Что такое корень многочлена

Корень многочлена

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

над полем k — элемент , такой что выполняются два следующих равносильных условия:

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Содержание

Свойства

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году. [1] Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

Источник

Корень уравнения

над полем k — элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение

Свойства

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

Полезное

Смотреть что такое «Корень уравнения» в других словарях:

КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ — (root of an equation) Значение аргумента уравнения (equation), которое удовлетворяет данному уравнению. Например, если 2х–4=0, то х=2 является корнем (в данном случае единственным) уравнения. Уравнение у2 7у+10=0 имеет два действительных корня: у … Экономический словарь

Корень уравнения — КОРЕНЬ, рня, мн. рни, рней, м. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

корень уравнения — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN equation root … Справочник технического переводчика

КОРЕНЬ — КОРЕНЬ, корня, мн. корни, корней, м. 1. Вросшая в землю часть растения, через к рую оно всасывает соки из почвы. Бурей выворотило деревья с корнями. Дуб глубоко пустил корни в землю. || Древесина или вещество этой части растения. Лакричный корень … Толковый словарь Ушакова

Корень (значения) — Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике) вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп … Википедия

Уравнения математической физики — дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф.… … Большая советская энциклопедия

корень — рня; мн. корни, ей; м. 1. Подземная часть растения, посредством которой оно укрепляется в почве и получает из земли воду с растворёнными в ней минеральными веществами. Корни деревьев. Длинный к. К. жизни (о женьшене). Сгноить урожай на корню (в… … Энциклопедический словарь

Источник

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀q n может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х 3 – х 2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

Многочлен 2х 2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х 4 + 3х 3 – 2х 2 – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х 2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х 3 + 5х 2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Квадратный трехчлен 2х 2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х 2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х 2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х 4 + х 3 + 3х 2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х 2 – х + 2 и х 2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х 2 + bх + с) 2 – (mх + n) 2 : :

Источник

В этой статье рассматриваемый многочлен всегда обозначается

СОДЕРЖАНИЕ

Непрерывная зависимость от коэффициентов

Конъюгация

Отсюда следует, что корни многочлена с действительными коэффициентами зеркально симметричны относительно действительной оси.

Это может быть расширено до алгебраического сопряжения : корни многочлена с рациональными коэффициентами сопряжены (то есть инвариантны) относительно действия группы Галуа многочлена. Однако эту симметрию редко можно интерпретировать геометрически.

Границы всех корней

Верхние границы абсолютных значений полиномиальных корней широко используются для алгоритмов поиска корней либо для ограничения областей, в которых следует искать корни, либо для вычисления вычислительной сложности этих алгоритмов.

Было дано много таких оценок, и более точная обычно зависит от конкретной последовательности рассматриваемых коэффициентов. Большинство оценок больше или равны единице и, таким образом, не являются точными для многочлена, у которого только корни абсолютных значений меньше единицы. Однако такие многочлены очень редки, как показано ниже.

Оценки Лагранжа и Коши

Лагранж и Коши были первыми, кто оценил сверху все комплексные корни. Граница Лагранжа

Оценка Лагранжа точнее (меньше), чем оценка Коши, только когда 1 больше суммы всех, кроме наибольшего. Это относительно редко на практике и объясняет, почему оценка Коши более широко используется, чем оценка Лагранжа. | а я а п | <\ displaystyle \ left | <\ frac > >> \ right |>

что является границей Лагранжа, когда есть хотя бы один корень с абсолютной величиной больше 1. В противном случае 1 является границей корней и не больше границы Лагранжа.

Решение в | z | граница Коши получается, если корень с абсолютным значением больше 1. В противном случае граница также верна, поскольку граница Коши больше 1.

для оценок Лагранжа и Коши соответственно.

Эта оценка инвариантна при масштабировании.

Лагранж улучшил эту последнюю оценку до суммы двух наибольших значений (возможно, равных) в последовательности

Лагранж предоставил также оценку

где обозначает i- й ненулевой коэффициент, когда члены многочленов отсортированы по возрастанию степеней. а я <\ displaystyle a_ >

Используя неравенство Гёльдера

для любого действительного числа h ≥ 1 и

При k = 1 и k = ∞ получаются оценки Коши и Лагранжа соответственно.

При h = k = 1/2 справедлива оценка

Это не только граница абсолютных значений корней, но также граница произведения их абсолютных значений больше 1; см. § неравенство Ландау ниже.

мы должны доказать, что каждый корень z из p удовлетворяет

Записывая уравнение как

В случае 1 формула суммирования геометрической прогрессии дает

Таким образом, во всех случаях

что завершает доказательство.

Другие границы

Было дано много других верхних оценок величин всех корней.

немного улучшает приведенную выше оценку, разделив на два последний аргумент максимума.

