Что такое конъюнкция и дизъюнкция в информатике

Конъюнкция и дизъюнкция

Конъюнкция, дизъюнкция эквивалентность, инверсия, импликация — сложные для запоминания и понимания термины логики, науки, которая и сама по себе сложная для освоения. Но при ближайшем рассмотрении все слова оказываются более простыми, но обозначают совершенно не простые понятия. Используются термины не только в логике, но и в информатике. Объясняется это тем, что архитектура компьютера построена на понятиях математической логики.

Логика применима для решения задач по геометрии, физике, теории вероятности, понимания некоторых противоречивых речевых оборотов и сложных для непрофессионала научных текстов. Для понимания терминов и сферы их применимости изучим несколько вспомогательных понятий:

Если вы еще не запутались в этих терминах, перейдем к сути вопроса. Первое в нашем списке слово «конъюнкция». Это одно из сложных логических выражений, в котором обе составные части должны быть истинными, чтобы сказанное являлось истиной. Если одна из частей ложна, то ложно все выражение. Для иллюстрации используют таблицу:

В тексте конъюнкция обозначается простой формулой F = A & B. Часто конъюнкцию называют логическим умножением, по аналогии с математическим действием. Если один из множителей ноль, то результат всегда нулевой. В таблице показаны все возможные комбинации исходных данных для выбранной операции. На базе таблицы истинности можно проанализировать любое сложное высказывание. В предложении конъюнкция выражается союзом «и», который соединяет два высказывания. Вместо «и» можно использовать запятую.

Пример — «Рубильник на подстанции включен, и в комнате выключатель включен — люстра светит».

Если одно из выражений ложное, то света в комнате не будет.

Дизъюнкция, логическое сложение, которое подчиняется правилам математического сложения. Если одно из слагаемых истина (то есть 1) то результат получается 1 (в математике также возможен результат 2, но в логике обозначаем 1, как истинное выражение). Если оба исходных понятия ложные (0), то и результат не может быть истиной (1). Таблица для дизъюнкции выглядит так:

А формула принимает вид: F = A + B.

Итак, сложные и непонятные слова конъюнкция и дизъюнкция приняли образ вполне понятных действий умножения и сложения, знакомых даже ученикам младших классов. В письменной речи используют союз «или». Но в логике он несколько отличается от филологического значения. В филологии «или» показывает, что правильна одна из частей предложения, а в логике — что правильны или ложны одна из частей, и обе части одновременно (все предложение).

«Если температуры нет, или анализы покажут, что воспаления нет, то пациент здоров».

Попутно рассмотрим другие понятия логики. Одно из сложных для понимания — инверсия, или логическое отрицание. Если начальное утверждение правильное, то результат отрицания будет ложным, и, наоборот, при ложном исходном выражении, отрицание будет настоящим. В письменной речи инверсия выражается словами «НЕ», «НЕВЕРНО, ЧТО». Таблица инверсии:

«Вы утверждаете, что все ученики 9 класса отличники, НЕВЕРНО, ЧТО все ученики 9 класса отличники». (Не все ученики 9 класса отличники).

Импликация — сложное выражение, в результате которого всегда получается единица (истина). В письменной речи аналогом импликации является связка если…, то. Пример «Если твердое тело тереть о жесткую поверхность, то оно нагревается». «Если замечены изменения в экономической ситуации, то изменится и политика». Таблица импликации:

Можно заметить, что в одной строке результат «0». Это исключение, когда из истинного утверждения не может получиться ложный результат.

Эквивалентность — операция в логике, при которой истина получается только в том случае, если обе части выражения истинны:

В сложном логическом выражении существует определенный порядок выполнения операций:

Если нужно изменить этот порядок, то используют скобки.

Источник

Основные логические операции

Логические операции в создании компьютерных программ — действия, которые производятся над входными данными. Такие функции производятся над сигналами булевского типа, то есть над примитивными выражениями, имеющими только два возможных значения: истина или ложь.

Виды операций

В программировании выделяют следующие виды функций:

Логическое умножение (конъюнкция)

Конъюнкция — это действие, в результате которого каждым двум входным данным соответствует одно новое высказывание. Истинное значение на выходе получается, когда оба входных значения истинны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Таблица истинности для логического умножения выглядит так:

A, B — исходные данные;

A и B — значение, приобретаемое в результате реализации конъюнкции.

Из таблицы следуют свойства логического умножения:

Логическое сложение (дизъюнкция)

Дизъюнкция — это булева функция, в итоге которой выходные данные будут ложными только при ложности всех исходных выражений.

Таблица истинности логического сложения:

A, B — входная информация;

A или B — значение, приобретаемое в результате выполнения дизъюнкции.

