Что такое куб разности чисел
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Куб суммы. Куб разности
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Формулы сокращённого умножения.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )
a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
(a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b).
Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».
Аналогично докажем формулу «куб разности».
(a – b) 3 = (a – b) 2 (a – b) =(a 2 – 2ab + b 2 )(a – b)
Применив правило умножения многочленов, получим:
a 3 – 2a 2 b + b 2 a – a 2 b + 2ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
Доказано равенство, которое называют «куб разности»:
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».
Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Найдите куб двучлена:
(a + 3) 3 = a 3 + 3a 2 · 3 + 3a · 3 2 + 3 3 = a 3 + 9a 2 + 27a + 27.
(10 – a) 3 =10 3 – 3 · 10 2 a + 3 · 10 · a 2 – a 3 = 1000 – 300a + 30a 2 – a 3 .
Упростите: x 3 + 3x(x + 4) – (x + 2) 3
x 3 + 3x 2 + 12x – (x 3 + 6x 2 + 12x + 8) =
Куб суммы и разности двух выражений
Формула куба суммы
Возведем в куб сумму (a+b):
Мы получили формулу куба суммы двух выражений:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:
Формула куба разности
Возведем в куб разность (a-b):
Мы получили формулу куба разности двух выражений:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:
Не забывайте о втором и третьем слагаемом в формулах куба двучленов!
Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!
Примеры
Пример 1. Представьте в виде многочлена
Пример 2. Упростите выражение:
Пример 3. Найдите значение выражения:
$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$
Пример 4. Решите уравнение:
Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).
Рассмотрим куб со стороной (a+b) и вписанный в один из его углов куб со стороной b.
Формулы куба суммы и куба разности
Куб разности и суммы чисел
Вычисление куба суммы и разности чисел необходимы во всех разделах математики. Они применяются при решении многих неравенств и уравнений, упрощении выражений, разложении многочленов, вычислении пределов, сокращении дробей, решении интегралов.
Поэтому необходимо уметь их выводить, понимать смысл и уметь применять на практике.
Правило для куба суммы
Возведем в куб сумму чисел a и b. Для этого распишем выражение в виде многочлена:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Воспользуемся формулой квадрата суммы и получим следующее выражение:
Теперь умножаем многочлен на многочлен и получаем:
Упростим получившиеся выражение и получим формулу куба суммы:
Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого, утроенного произведения квадрата первого на второе, утроенного произведения первого на квадрат второго и куб третьего.
Правило для куба разности
При любых значениях b и c верно равенство:
Докажем его. Для этого разложим куб разности двух чисел на множители:
Теперь умножим многочлен на многочлен и упростим выражение:
Таким образом, выведенное тождество верно для любых значений переменных b, c и называется формулой куба разности \(\left(b-c\right)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3\)
Она читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.
Куб разности трех чисел
Нередко при решении различных задач возникает необходимость вычислить куб разности трех чисел. Чтобы облегчить мыслительную работу можно вывести формулу и для этого случая:
Сложив подобные слагаемые придадим полученной формуле более удобный вид:
Она называется правилом куба разности трехчлена.
Аналогично можно вывести и формулу куба суммы трехчлена:
Примеры задач куба разности и суммы
Пример 1
Раскрыть скобки \(\left(2x-3y^2\right)^3\)
Решение
Пример 2
Решение
Если внимательно посмотреть на эту дробь, то можно увидеть, что в знаменателе представлен квадрат разности, а в числителе – куб разности.
Сокращенное умножение: правила, формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.
Доказательство формул сокращенного умножения
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).
Для четных показателей можно записать так:
a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).
Для нечетных показателей:
a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Как решаем:
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Формулы сокращённого умножения
При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.
Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.
Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.
Разложение формул сокращенного умножения
Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.
Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:
Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
Неполный квадрат суммы
это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:
которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.
Неполный квадрат разности
это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:
которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.