Что такое координатная функция

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Координатная функция

Координатные функции должны [7] удовлетворять кинематическим условиям закрепления диска, быть линейно независимыми, и система их должна обладать полнотой. [1]

Координатные функции являются частным случаем гладкой функции на многообразии. [2]

Координатные функции выбираем так, чтобы выполнялись граничные условия и чтобы достаточно близко к действительному описывался характер изменения напряженности магнитного поля вдоль одной из координат. [5]

Координатные функции ( 36) должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче. [6]

Координатные функции ф ( х) выбираются таким образом, чтобы каждая из них удовлетворяла граничным условиям. [7]

Координатные функции ф () подбирают таким образом, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям, которые не следуют из минимума самого функционала. Таким образом, выбор функций Ф ( я) тесно связан с выбрром конкретного функционала, Функционал гарантирует приближенное выполнение только тех уравнений, которые являются уравнениями Эйлера для этого функционала, и только тех граничных условий, которые для данного функционала являются естественными. [8]

Поскольку координатные функции гармоничны на М, непосредственное применение теоремы о дивергенции показывает, что Fhix ( a) зависит только от класса гомологии цикла а. [11]

Если координатная функция известна, то вычисления по формуле (6.4) не представляют особого труда, в особенности при применении графических методов. Таким образом, основной задачей является определение координатной функции. Использование для этой цели моделирующих устройств основывается на следующих выводах. [12]

Если координатные функции wt образуют полную систему функций, то бесконечный ряд (2.80) с коэффициентами, найденными из уравнений (2.84), представляет собой точное решение. [14]

Источник

Вектор-функция, ее предел и непрерывность

Глава 3. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Контрольные вопросы

1.Что относится к государственной тайне?

2. Каков перечень сведений составляющих государственную тайну, отнесение сведений к государственной тайне?

3. Что представляет собой система защиты государственной тайны?

4. Какова процедура оформления права граждан на доступ к сведениям, составляющим государственную тайну?

5. Кто утверждает(ют) государственные программы в области защиты государственной тайны?

6. Что не подлежит к засекречиванию и отнесению к государственной тайне?

7. Кто обосновывает необходимость отнесения сведений к государственной тайне?

8. Что является основанием для рассекречивания сведений, составляющих государственную тайну?

9. Какие существуют степени секретности информации, отнесенной к государственной тайне?

10. Как осуществляется допуск должностных лиц и граждан РФ к государственной тайне?

11. Какие существуют формы допуска в соответствии со степенями секретности сведений, составляющих государственную тайну?

12. Для кого существует особый порядок допуска к сведениям, составляющим государственную тайну?

13. Каковы основания для отказа должностному лицу или гражданину в допуске к государственной тайне?

14. Кто организует исполнение закона «О государственной тайне»?

15. Кто осуществляет надзор за соблюдением закона «О государственной тайне»?

16. Кто осуществляет контроль обеспечения защиты государственной тайны.

17.Основные понятия, информационные ресурсы, пользование ими, информационные системы. Виды тайн в российском законодательстве.

Математическое понятие вектор-функции можно иллюстрировать разнообраз- ными примерами векторных величин, вэятыми из механики, физики и других естест- венных наук. Так, хаотичное броуновское движение малой частицы вызвано тем, что вектор действующей на неё силы (равнодействующей столкновений частицы с молеку- лами жидкости или газа) ежемоментно меняется и по направлению, и по величине. Эту силу можно рассматривать как вектор-функцию, аргументом которой является время.

В этом параграфе изложены основы дифференциального исчисления вектор-функций.

1.1. Основные понятия

= (x(t), y(t), z(t) ).

Функции x(t), y(t) и z(t) называют координатными функциями вектор-функции(t). Следовательно, если на множестве Т определена вектор-функция (t), то на Т определена и упорядоченная тройка (x(t), y(t), z(t) ) её координатных (скалярных) функ- ций.

Может оказаться, что все значения (t), , компланарны, т.е. параллельны некоторой плоскости. Введя на этой плоскости декартову прямоугольную систему координат, получим: , где и – проекции вектора (t) на оси Ox и Oy соответственно. Таким образом, в этом случае задание на множестве T, , вектор- функции (t) эквивалентно заданию на T упорядоченной пары скаляр- ных функций:. Можно, конечно, и здесь считать, что на T задана упорядоченная тройка функций , причем на T. Везде ниже мы связываем задание вектор- функции с заданием упорядоченной тройки скалярных функций.

Удобной геометрической интерпретацией вектор- функции является её годограф.По- местим начало вектора (t) в начало координат и обозначим его конец через За- метим, что координатные функции образуют набор координат этой точки:(x(t), y(t), z(t)). Когда t, возрастая, пробегает множество T, точка перемещается, описывая некоторую кривую Г (см. рис. 1). Эту кривую и называют годографом вектор- функции (t). Переменную t называют параметром кривой Г, уравнения x = x(t), y = y(t), z = z(t) – параметрическими уравнениями кривой Г Систему

Пример 1. Пусть = и =, – заданные векторы. Отложим из начала координат O и обозначим через D прямую, проходящую через конец вектора , точку Впараллельно . При всяком вещественном t поло- жим: . Прямая D является годографом. этой вектор- функции, а система

— координатной формой уравнения прямой.

