Что такое квадратный трехчлен

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – это многочлен вида \(ax^2+bx+c\) (\(a≠0\)).

Примеры не квадратных трехчленов:

Корень квадратного трехчлена:

Значение переменной \(x\), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.

Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).

Готово. Корень равен \(1\).

Разложение квадратного трёхчлена на множители:

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.

Например, у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)

Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).

Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac<-33-17><10>=-5\)
\(x_2=\frac<-33+17><10>=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ: \(-1,6\)

Источник

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x 2 − 14x + 24

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x 2 + bx + c

Раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Далее замечаем, что выражение ( x − x₁ ) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax 2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2) 2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник

Что такое квадратный трехчлен: определение, формула, график, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, что такое квадратный трехчлен, а также приведем его формулу и разберем алгоритм построения графика (параболы). Представленная информация сопровождается практическими примерами для лучшего восприятия.

Определение и формула квадратного трехчлена

Примеры:

График квадратного трехчлена

График имеет вершину:

Чтобы было понятнее, разберем алгоритм построения параболы на практических примерах.

Пример 1

Построим график квадратного трехчлена

Решение

Остается только найти, в какой точке график пересекает ось ординат (0y). Для этого в формулу трехчлена вместо x подставляем число 0:
y = (-0) 2 – 4 ⋅ 0 + 3 = 3

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы построить график.

Примечание: Обратите внимание, что парабола – это симметричный график, т.е. если провести вертикальную линию через ее вершину, то правая часть будет зеркальным отражением левой (и наоборот).

Пример 2

Построим параболу трехчлена

Решение

Теперь находим, в какой точке график пересекает ось Oy, подставив в формулу вместо x число 0:
y = 3 ⋅ (0) 2 – 6 ⋅ 0 + 3 = 3

Значит, точка пересечения с осью ординат –

Строим параболу с учетом найденных точек:

Пример 3

А так выглядит график квадратичной функции

Источник

Квадратный трехчлен

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Скачать пособие «Квадратный трехчлен» (формат pdf, 353кб)

С понятием квадратного трехчлена, решением квадратных уравнений, разложением квадратного трехчлена на множители можно также ознакомиться в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.

Графики парабол и решение квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

Способы получения графиков функций из «базовых» графиков приведены в разделе «Элементарные преобразования графиков функций» нашего справочника.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Электронный справочник по математике для школьников

При подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике большую помощь может оказать наш электронный справочник по математике для школьников.

В справочник включены все разделы школьной программы, а также множество сведений для углубленного изучения курса математики.

Каждый раздел нашего справочника содержит не только теоретические сведения, но и решения типовых примеров и задач.

Источник

Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами

Разделы: Математика

Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a 0 ветви направлены вверх.

Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D 0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а 2 +bx+c и коэффициентами этого

Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :

Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

Источник