где обозначает i- й ненулевой коэффициент, когда члены многочленов отсортированы по возрастанию степеней. Если все коэффициенты отличны от нуля, оценка Фудзивары более точна, поскольку каждый элемент в оценке Фудзивары является средним геометрическим для первых элементов в оценке Кодзимы. а я <\ displaystyle a_ >

Неравенство Ландау

Эта оценка также полезна для ограничения коэффициентов делителя многочлена с целыми коэффициентами: если

Диски, содержащие корни

Из теоремы Руше

Теорема Руше позволяет определять круги с центром в нуле, содержащие заданное количество корней. Точнее, если существует положительное действительное число R и целое число 0 ≤ k ≤ n такие, что

Приведенный выше результат может быть применен, если многочлен

Из теоремы Гершгорина о круге

Если точки интерполяции близки к корням корней многочлена, радиусы дисков малы, и это ключевой компонент метода Дюрана – Кернера для вычисления корней многочлена.

Границы настоящих корней

Ясно, что каждая оценка всех корней применима также и к действительным корням. Но в некоторых случаях полезны более жесткие границы реальных корней. Например, эффективность метода непрерывных дробей для выделения действительных корней сильно зависит от точности оценки положительных корней. Это привело к установлению новых границ, более жестких, чем общие границы всех корней. Эти границы обычно выражаются не только через абсолютные значения коэффициентов, но и через их знаки.

Другие ограничения применимы только к многочленам, все корни которых являются действительными (см. Ниже).

Границы положительных реальных корней

Чтобы дать оценку положительных корней, можно предположить без ограничения общности, поскольку изменение знаков всех коэффициентов не меняет корни. 0>»> а п > 0 <\ displaystyle a_ > 0> 0>»>

Каждая верхняя граница положительных корней

также является оценкой действительных нулей

Применительно к оценке Коши это дает верхнюю границу

Аналогично, другая верхняя граница положительных корней равна

Если все ненулевые коэффициенты имеют один и тот же знак, положительного корня нет, и максимум должен быть определен как равный нулю.

Многочлены, все корни которых действительны

Отделение корней

Корень разделения многочлена является минимальным расстоянием между двумя корнями, то есть минимальное значение абсолютных значений разности двух корней:

Разделение корня является фундаментальным параметром вычислительной сложности из алгоритмов корневых ознакомительные для полиномов. Фактически, разделение корней определяет точность представления чисел, которая необходима для уверенности в различении разных корней. Кроме того, для изоляции реального корня он позволяет ограничить количество делений интервала, необходимых для изоляции всех корней.

Граница разделения Миньотта составляет

Для многочлена без квадратов с целыми коэффициентами отсюда следует

Теорема Гаусса – Лукаса

Теорема Гаусса – Лукаса утверждает, что выпуклая оболочка корней многочлена содержит корни производной многочлена.

Иногда полезное следствие состоит в том, что если все корни многочлена имеют положительную действительную часть, то также и корни всех производных многочлена.

Статистическое распределение корней

Если коэффициенты гауссово распределение со средним значением нуль и дисперсией из сг затем средней плотности действительных корней дается формулой Каца

Настоящие корни

При больших n средняя плотность вещественных корней около x асимптотически равна

Отсюда следует, что ожидаемое количество действительных корней составляет, используя нотацию большого O

Источник

Корень уравнения

над полем k — элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение

Свойства

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

Полезное

Смотреть что такое «Корень уравнения» в других словарях:

КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ — (root of an equation) Значение аргумента уравнения (equation), которое удовлетворяет данному уравнению. Например, если 2х–4=0, то х=2 является корнем (в данном случае единственным) уравнения. Уравнение у2 7у+10=0 имеет два действительных корня: у … Экономический словарь

Корень уравнения — КОРЕНЬ, рня, мн. рни, рней, м. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

корень уравнения — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN equation root … Справочник технического переводчика

КОРЕНЬ — КОРЕНЬ, корня, мн. корни, корней, м. 1. Вросшая в землю часть растения, через к рую оно всасывает соки из почвы. Бурей выворотило деревья с корнями. Дуб глубоко пустил корни в землю. || Древесина или вещество этой части растения. Лакричный корень … Толковый словарь Ушакова

Корень (значения) — Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике) вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп … Википедия

Уравнения математической физики — дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф.… … Большая советская энциклопедия

корень — рня; мн. корни, ей; м. 1. Подземная часть растения, посредством которой оно укрепляется в почве и получает из земли воду с растворёнными в ней минеральными веществами. Корни деревьев. Длинный к. К. жизни (о женьшене). Сгноить урожай на корню (в… … Энциклопедический словарь

Источник

• ← Что такое корень марала
• Что такое корень ногтя →