Что такое линейное подпространство

Одномерные подпространства в двумерном векторном пространстве над конечное поле F5. В источник (0, 0), отмеченная зелеными кружками, принадлежит любому из шести 1-подпространств, а каждая из 24 оставшихся точек принадлежит ровно одному; свойство, которое выполняется для 1-подпространств над любым полем и во всех размеры. Все F5 2 (т.е. квадрат 5 × 5) изображается четыре раза для лучшей визуализации

В математика, а точнее в линейная алгебра, а линейное подпространство, также известный как векторное подпространство [1] [2] это векторное пространство это подмножество некоторого большего векторного пространства. Линейное подпространство обычно называют просто подпространство, когда контекст служит для отличия его от других типов подпространств.

Содержание

Определение

Как следствие, все векторные пространства снабжены как минимум двумя подпространствами: одноэлементный набор с нулевой вектор и само векторное пространство. Они называются тривиальные подпространства векторного пространства. [8]

Примеры

Пример I

Пример II

В общем, любое подмножество реального координатного пространства р п который определяется системой однородных линейные уравнения даст подпространство. (Уравнение в примере I было z = 0, а уравнение в примере II было Икс = у.) Геометрически эти подпространства представляют собой точки, линии, плоскости и пространства, проходящие через точку 0.

Пример III.

Пример IV.

Сохраните те же поле и векторное пространство, что и раньше, но теперь рассмотрите набор Diff (р) из всех дифференцируемые функцииТе же аргументы, что и раньше, показывают, что это тоже подпространство.

Примеры, расширяющие эти темы, распространены в функциональный анализ.

Свойства подпространств

Из определения векторных пространств следует, что подпространства непусты и являются закрыто под суммами и под скалярными кратными. [9] Эквивалентно подпространства можно охарактеризовать свойством замкнутости относительно линейных комбинаций. То есть непустой набор W является подпространством если и только если каждая линейная комбинация конечно многие элементы W также принадлежит WЭквивалентное определение утверждает, что это также эквивалентно одновременному рассмотрению линейных комбинаций двух элементов.

В топологическое векторное пространство Икс, подпространство W не обязательно топологически закрыто, но конечномерный подпространство всегда закрыто. [10] То же верно и для подпространств конечных коразмерность (т.е. подпространства, определяемые конечным числом непрерывных линейные функционалы).

Описания

Естественным описанием 1-подпространства является скалярное умножение одного не-нуль вектор v ко всем возможным скалярным значениям. 1-подпространства, заданные двумя векторами, равны тогда и только тогда, когда один вектор может быть получен из другого скалярным умножением:

Эта идея обобщается для более высоких измерений с линейный пролет, но критерии для равенство из k-пространства, заданные наборами k векторы не так просты.

А двойной описание предоставляется с линейные функционалы (обычно реализуется в виде линейных уравнений). Один не-нуль линейный функционал F указывает его ядро подпространство F = 0 коразмерности 1. Подпространства коразмерности 1, заданные двумя линейными функционалами, равны, если и только если один функционал может быть получен из другого скалярным умножением (в двойное пространство):

Он обобщен для более высоких коразмерностей с система уравнений. В следующих двух подразделах это последнее описание будет подробно представлено, и остальные четыре подраздела дополнительно описывают идею линейной оболочки.

Системы линейных уравнений

Например, множество всех векторов (Икс, у, z) (над реальным или рациональное число), удовлетворяющие уравнениям

Икс + 3 у + 2 z = 0 и 2 Икс − 4 у + 5 z = 0 < displaystyle x + 3y + 2z = 0 ; ; ; ; < text > ; ; ; ; 2x-4y + 5z = 0>

— одномерное подпространство. В более общем смысле, то есть при наличии набора п независимых функций, размерность подпространства в K k будет размер нулевой набор из А, составная матрица п функции.

Нулевое пространство матрицы

В конечномерном пространстве однородную систему линейных уравнений можно записать как одно матричное уравнение:

Набор решений этого уравнения известен как пустое пространство матрицы. Например, описанное выше подпространство является пустым пространством матрицы

Каждое подпространство K п можно описать как нулевое пространство некоторой матрицы (см. § Алгоритмыниже для получения дополнительной информации).

Линейные параметрические уравнения

Подмножество K п описывается системой однородных линейных параметрические уравнения является подпространством:

Например, множество всех векторов (Икс, у, z) параметризованные уравнениями

Размах векторов

В линейной алгебре систему параметрических уравнений можно записать как одно векторное уравнение:

Выражение справа называется линейной комбинацией векторов (2, 5, −1) и (3, −4, 2). Эти два вектора называются охватывать получившееся подпространство.

