Что такое линейная комбинация строк

22.09.202327.09.2023 admin 0 Comments

Линейная комбинация строк/столбцов матрицы

Свойства матрицы

A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:

1. Перестановка двух строк (столбцов) матрицы; транспорирование

2. Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

3. Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой её строки (столбца), умноженной на любое число

4. Отбрасывание нулевой строки.

Транспонирование
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. A = (a_ij), то A T = (a_ji).

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимойподсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор . Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

Получаем

Обратная матрица
Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
AA -1 = A -1 A = E
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

C * (союзная, взаимная, присоединённая) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Ранг матрицы
Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.
Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.(см. свойства матрицы) С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к ступенчатому виду, число ненулевых строк указывает на ранг матрицы. Ранг матрицы не превышает кол-во столбцов

Линейная комбинация строк/столбцов матрицы

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу).В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевымопределителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Источник

Линейно зависимые и независимые строки.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

Найдем при каких значениях α ₁, α ₂ эта линейная комбинация равна нулевой строке

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

	2 α ₁ + 4 α ₂ = 0
	5 α ₁ + 10 α ₂ = 0

Разделим первое уравнение на 2, а второе уравнение на 5:

	α ₁ + 2 α ₂ = 0
	α ₁ + 2 α ₂ = 0

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

Найдем при каких значениях α ₁, α ₂ эта линейная комбинация равна нулевой строке

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

	2 α ₁ + 4 α ₂ = 0
	5 α ₁ + 10 α ₂ = 0
	α ₁ + 0 α ₂ = 0

Из 3-тего уравнения получаем α ₁ = 0, подставим это значение в 1-ое и 2-ое уравнения:

Так как линейная комбинация строк равна нулю только когда α ₁ = 0 и α ₂ = 0, то строки линейно независимые.

Источник

Линейно зависимые и независимые строки: определение, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация строк, линейно зависимые и независимые строки. Также приведем примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Определение линейной комбинации строк

Линейной комбинацией (ЛК) строк s₁, s₂, …, s_n матрицы A называется выражение следующего вида:

Если все коэффициенты α_i равны нулю, значит ЛК является тривиальной. Другими словами, тривиальная линейная комбинация равняется нулевой строке.

Соответственно, если хотя бы один из коэффициентов α_i не равен нулю, то ЛК является нетривиальной.

Линейно зависимые и независимые строки

Система строк является линейно зависимой (ЛЗ), если есть их нетривиальная линейная комбинация, которая равна нулевой строке.

Отсюда следует, что нетривиальная ЛК в некоторых случаях может равняться нулевой строке.

Система строк является линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равняется нулевой строке.

Примечания:

Пример задачи

Давайте выясним, является ли система строк линейно зависимой.

1. Для начала составим ЛК.

3. Составим систему уравнений:

4. Первой уравнение разделим на три, второе – на четыре:

Ответ: таким образом, строки s₁ и s₂ линейно зависимы.

Источник

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

Столбец называется линейной комбинацией столбцов одинаковых размеров, если

Если столбцы в (3.1) имеют вид

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства

Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.

Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов

2) Столбцы линейно независимы, так как равенство

Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

4. Система из 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAiXFYMbEhAcBBoPDQoeAQ0I3cqgAAALZJREFUKM+VktsSwyAIRDWKiFf+/2uLSZvEhkxaXnTGs7KsGvN3UYrwC+ffa3D8zCMlxo+QlyfcNmg7v7A/t7VBux/jzkOe54lJURw8ZrHvop0UdM8P+3axGc89aqQ7XuxbjzybMkEUqPLAIPP6/u0g1OYUHnMpTQs02KLxq/0p0Y1O0al+RvqOCcv51CeZF1UeJBjhacoT6PJehTd9k/R7gdgPul7ei3itcWeYPp/sqv4fRhnzAuOaBpbDogV3AAAAAElFTkSuQmCC» /> столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов линейно зависима, то существуют числа не все равные 0, что

Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.

Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:

– каждая из четырех систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– система линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): ;

– каждая из пяти систем и линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).

Рассмотрим системы, содержащие три столбца:

– каждая из шести систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– системы линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему (свойство 6);

– системы и линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): и соответственно.

Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).

Источник

Линейная комбинации строк или столбцов матриц

Дата добавления: 2015-08-31 ; просмотров: 18657 ; Нарушение авторских прав

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. В дальнейшем будем излагать материал для строк, для столбцов изложение аналогично.

В матрице A обозначим ее строки следующим образом:

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: , если , .

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Строка е называется линейной комбинацией строк . матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

, (3.2)

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

, =(0,0. 0). (3.3)

Теорема 3.3 Строки матрицы линейно зависимы, если хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

□ Действительно, пусть для определенности в формуле (3.3) , тогда

Таким образом, строка является линейной комбинат остальных строк. ■

Если линейная комбинация строк (3.3) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то строки называются линейно независимыми.

Теорема 3.4.(о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

□ Пусть матрица A размера m n имеет ранг r (r min ). Это означает, что существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий ненулевой минор r-го порядка будем называть базисным минором.