Что такое линейный тренд
Как спрогнозировать бизнес-показатели по методу линейного тренда с учетом сезонности: пошаговый мануал
В любом бизнесе возникает необходимость прогнозирования ключевых показателей деятельности: объема продаж, ожидаемой прибыли, количества лидов с формы заказа звонка или посетителей магазина. В данной статье я описала простой и быстрый способ прогнозирования таких показателей, на основе минимальных данных за предыдущие периоды.
Прежде чем приступить к описанию метода, необходимо понять суть прогнозирования. Прогноз — это не точное значение показателя в будущем, это определенная планка, которую нужно достичь. Или, в случае если прогноз неутешительный, толчок к поиску новых решений для избежания негативной тенденции. Недостаточно просто рассчитать будущие показатели и ждать той самой цифры, прогноз — это фундамент для постановки целей и, пожалуй, единственный способ (помимо гадания и вангования) избежать неопределенности в будущем.
Что собой представляет метод линейного тренда?
Думаю, всем знакомо понятие «тренда». Тренд — это закономерность подъема или падения показателя в динамике. Если построить модель, описывающую это явление, то получается довольно простой и очень удобный инструмент для прогнозирования, не требующий каких-либо сложных вычислений и временных затрат на проверку значимости и адекватности влияющих факторов.
Линейная модель тренда — самая простая, интуитивно понятная и часто встречающаяся из всех существующих. Она описывает равномерное изменение показателя во времени. С линейным трендом справится каждый, достаточно лишь уметь пользоваться стандартными формулами Excel.
Уравнение линейного тренда имеет такой вид — y(x)=a+bx, где:
В данной статье рассмотрим разные способы расчета линейного тренда с помощью встроенных excel-функций. А также учтем индекс сезонности при расчете прогнозных значений.
Для наглядности предлагаю сразу перейти в Excel или в Google Spreadsheets, функционала которых, для данного метода, более, чем достаточно.
Способ 1. Расчет линейного тренда с помощью функции ЛИНЕЙН
Наиболее наглядный метод, чтобы разобраться в механике расчета.
Шаг 1. Представим исходные данные в виде простой таблицы
Справа добавим столбцы для расчета значения тренда и индекса сезонности, выбранного в качестве дополнительного фактора влияния.
Шаг 2. Рассчитываем значение линейного тренда — y(x)=a+bx
Найдем значения параметров а и b с помощью функции ЛИНЕЙН, где первый параметр функции — диапазон значений y, второй — диапазон значений x. В третий и четвертый параметры вносим 1 и 0 соответственно:
Примечание для тех, кто работает в Exсel: чтобы рассчитать сразу 2 коэффициента линейного тренда (a) и (b), необходимо установить курсор в ячейку с формулой, выделить соседнюю справа и нажать клавишу F2, а затем одновременно — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД. Google Таблицы справляются сами по умолчанию.
Шаг 3. Для каждого периода рассчитываем значение линейного тренда
В известное уравнение y(x)=a+bx подставляем рассчитанные коэффициенты:
Шаг 4. Определяем индекс сезонности для каждого месяца (отношение продаж месяца к средней величине)
Фактически, нужно каждый объем продаж за месяц разделить на средний объем продаж за год:
Мы подготовили все необходимые данные для составления прогноза.
Шаг 5. Создаем таблицу для прогнозных значений на следующий год и рассчитываем значения тренда для них
Последовательность нумерации периодов продолжаем:
Шаг 6. На основе полученных данных, составляем прогноз по продажам на следующий год с учетом сезонности
Способ 2. Быстрый расчет прогноза, с помощью функций ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗ
Если вам показалось, что расчет первым способ долгий, вы можете воспользоваться функциями ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗ, которые моментально рассчитают значения тренда для будущих периодов.
Примечание. С функцией ЛИНЕЙН мы познакомились не зря, дальше в этом убедитесь.
Шаг 1. Рассчитываем значения линейного тренда с помощью стандартной функции ТЕНДЕНЦИЯ
Примечание для тех, кто работает в Excel. Чтобы рассчитать значения тренда для всего временного диапазона, выделяем диапазон ячеек равный диапазону с новыми значениями X с формулой в первой ячейке и нажимаем клавишу F2, а затем — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД.
Шаг 2. Рассчитываем значения линейного тренда с помощью стандартной функции ПРЕДСКАЗ
В данном случае формулу необходимо протянуть на все периоды, для которых нужно рассчитать значение.