Множество всевозможных линейных комбинаций называется охватывать:

Пространство столбца и пространство строки

Система линейных параметрических уравнений в конечномерном пространстве также может быть записана как одно матричное уравнение:

В этом случае подпространство состоит из всех возможных значений вектора Икс. В линейной алгебре это подпространство известно как пространство столбцов (или изображение) матрицы А. Это в точности подпространство K п натянутые на вектор-столбцы А.

Независимость, основа и измерение

А основа для подпространства S представляет собой набор линейно независимых векторов, длина которых равна S. Количество элементов в базисе всегда равно геометрической размерности подпространства. Любой остовный набор для подпространства можно превратить в базис, удалив избыточные векторы (см. § Алгоритмы ниже для получения дополнительной информации).

Операции и отношения на подпространствах

Включение

В теоретико-множественное включение бинарное отношение определяет частичный заказ на множестве всех подпространств (любой размерности).

Подпространство не может лежать ни в каком подпространстве меньшей размерности. Если тусклыйU = k, конечное число и U ⊂ W, затем тусклыйW = k если и только если U = W.

Пересечение

Данные подпространства U и W векторного пространства V, то их пересечение U ∩ W := <v ∈ V : v является элементом обоих U иW> также является подпространством V. [13]

Для каждого векторного пространства V, то набор <0> и V сами являются подпространствами V. [14] [8]

Сумма

Если U и W подпространства, их сумма подпространство

Решетка подпространств

Ортогональные дополнения

Эта операция, понимаемая как отрицание (¬), делает решетку подпространств a (возможно бесконечный) ортодополненная решетка (хотя и не дистрибутивная решетка). [ нужна цитата ]

В пространствах с другими билинейные формы, некоторые, но не все из этих результатов все еще верны. В псевдоевклидовы пространства и симплектические векторные пространства, например, существуют ортогональные дополнения. Однако эти пробелы могут иметь нулевые векторы которые ортогональны себе, и, следовательно, существуют подпространства N такой, что N ∩ N ⊥ ≠ < 0 > < Displaystyle N cap N ^ < bot>neq <0 >> . В результате эта операция не превращает решетку подпространств в булеву алгебру (или Алгебра Гейтинга). [ нужна цитата ]

Алгоритмы

Большинство алгоритмов работы с подпространствами включают сокращение ряда. Это процесс применения элементарные операции со строками в матрицу, пока не достигнет форма эшелона строки или же сокращенная форма эшелона строки. Уменьшение строк имеет следующие важные свойства:

Основа для междурядья

Если вместо этого поставить матрицу А в сокращенную форму эшелона строк, то итоговая основа для пространства строк определяется однозначно. Это обеспечивает алгоритм проверки того, равны ли два пространства строк и, соответственно, два подпространства K п равны.

Членство в подпространстве

Основа для колонного пространства

См. Статью о пространстве столбцов для пример.

Это создает основу для пространства столбцов, которая является подмножеством исходных векторов столбцов. Это работает, потому что столбцы со сводными точками являются основой для пространства столбцов формы эшелона, а сокращение строк не меняет отношения линейной зависимости между столбцами.

Координаты вектора

Если последний столбец сокращенной формы эшелона строк содержит точку поворота, то входной вектор v не лежит в S.

Основа для нулевого пространства

См. Статью о пустом пространстве для пример.

Базис для суммы и пересечения двух подпространств

Источник

Подпространство линейного пространства

Определение и размерность подпространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

Так как , и L∩M= 0, то и . Следовательно и . ■

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.

Линейное пространство

Определения

Примеры линейных пространств

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.

Изоморфизм

Линейная зависимость, базис, координаты

Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)

Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.

б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.

Теорема 4. Системы векторов

Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем

Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением

Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)

Пример. Найти базис подпространства

Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.

Найти координаты полинома

Критерии линейной зависимости

Относительный базис

Сумма и пересечение линейных подпространств

Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.

Теорема. Имеет место формула:

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде:

Теорема. Имеет место формула:

Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Прямая сумма линейных подпространств

Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств

Линейные многообразия

Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.

Источник

Линейные пространства: определение и примеры

Аксиомы линейного пространства

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

6. В выражениях вида (сумма конечного числа векторов) или (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.

5. Обозначим — множество матриц размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество является линейным пространством.

Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведение определяются равенствами:

Источник