла
Александр (админ)
07 января 2020
Отлично, Света! Мы очень рады. Удачи тебе на экзаменах!
Александр (админ)
13 января 2020
То, что не нравится Полине Магаррамовой я переживу как-нибудь. Мне главное, чтобы вам нравилось 🙂
Евгений Вячеславович
06 февраля 2020
Классно… Если бы мне 19 лет назад так объясняли бы математику, я бы к егэ вообще не готовился бы, потому что все бы помнил и понимал. Так доходчиво и понятно я не встречал нигде. Спасибо вам.
Александр (админ)
06 февраля 2020
Спасибо, Евгений Вячеславович. Я вот тоже самое думаю, что, если бы мне объясняли также как здесь в свое время…. ))
Юлия Владимировна
13 мая 2020
Помогите решить: 2*log 1/2 (4x-5) — log1/2 *16x = log1/2(x-3)
Алексей Шевчук
14 мая 2020
Юлия Владимировна, двойку вносим в логарифм как степень аргумента: 2*log 1/2 (4x-5)=log 1/2 (4x-5)^2. Потом соединяем логарифмы по правилу вычитания: log 1/2 [(4x-5)^2 / 16x] = log1/2(x-3). Теперь можно от логарифмов избавиться: (4x-5)^2 /16x = (x-3) — получили обычное уравнение
Жахиян
27 мая 2020
В какую степень нужно возвести число 2 чтобы получить 8? как ответ может быть 3. По идей ответ дожен быть равно на 4 а не к 3.
Александр (админ)
27 мая 2020
Жахиян, вы говорите на какое число нужно УМНОЖИТЬ 2, чтобы получить 8. Это действительно 4. Но вопрос был В КАКУЮ СТЕПЕНЬ нужно возвести 2 чтобы получить 8. А это тройка: «два в третьей степени будет восемь» (2*2*2=8)
ООО,спасибо за последние слова,лучший сайт.