Как можно исправить прогнозные значения тренда?
Иногда возникает необходимость внести коррективы в прогнозные значения. Такое случается, например, если вас не устраивает прогнозируемый рост и при этом вы понимаете, что есть факторы, которые на него повлияют (рекламная кампания, расширение сети сбыта и т.п.).
Скорректировать будущие значения тренда — возможно. Сделать это достаточно просто, на основе расчета первым способом, — с помощью функции ЛИНЕЙН.
Мы можем влиять на параметры a и b линейного уравнения y = a + bx, тем самым изменяя значения:
Таким образом, мы можем изменять наклон и уровень тренда, как в отдельности, так и одновременно (подробнее в примере):
О линейном тренде
Автор: Алексей Батурин.
Из данного материалы вы узнаете, что важно знать о линейном тренде для прогнозирования :
Линейный тренд разложим на «запчасти»;
Как скорректировать значения линейного тренда и для чего;
Линейный тренд – это функция y=ax+b, где
Значение x – это номер периода во временном ряду (например, номер месяца, квартала, дня; См. статью о временных рядах.)
b – точка пересечения с осью y на графике (минимальный уровень);
a – это значение, на которое увеличивается следующее значение временного ряда;
Причем, если a>0, то динамика роста положительная,
по 28-й — y=53934*28+1784066 = 3294218
Получили прогнозные значения тренда с 15 по 28 месяца. Отношение прогноза к фактическим данным 1,34, т.е. прогнозируется рост на 34%.
Как мы можем скорректировать прогнозные значения тренда?
Если нас рост не устраивает, т.е. мы понимаем, что есть факторы, которые на него повлияют, мы можем скорректировать тренд.
Скорректируем значение рассчитанного нами выше тренда y=53934x+1784066 – ряд 1 на графике:
Если изменяем значение «a» линейного тренда y=ax+b, то увеличиваем наклон тренда (ряд 3 на графике);
Если изменяем значение «b» линейного тренда (Ряд 2), то тренд мы поднимаем параллельно ряду 1.
Т.е. мы можем изменять наклон тренда, изменять уровень тренда, и одновременно и уровень и наклон — ряд 4 (пример во вложении).
Теперь рассчитаем коэффициенты сезонности с помощью Forecast4AC PRO (лист «ForLin»). Умножим значения тренда на сезонность. Прогноз продаж готов! Также стоит учесть дополнительные факторы, кроме сезонности, которые влияют на объем продаж.
Точных вам прогнозов!
Присоединяйтесь к нам!
Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:
Тестируйте возможности платных решений:
Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.
5 способов расчета значений линейного тренда в MS Excel
Автор: Алексей Батурин.
Это первая статья из серии «Как самостоятельно рассчитать прогноз продаж с учетом роста и сезонности», из которой вы узнаете о 5 способах расчета значений линейного тренда в Excel.
Для того, чтобы легче было научиться прогнозировать продажи с учетом роста и сезонности, я разбил 1 большую статью о расчете прогноза на 3 части:
После изучения данного материала вы сможете выбрать оптимальный способ расчета значений линейного тренда, который будет удобен для решения вашей задачи, а в последствии, и для расчета прогноза наиболее удобным для вас способом.
Линейный тренд хорошо применять для временного ряда, данные которого увеличиваются или убывают с постоянной скоростью.
Рассмотрим линейный тренд на примере расчета прогноза продаж в Excel по месяцам.
Временной ряд продажи по месяцам (см. вложенный файл).
В этом временном ряду у нас есть 2 переменных:
Уравнение линейного тренда y(x)=a+bx, где
y — это объёмы продаж
x — номер периода (порядковый номер месяца)
a – точка пересечения с осью y на графике (минимальный уровень);
b – это значение, на которое увеличивается следующее значение временного ряда;
1-й способ расчета значений линейного тренда в Excel с помощью графика
Для прогнозирования нам необходимо рассчитать значения линейного тренда, как для анализируемых значений, так и для будущих периодов.
При расчете значений линейного тренде нам будут известны:
Рассчитываем значения тренда для каждого периода времени от 1 до 25, а также для будущих периодов с 26 месяца до 36.