1.2. Предел вектор- функции в точке

Пусть t₀ – вещественное число, а — вектор- функция определенная в проко- лотой окрестности Пусть, далее, — некоторый вектор.

Если удовлетворяет условиям этого определения, будем записывать: = ( является пределом при t, стремящемся к t₀ ) или (стремится к при t, стремящемся к t₀ ).

Итак, равенство по определению означает:

,

, т.е., ( см. определение предела скалярной функции на языке «ε-δ»). Таким образом, тогда и только тогда, когда длина разности — является бесконечно малой при tt₀ :

. (1)

Теорема 1 устанавливает связь между пределом вектор-функции и пределами её координатных функций

►Имеем: =() и . Отсюда:

. Подкоренное выражение представляет собой сумму трёх неотрицательных слагаемых; поэтому левая часть этого равенства стремится к нулю при тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых стремится к нулю при , т.е.

( ) , что можно переписать так:

( ) (2) Утверждение теоремы следует из (1) и (2). ◄

Замечание. Если =||, то вовсе не обязательно справедливо равенство =. Вместе с тем, справедливо утверждение:

= = 0

— это вытекает из (1) как частный случай при = .

Опираясь на теорему о покоординатной сходимости можно доказывать теоремы о пределах вектор-функций, аналогичные теоремам о пределах скалярных функций.

Теорема 2.(О единственности предела) Если вектор-функция имеет пре- дел при , то только один.

► Допустим, что вектор-функция имеет при при два различных предела: =() и =(). Так как ≠ , то упорядо- ченные тройки их координат не могут совпадать. Пусть, к примеру, ≠. В силу тео- ремы о покоординатной сходимости координатная функция x(t) должна при стремиться и к, и к; но это противоречит теореме о единственности предела ска- лярной функции. ◄

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Запишем разложения векторов , , и по базису , составлено- му из ортов координатных осей:

, ,

, . Используя формулу векторной алгебры, запишем разложение вектора векторного про- изведения :

= =

= Из теоремы об арифметических действиях с пределами скалярных функций и теоремы о покоординатной сходимости следует:

;

;

. Опираясь на эти равенства и теорему о покоординатной сходимости, теперь получим:

= = . ◄

Замечание. Для векторов не определены отношения «больше» или «меньше»; утверждение « вектор больше вектора » смысла не имеет. По этой причине среди теорем о вектор-функциях нет аналогов тех теорем о пределах скалярных функций, формулировки которых содержат неравенства, а именно, теоремы о предельном пере- ходе в неравенстве, о стабилизации знака неравенства, о «сжатой» функции.

Определение. Вектор назовём односторонним пределом вектор-функции при t, стремящемся к α справа (при t, стремящемся к β слева ), если для любого ε> 0 можно указать δ>0 такое, что при всех t, принадлежащих интервалу (α, α + δ) при- надлежащих интервалу (), длина разности —меньше ε.

;

.

Теорема 4. (О связи предела вектор-функции с её односторонними пределами)

Необходимость. Пусть =. По теореме о покоординатной сходимости , , . Отсюда по теореме об односторонних пределах скалярной функции следует:, , .Отсюда и из сформулированных выше аналогов теоремы о покоординатной сходимости следует: =.

Доказывая Достаточность следует приведенные выше рассуждения располо- жить в обратном порядке. ◄

1.3. Непрерывность вектор- функции

Теорема 5.(Критерий непрерывности) Пусть вектор-функция определена в окрестности . t₀. Для того, чтобы была непрерывной в точке t₀, необхо- димо и достаточно, чтобы каждая из её координатных функций была непрерывной в этой точке.

. Отсюда вытекает справедливость утверждений теоремы, так как равенство в левой части есть условие непрерывности вектор-функции в точке t₀, а равенства в правой части – условия непрерывности её координатных функций в той же точке. ◄

Разность t – t­₀ будем называть приращением аргумента t в точке t₀ и обозначать через Δt или h. Заметим: t = t­₀ + Δt= t­₀ + h. Вектор разности —= —= —назовем приращением вектор-функции в точке t₀ и обозначим че- рез Δили через Δ(h), подчеркнув во втором обозначении зависимость этого векто- ра от приращения h = Δt аргумента t. Заметим: .

Теорема 6 (О приращении непрерывной вектор-функции) Пусть вектор-функция определена в окрестности . t₀. Для того, чтобы была непрерывной в точке t₀, необходимо и достаточно, чтобы её приращение было бесконечно малым при : .

= (

По теореме о покоординатной сходимости

( )(, , ). Отсюда и из теоремы 5 вытекает справедливость утверждений теоремы 6, так как по теореме о приращении непрерывной скалярной функции равенства , , представляют собой необходимые и достаточные условия непрерывности в точке t₀ соответствующих координатных функций ◄

Источник