Что такое логарифм произведения
Логарифм произведения
Вы будете перенаправлены на Автор24
Докажем данную теорему:
$x \cdot y=a^k \cdot a^l=a^
Формула логарифма произведения применяется для упрощения вычисления логарифмов.
Формула логарифма произведения
Формула логарифма произведения распространяется не только на произведение двух чисел, но и на произведение конечного количества чисел:
Логарифм произведения применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.
Применим свойство логарифма произведения:
$\log_<13>2197=\log_<13>(13 \cdot 13 \cdot 13)=\log_<13>13+\log_<13>13+\log_<13>13=3 \log_<13>13=3 \cdot 1=3$.
Готовые работы на аналогичную тему
Данный пример демонстрирует применение формулы логарифма числа, которое раскладывается на три множителя.
Применим теорему о логарифме произведения:
подлогарифмические выражения обоих логарифмов запишем как основание логарифма в степени, а затем применим формулу логарифма степени:
показатели степени вынесем из-под знака логарифма и запишем перед ним:
Сумма логарифмов
Верным будет и обратное определение:
Сумму логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма произведения подлогарифмических выражений:
Применим формулу суммы логарифмов:
По формуле суммы логарифмов:
теперь можем применить свойство логарифма степени:
Согласно сумме логарифмов:
$\log_<4>32+\log_<4>128=\log_<4>(32 \cdot 128)=\log_<4>4096=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
Используем формулу суммы логарифмов:
теперь можем применить свойство логарифма степени:
Применим к числителю и знаменателю формулу суммы логарифмов:
теперь можем применить свойство логарифма степени:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 07 2021
Логарифм произведения
Что такое логарифм произведения
Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число.
Число а обычно называют основанием, а число b — аргументом логарифма.
Логарифм имеет следующий вид \(\log_a\left(b\right)\) и читается как «логарифм b по основанию a».
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Существуют логарифмы со специальными обозначениями. К ним относятся:
Логарифм также имеет основные свойства, которые необходимо помнить для решения примеров:
Приведем доказательство данной теоремы.
Возьмем два положительных числа x и y. Пусть \(\log_a(x)=k, \log_a(y)=l.\)
Найдем их произведение:
Из выражения \(x\times y=a^
Логарифм произведения трех положительных чисел
Формула логарифма произведения применяется также и для нескольких положительных множителей. Возьмем для примера три числа и запишем формулу логарифма произведения в преобразованном виде.
\(\log_a\left(x_1\times x_2\times x_3\right)=\log_a\left(x_1\right)+\log_a\left(x_2\right)+\log_a\left(x_3\right)\)
где \(a\) — логарифмическое основание и \(a, x_1,\;x_2,\;x_3 > 0, a\neq0.\)
Логарифм произведения степени, частного
Помимо логарифма произведения, рассмотрим такие понятия как логарифм степени и частного. Они являются не менее важными для решения задач.
Логарифм степени с положительным основанием — это показатель степени, умноженный на логарифм ее основания.
Логарифм частного двух положительных чисел — это разность между логарифмом делимого и логарифмом делителя.
Примеры решения задач на логарифмы
Задача 1
Решение
Разложим аргумент логарифма на более простые числа и применим формулу логарифма произведения. Получим:
Задача 2
Решение
Применим формулу логарифма произведения для нескольких множителей. Получим:
Задача 3
Применим формулу логарифма частного. Получим:
Задача 4
Применим формулу логарифма степени. Получим:
Логарифм произведения
Логарифм произведения — результат сложения логарифмов с одинаковыми основаниями. Если выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, формула
при x>0, y>0 логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:
Как и другие свойства логарифмов, переход от логарифма произведения к к сумме логарифмов может быть использован для преобразований в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Если на области допустимых значений переменные, входящие в произведение под знаком логарифма, положительны, проблем не возникает.
Например, для системы
область допустимых значений x>0, y>0. Поэтому
и систему можно преобразовать как
Если же область допустимых значений включает в себя не только положительные значения переменных, формула перехода от логарифма произведения к сумме логарифмов выглядит так:
Таким образом, в общем случае
логарифм произведения равен сумме логарифмов модулей множителей.
Здесь область допустимых значений
0, \Rightarrow x \ne 0,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
поэтому при переходе от логарифма произведения к сумме логарифмов множителей переменную x берем по модулю:
Область допустимых значений
0,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Свойства логарифмов
Определение логарифма
Основное логарифмическое тождество
Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
Два очевидных следствия определения логарифма
Логарифм произведения и логарифм частного
log a ( b c ) = log a b + log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (5)
log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (6)
Действительно, выражение log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Степень можно выносить за знак логарифма
И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )
Формула перехода к новому основанию
Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) (9)
Десятичные и натуральные логарифмы
Основные теоремы о логарифмах
п.1. Базовые свойства логарифма
п.2. Логарифм произведения
Пусть нам даны два логарифма с одним основанием: \(\log_ab=x,\ \log_ac=y\)
В записи через степени это означает, что \(a^x=b,\ a^y=c\)
Тогда произведение степеней \(a^x\cdot a^y=a^
В записи через логарифмы получаем формулу:
\(\log_abc=x+y=\log_ab+\log_ac\)
Например:
\(\log_210=\log_2(2\cdot 5)=\log_22+\log_25=1+\log_25\)
\(\log_35+\log_31,8=\log_35\cdot 1,8=\log_39=2\)
п.3. Логарифм частного
Для тех же логарифмов \(\log_ab=x,\ \log_ac=y\) и степеней \(a^x=b,\ a^y=c\) запишем частное \(\frac
В записи через логарифмы получаем формулу:
\(\log_a\frac bc=x-y=\log_ab-\log_ac\)
Например:
\(\log_3\frac89=\log_38-\log_39=\log_38-2\)
\(\log_4 80-\log_4 5=\log_4\frac<80><5>=\log_4 16=2\)
п.4. Логарифм степени
И очень важное следствие:
п.5. Переход к новому основанию
Пусть \(\log_ab=x\) и \(\log_ca=y.\)
В записи через степени это означает, что \(a^x=b,\ c^y=a.\)
Тогда \(a^x=(c^y)^x=c^
Через логарифмы: \(\log_cb=yx=\log_ca\cdot\log_ab\Rightarrow \log_ab=\frac<\log_cb><\log_ca>\)
п.6. Примеры
г) \(\lg56,\) если \(\lg2=a,\ \log_27=b\) \begin