Например, для 26 месяца значение тренда рассчитывается по следующей схеме: в уравнение подставляем x=26 и получаем y=135134*26+4594044=8107551
27-го y=135134*27+4594044=8242686
2-й способ расчета значений линейного тренда в Excel — функция ЛИНЕЙН
1. Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel:
=ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика)
Для расчета коэффициентов в формулу вводим
известные значения y (объёмы продаж за периоды),
известные значения x (номера периодов),
вместо константы ставим 1,
вместо статистики 0,
Для того чтобы Excel рассчитал сразу 2 коэффициента (a) и (b) линейного тренда y=a+bx, необходимо
2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также быстрее.
3-й способ расчета значений линейного тренда в Excel — функция ТЕНДЕНЦИЯ
Рассчитаем значения линейного тренда с помощью стандартной функции Excel:
=ТЕНДЕНЦИЯ(известные значения y; известные значения x; новые значения x; конста)
Подставляем в формулу
Для того чтобы рассчитать значения тренда для всего временного диапазона, в «новые значения x» вводим диапазон значений X, выделяем диапазон ячеек равный диапазону со значениями X с формулой в первой ячейке и нажимаем клавишу F2, а затем — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД.
4-й способ расчета значений линейного тренда в Excel — функция ПРЕДСКАЗ
Рассчитаем значения линейного тренда с помощью стандартной функции Excel:
=ПРЕДСКАЗ(x; известные значения y; известные значения x)
Вместо X поставляем номер периода, для которого рассчитываем значение тренда.
3-й и 4-й способ расчета значений линейного тренда быстрее, чем 1 и 2-й, однако с его помощью невозможно управлять коэффициентами тренда, как описано в статье «О линейном тренде».
5-й способ расчета значений линейного тренда в Excel — Forecast4AC PRO
2. Заходим в меню программы и нажимаем «Start_Forecast». Значения линейного тренда рассчитаны.
Для расчета прогноза осталось применить к значениям трендов будущих периодов коэффициенты сезонности, и прогноз продаж с учетом роста и сезонности готов.
В следующих статье «Как самостоятельно сделать прогноз продаж с учетом роста и сезонности» мы:
О том, что еще важно знать о линейном тренде, вы можете узнать в статье «Что важно знать о линейном тренде».
Точных вам прогнозов!
Присоединяйтесь к нам!
Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:
Тестируйте возможности платных решений:
Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.
Archie Goodwin
Авторизация
Рубрики блога
Рекомендуем
Последние комментарии
Облако тегов
Устами великих
Реклама
Что такое тренд, тенденция?
Тренд как модель
Если же построить модель, описывающую это явление, то получается довольно простой и очень удобный инструмент для прогнозирования не требующий каких-либо сложных вычислений или временных затрат на проверку значимости или адекватности влияющих факторов.
Итак, что же собой представляет тренд как модель? Это совокупность расчетных коэффициентов уравнения, которые выражают регрессионную зависимость показателя (Y) от изменения времени (t). То есть, это точно такая же регрессия, как и те, что мы рассматривали ранее, только влияющим фактором здесь выступает именно показатель времени.
Важно!
В расчетах под t обычно подразумевается не год, номер месяца или недели, а именно порядковый номер периода в изучаемой статистической совокупности – динамическом ряде. К примеру, если динамический ряд изучается за несколько лет, а данные фиксировались ежемесячно, то использовать обнуляющуюся нумерацию месяцев, с 1 по 12 и опять сначала, в корне неверно. Также неверно в случае, если изучение ряда начинается, к примеру, с марта месяца в качестве значения t использовать 3 (третий месяц в году), если это первое значение в изучаемой совокупности, то его порядковый номер должен быть 1.
Модель линейного тренда
Как и любая другая регрессия, тренд может быть как линейным (степень влияющего фактора t равна 1) так и нелинейным (степень больше или меньше единицы). Так как линейная регрессия является самой простейшей, хотя далеко не всегда самой точной, то рассмотрим более детально именно этот тип тренда.
Общий вид уравнения линейного тренда:
Где a0 – это нулевой коэффициент регрессии, то есть, то каким будет Y в случае, если влияющий фактор будет равен нулю, a1 – коэффициент регрессии, который выражает степень зависимости исследуемого показателя Y от влияющего фактора t, Ɛ – случайная компонента или стандартная ошибка, по сути являет собой разницу между реально существующими значениями Y и расчетными. t – это единственный влияющий фактор – время.
