Что такое линейное дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Что такое линейное дифференциальное уравнение
Использование интегрирующего множителя;
Метод вариации постоянной.
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме: \[y’ + a\left( x \right)y = f\left( x \right),\] то интегрирующий множитель определяется формулой: \[u\left( x \right) = \exp \left( <\int
Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде: \[y = \frac <<\int
Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения : \[y’ + a\left( x \right)y = 0.\] Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования \(C.\) Далее мы заменяем константу \(C\) на некоторую (пока еще неизвестную) функцию \(C\left( x \right).\) Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию \(C\left( x \right).\)
Решение задачи Коши не содержит произвольной константы \(C.\) Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие \(y\left( <
Теперь заменим константу \(C\) на некоторую (пока неизвестную) функцию \(C\left( x \right)\) и далее будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде: \[y = C\left( x \right)x.\] Производная равна \[y’ = <\left[
Таким образом, общее решение заданного уравнения записывается в виде: \[y = C\left( x \right)x = \left( <
Виды дифференциальных уравнений
Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.
В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.
Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.
Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.
Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».
Дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )
Начнем с примеров таких уравнений.
Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )
Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x
К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:
В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.
Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )
Приведем примеры таких уравнений.
Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a
Приведем примеры подобных уравнений.
К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:
Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.
Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».
Дифференциальные уравнения второго порядка
Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:
исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y
Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:
Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y
частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y
нам поможет метод вариации произвольных постоянных.
Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».
Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y
целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.
Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».
Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y
Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».
Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2
Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.
Линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 
и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка 
.
Частным случаем дифференциальных уравнений (ДУ) такого типа называют линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения на отрезке [a;b] представляет собой линейную комбинацию 2х линейно независимых частных решений y1 и y2 нашего уравнения, т.е.:
.
Самое сложное заключается в определении линейно независимых частных решений ДУ такого типа. Зачастую, частные решения выбирают из таких систем линейно независимых функций:
Но достаточно редко частные решения представляются именно так.
Примером линейного однородного дифференциального уравнения можно назвать 
.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения определяется как 
,
где y0 является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,
а 
является частным решением исходного ДУ. Метод определения y0 мы сейчас обсудили, а вычисляют, используя метод вариации произвольных постоянных.
Как пример линейного неоднородного дифференциального уравнения приводим 
.
Познакомиться ближе с теорией и просмотреть примеры решений можете здесь: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать как функцию от :
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем
По определению, в соответственных точках является постоянным, а переменным. Беря любые две касательные к линиям в соответственных точках, для координат точки их пересечения, получаем
Отсюда видно, что все касательные к кривым в соответственных точках ( фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид
С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Решение. Делим обе части уравнения на :
Для нахождения функции получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем
Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.
В некоторых уравнениях искомая функция может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.
Пример 10. Решить уравнение 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.