Чем более выраженная тенденция роста показателя или его падения, тем будет больше коэффициент a1. Соответственно, предполагается, что константа a0 совместно со случайной компонентой Ɛ отражают остальные регрессионные влияния, помимо времени, то есть всех прочих возможных влияющих факторов.
Рассчитать коэффициенты модели можно стандартным Методом наименьших квадратов (МНК). Со всеми этими расчетами Microsoft Excel справляется на ура самостоятельно, при чем, чтобы получить модель линейного тренда либо готовый прогноз существует целых пять способов, которые мы по отдельности разберем ниже.
Графический способ получения линейного тренда
В этом и во всех дальнейших примерах будем использовать один и тот же динамический ряд – уровень ВВП, который вычисляется и фиксируется ежегодно, в нашем случае исследование будет проходить на периоде с 2004-го по 2012-й гг.
Добавим к исходным данным еще один столбец, который назовем t и пометим цифрами по возрастающей порядковые номера всех зафиксированных значений ВВП за указанный период с 2004-го по 2012-й гг. – 9 лет или 9 периодов.
Далее на основе этих исходных данных построим точечную диаграмму: вкладка в меню – Вставка, подраздел Диаграммы – Точечная, Точечная с гладкими кривыми маркерами.
Эксель добавит пустое поле – разметку под будущий график, выделяем этот график и активируем появившуюся вкладку в панели меню – Конструктор, ищем кнопку Выбрать данные, в отрывшемся окне жмем кнопочку Добавить. Всплывшее окошко предложит выбрать данные для построения диаграммы. В качестве значения поля Имя ряда выбираем ячейку, которая содержит текст, наиболее полно отвечающий названию графика. В поле Значения X указываем интервал ячеек стобца t – влияющего фактора. В поле Значения Y указываем интервал ячеек столбца с известными значениями ВВП (Y) – исследуемого показателя.
Заполнив указанные поля, несколько раз нажимаем кнопку ОК и получаем готовый график динамики. Теперь выделяем правой кнопкой мыши саму линию графика и из появившегося контекстного меню выбираем пункт Добавить линию тренда
Собственно это все, что касается этого способа, можно конечно добавить, что отображаемое уравнение линейного тренда это и есть непосредственно сама модель, которую можно использовать, в качестве формулы, чтобы получить расчетные значения по модели и соответственно точные значения прогноза (прогноз отображаемый на графике, оценить можно лишь приблизительно), что мы и сделали в приложенному к статье примере.
Построение линейного тренда с помощью формулы ЛИНЕЙН
Суть этого метода сводится к поиску коэффициентов линейного тренда с помощью функции ЛИНЕЙН, затем, подставляя эти влияющие коэффициенты в уравнение, получим прогнозную модель.
Чтобы получить расчетные значения Y по модели и, соответственно, чтобы получить прогноз, нужно просто подставить формулу в ячейку экселя, а вместо t указать ссылку на ячейку с требуемым номером периода (смотрите на скриншоте ячейку D25).
Для сравнения полученной модели с реальными данными, можно построить два графика, где в качестве Х указать порядковый номер периода, а в качестве Y в одном случае – реальный ВВП, а, в другом – расчетный (на скриншоте диаграмма справа).
Построение линейного тренда с помощью инструмента Регрессия в Пакете анализа
В статье Линейная регрессия в Excel через Анализ данных, по сути, полностью описан этот метод, единственная же разница в том, что в наших исходных данных только один влияющий фактор Х (номер периода – t).
Как видно на рисунке выше, диапазон данных с известными значениями ВВП выделен как входной интервал Y, а соответствующий ему диапазон с номерами периодов t – как входной интервал Х. Итоги расчетов Пакетом анализа выносятся на отдельный лист и выглядит как набор таблиц (см. рисунок ниже) на котором нас интересуют ячейки, которые были закрашены мною в желтый и зеленый цвета. По аналогии с порядком, расписанным в указанной выше статье, из полученных коэффициентов собирается модель линейного тренда y=169 572,2+138 454,3*t, на основе которой и делаются прогнозы.
Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ТЕНДЕНЦИЯ
Этот метод отличается от предыдущих тем, что он пропускает необходимые ранее этапы расчета параметров модели и подстановки полученных коэффициентов вручную в качестве формулы в ячейку, чтобы получить прогноз, эта функция как раз и выдает уже готовое рассчитанное прогнозное значение на основе известных исходных данных.
В целевую ячейку (ту ячейку, где хотим видеть результат) ставим знак равно и вызываем волшебную функцию, прописав «ТЕНДЕНЦИЯ(», далее необходимо выделить диапазон известных значений Y, то есть столбец с известными значениями ВВП, после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х, то есть с номерами периодов t, которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП, опять ставим точку с запятой и выделяем ячейку с номером периода, для которого мы делаем прогноз (правда, в нашем случае, номер периода можно указать не ссылкой на ячейку, а просто цифрой прямо в формуле), далее ставим еще одну точку с запятой и указываем ИСТИНА или 1, в качестве подтверждения для расчета коэффициента a0, наконец, ставим закрывающую скобочку и нажимаем клавишу Enter.
Минус данного метода в том, что он не показывает ни уравнения модели, ни его коэффициентов, из-за чего нельзя сказать, что на основе такой-то модели мы получили такой-то прогноз, также как и нет какого-либо отражения параметров качества модели, того таки коэффициента детерминации, по которому можно было бы сказать имеет ли смысл брать во внимание полученный прогноз или нет.
Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ПРЕДСКАЗ
Суть данной функции целиком и полностью идентична предыдущей, разница лишь в порядке прописывания исходных данных в формуле и в том, что нет настройки для наличия или отсутствия коэффициента a0 (то есть функция подразумевает, что этот коэффициент, в любом случае, есть)
Как видно с рисунка выше, в целевую ячейку прописываем «=ПРЕДСКАЗ(» и затем указываем ячейку с номером периода, для которого необходимо просчитать значение по линейному тренду, то есть прогноз, после ставим точку с запятой, далее выделяем диапазон известных значений Y, то есть столбец с известными значениями ВВП, после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х, то есть с номерами периодов t, которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП и, наконец, ставим закрывающую скобочку и жмем клавишу Enter.
Полученные результаты, как и в методе выше, это лишь готовый результат расчета прогнозного значения по линейной трендовой модели, он не выдает ни погрешностей, ни самой модели в математическом выражении.
Подводя итог к статье
Можно сказать, что каждый из методов может быть наиболее приемлемым среди прочих в зависимости от текущей цели, которую мы ставим перед собой. Первые три метода пересекаются между собой как по смыслу, так и по результату, и годятся для любой более или менее серьезной работы, где необходимо описание модели и ее качества. В свою очередь, последние два метода также идентичны между собой и максимально быстро вам дадут ответ, например, на вопрос: «Какой прогноз продаж на следующий год?».
Анализ временных рядов, тренд ряда динамики, точечная оценка прогноза
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Анализ временных рядов
Временной ряд (или ряд динамики) – это упорядоченная по времени последовательность значений некоторой произвольной переменной величины. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом (уровнем элементов) временного ряда.
Временные ряды состоят из двух элементов:
Временные ряды классифицируются по следующим признакам:
Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).
Анализ временных рядов – совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.
Прогноз, характеристики и параметры прогнозирования
Прогноз (от греч. 
– предвидение, предсказание) – предсказание будущего с помощью научных методов, а также сам результат предсказания. Прогноз – это научная модель будущего события, явлений и т.п.
Прогнозирование, разработка прогноза; в узком значении – специальное научное исследование конкретных перспектив развития какого-либо процесса.
К основным методам прогнозирования относятся:
Прогноз – обоснованное суждение о возможном состоянии объекта в будущем или альтернативных путях и сроках достижения этих состояний. Прогнозирование – процесс разработки прогноза. Этап прогнозирования – часть процесса разработки прогнозов, характеризующаяся своими задачами, методами и результатами. Деление на этапы связано со спецификой построения систематизированного описания объекта прогнозирования, сбора данных, с построением модели, верификацией прогноза.
Прием прогнозирования – одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата в процессе разработки прогноза. В качестве приема могут выступать сглаживание динамического ряда, определение компетентности эксперта, вычисление средневзвешенного значения оценок экспертов и т. д.
Модель прогнозирования – модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта прогнозирования в будущем и (или) путях и сроках их осуществления.
Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. Методы прогнозирования являются основанием для методик прогнозирования.
Методика прогнозирования – совокупность специальных правил и приемов (одного или нескольких методов) разработки прогнозов.
Прогнозирующая система – система методов и средств их реализации, функционирующая в соответствии с основными принципами прогнозирования. Средствами реализации являются экспертная группа, совокупность программ и т. д. Прогнозирующие системы могут быть автоматизированными и неавтоматизированными.
Прогнозный вариант – один из прогнозов, составляющих группу возможных прогнозов.
Объект прогнозирования – процесс, система, или явление, о состоянии которого даётся прогноз.
Характеристика объекта прогнозирования – качественное или количественное отражение какого-либо свойства объекта прогнозирования.
Переменная объекта прогнозирования – количественная характеристика объекта прогнозирования, которая является или принимается за изменяемую в течение периода основания и (или) периода упреждения прогноза.
Период основания прогноза – промежуток времени, за который используют информацию для разработки прогноза. Этот промежуток времени называют также периодом предыстории.
Период упреждения прогноза – промежуток времени, на который разрабатывается прогноз.
Прогнозный горизонт – максимально возможный период упреждения прогноза заданной точности.
Точность прогноза – оценка доверительного интервала прогноза для заданной вероятности его осуществления.
Достоверность прогноза – оценка вероятности осуществления прогноза для заданного доверительного интервала.
Ошибка прогноза – апостериорная величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта.
Источник ошибки прогноза – фактор, способный привести к появлению ошибки прогноза. Различают источники регулярных и нерегулярных ошибок.
Верификация прогноза – оценка достоверности и точности или обоснованности прогноза.
Статистические методы прогнозирования – научная и учебная дисциплина, к основным задачам которой относятся разработка, изучение и применение современных математико-статистических методов прогнозирования на основе объективных данных; развитие теории и практики вероятностно-статистического моделирования экспертных методов прогнозирования; методов прогнозирования в условиях риска и комбинированных методов прогнозирования с использованием совместно экономико-математических и эконометрических (как математико-статистических, так и экспертных) моделей. Научной базой статистических методов прогнозирования является прикладная статистика и теория принятия решений.
Простейшие методы восстановления используемых для прогнозирования зависимостей исходят из заданного временного ряда, т. е. функции, определённой в конечном числе точек на оси времени. Временной ряд при этом часто рассматривается в рамках той или иной вероятностной модели, вводятся другие факторы (независимые переменные), помимо времени, например, объем денежной массы. Временной ряд может быть многомерным. Основные решаемые задачи – интерполяция и экстраполяция. Метод наименьших квадратов в простейшем случае (линейная функция от одного фактора) был разработан К. Гауссом в 1794–1795 гг. Могут оказаться полезными предварительные преобразования переменных, например, логарифмирование. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов при нескольких факторах.
Оценивание точности прогноза (в частности, с помощью доверительных интервалов) – необходимая часть процедуры прогнозирования. Обычно используют вероятностно-статистические модели восстановления зависимости, например, строят наилучший прогноз по методу максимального правдоподобия. Разработаны параметрические (обычно на основе модели нормальных ошибок) и непараметрические оценки точности прогноза и доверительные границы для него (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей). Применяются также эвристические приемы, не основанные на вероятностно-статистической теории: метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания.
Многомерная регрессия, в том числе с использованием непараметрических оценок плотности распределения – основной на настоящий момент статистический аппарат прогнозирования. Нереалистическое предположение о нормальности погрешностей измерений и отклонений от линии (поверхности) регрессии использовать не обязательно; однако для отказа от предположения нормальности необходимо опереться на иной математический аппарат, основанный на многомерной Центральной Предельной Теореме теории вероятностей, технологии линеаризации и наследования сходимости. Он позволяет проводить точечное и интервальное оценивание параметров, проверять значимость их отличия от 0 в непараметрической постановке, строить доверительные границы для прогноза.
Уравнение тренда временного ряда
Рассматривая временной ряд как множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени, в качестве основных целей исследования временных рядов можно выделить: выявление и анализ характерного изменения параметра у, оценка возможного изменения параметра в будущем (прогноз).
Значения временного ряда можно представить в виде: 
, где f (t) – неслучайная функция, описывающая связь оценки математического ожидания со временем, 
– случайная величина, характеризующая отклонение уровня от f(t ).
Неслучайная функция f (t) называется трендом. Тренд отражает характерное изменение (тенденцию) yt за некоторый промежуток времени. На практике в качестве тренда выбирают несколько возможных теоретических или эмпирических моделей. Могут быть выбраны, например, линейная, параболическая, логарифмическая, показательная функции. Для выявления типа модели на координатную плоскость наносят точки с координатами ( t, yt ) и по характеру расположения точек делают вывод о виде уравнения тренда. Для получения уравнения тренда применяют различные методы: сглаживание с помощью скользящей средней, метод наименьших квадратов и другие.
Уравнение тренда линейного вида будем искать в виде yt=f(t ), где f (t) = a0+a1(t ).
Пример 1. Имеется временной ряд:
где n – количество значений временного ряда.
Полученная система может быть преобразована (математически) в систему так называемых нормальных уравнений. При этом уравнения примут вид:
Теперь необходимо решить преобразованную систему уравнений относительно а0 и а1. Однако предварительно следует составить и заполнить вспомогательную таблицу:
| t | t 2 | хt | хtt |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 1 | 2 |
| 3 | 9 | 4 | 12 |
| 4 | 16 | 4 | 16 |
| 5 | 25 | 6 | 30 |
| 6 | 36 | 8 | 48 |
| 7 | 49 | 7 | 49 |
| 8 | 64 | 9 | 72 |
| 9 | 81 | 12 | 108 |
| 10 | 100 | 11 | 110 |
 |  |  |  |
Подставив значения n = 10 в систему уравнений (2), получим
Изобразим полученную функцию на графике.
Временной ряд приведен в таблице. Используя средства MS Excel :
1. Реализация аспирина по аптеке (у.е.) за последние 7 недель приведена в таблице:
2. Динамика потребления молочных продуктов (у.е.) по району за последние 7 месяцев:
3. Динамика числа работников, занятых в одной из торговых сетей города за последние 8 лет приведена в таблице:
4. Динамика потребления сульфаниламидных препаратов в клинике по годам (тыс. упаковок):
5. Динамика продаж однокомнатных квартир в городе за последние 8 лет (тыс. ед.):
6. Динамика потребления антибиотиков в клинике (тыс. упаковок):
7. Динамика производства хлебобулочных изделий на хлебозаводе (тонн):
8. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в начале эпидемии гриппа (тыс. единиц):
9. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в конце эпидемии гриппа (тыс. единиц):
10. Динамика потребления витаминов по аптечной сети в весенний период (с марта по апрель) в разные годы (у.е.):
Пример 2. Используя данные примера 1, приведенного выше, вычислить точечный прогноз исходного временного ряда на 5 шагов вперед.
Исходя из условия задачи, необходимо определить точечную оценку прогноза для t = 11, 12, 13, 14, 15, где t в данном случае – шаг упреждения.
Щелкнув правой кнопкой мыши по линии тренда, вызвать контекстное меню, выбрать «Формат линии тренда», в окне Параметры линии тренда указать прогноз на 5 периодов и поставить флажок в окошке «Показывать уравнение на диаграмме (рис. 14.3 рис. 14.3.). В версии Excel ранее 2007 окно диалога представлено на рисунке 14.4 рис. 14.4.
Итоговый график представлен на рисунке 14.5 рис. 14.5.
Значения прогноза для 11, 12, 13, 14 и 15 уровней получим, используя функцию ПРЕДСКАЗ( ). Данная функция позволяет получить значения прогноза линейного тренда. Вычисленные значения: 12,87, 14,04, 15,22, 16,39, 17,57.
Значения точечного прогноза для исходного временного ряда на 5 шагов вперед можно вычислить и с помощью уравнения функции тренда f(t ), найденного по методу наименьших квадратов. Для этого в полученное для f (t) выражение необходимо подставить значения t = 11, 12, 13, 14, 15. В результате получим (эти значения следует рассчитать, сформировав формулу в табличном процессоре MS Excel ):
Сравнивая результаты точечных прогнозных оценок, полученных разными способами, выявляем, что данные отличаются незначительно, таким образом, в любом из способов расчета присутствует определенная погрешность (ошибка) прогноза ().
Используя значения временного ряда Задания 1 согласно вашего варианта, вычислить точечный прогноз на 4 шага вперед. Продлить линию тренда на 4 прогнозных значения, вывести уравнение тренда, определить эти значения с помощью функции ПРЕДСКАЗ() или ТЕНДЕНЦИЯ(), а также по выражению функции тренда f(t ), полученному по методу наименьших квадратов в Задании 1. Сравнить полученные результаты.