Для дизъюнкции справедливы следующие утверждения:

Логическое отрицание (инверсия)

Инверсия — выражение, ставящее в соответствие одному значению противоположное.

Условное обозначение логического отрицания: с помощью частицы «не», символов ¯, \(\neg.\)

Таблица истинности инверсии:

A — исходные данные;

не A — значение, приобретаемое в результате логического отрицания.

Логическое следование (импликация)

Импликация — это булева операция, ложная лишь тогда, когда первая исходная переменная является истиной, а вторая — ложью.

Следование записывается с помощью знака \(\rightarrow.\)

Таблица истинности для импликации:

A — входная информация, означающая условие;

B — входная информация, означающая следствие;

A → B — значение, приобретаемое в результате импликации.

По своему употреблению данная связка схожа со значением союзов «если. то. ».

Логическая равнозначность (эквивалентность)

Эквивалентность — выражение, являющееся истинным лишь в случае равенства двух входных элементов.

Таблица истинности для равнозначности:

Стрелка Пирса

Стрелка Пирса — двухместное логическое действие со следующей последовательностью: сначала над исходными показаниями производится дизъюнкция, затем происходит отрицание полученного результата.

Данная манипуляция является отрицание логического сложения. Свое название рассматриваемая функция получила от своего автора — американского ученого Чарльза Пирса.

Таблица истинности для этой операции следующая:

Особенность стрелки Пирса заключается в ее возможности строить другие булевы функции.

Пример

Штрих Шеффера

Штрих Шеффера — это действие, приводящее к ложному итогу лишь при истинности обоих исходных данных. По порядку выполнения операций эта функция эквивалентна отрицанию конъюнкции.

Символ Шеффера назван по фамилии своего создателя — американского логика Генри Шеффера — и обозначается посредством знака \(\vert.\)

Таблица истинности для данной функции:

С помощью штриха Шеффера можно воспроизвести другие логические манипуляции.

Пример

Порядок выполнения операций

В составном логическом выражении действия выполняются в такой последовательности:

Для построения нужного порядка, как и в математических выражениях, используют скобки.

Источник

Логические операции. ➞ Что такое конъюнкция, дизъюнкция, импликация

Тот, кто хочет подробно разбираться в цифровых технологиях должен понимать основы такой темы, как алгебра логики. В этой статье будут разобраны основные определения, а также показаны самые важные логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.

Основные положения

Для начала следует разобраться, для чего нужна алгебра логики – главным образом, этот раздел математики и информатики, нужен для работы с логическими выражениями и высказываниями.

Логическим высказыванием называется утверждение (или запись), которое мы можем однозначно классифицировать, как истинное или ложное (1 или 0 в информатике).

Примером таким высказываний будут являться:

Логические высказывания делятся на два типа — простые и сложные.

В алгебре логики, как простые, так и сложные высказываниями описываются булевыми выражениями.

Булево выражение – это символическое (знаковое) описание высказывания.

Операции

Ниже рассмотрим основные операции, которые применяются в булевой алгебре. Их хватит, чтобы упростить львиную долю всех выражений, которые Вам встретятся.

Конъюнкция

Конъюнкция (булево умножение) — функция, по своему смыслу приближенная к союзу «И». При выполнении конъюнкции результат истинен (равен 1) тогда и только тогда, когда истинны ВСЕ переменные. Если хотя бы одно из высказываний ложно, то ложно и всё выражение (равно 0).

Функция может работать как с двумя операндами (высказываниями), так и с тремя, четырьмя и т.д. В математике обозначается с помощью знаков ​\( \wedge \) и &. Обозначение в языках программирования AND, &&. Таблица истинности для двух операндов:

Дизъюнкция

Дизъюнкцией называется функция булева сложения. По смыслу дизъюнкция приближена к союзу «ИЛИ». В результате выполнения данной функции результирующие выражение является истинным, когда хотя бы одно из высказываний в этом выражении тоже истинно.

Булево сложение, также как и умножение, может работать с произвольным количеством операндов. В математике обозначается как V, а в программировании с помощью OR или I.

Инверсия

Логическое отрицание – функция, работающая с одним высказыванием, и заменяющая истину на ложь, а ложь на истину. В математике обозначается с помощью черты над значением, а в программирование и информатике с помощью слова NOT.

Импликация

Также называется булевым следованием. В русском языке данной функции соответствует оборот «Если …, то …». Например, если на улице гремит гром, то стоит пасмурная погода.

Эквивалентность

Булева тождественность или равенство. На простом языке будет обозначено как «… эквивалентно (равно) …». Результат будет истинным тогда, когда все значения в выражении будут иметь одинаковую истинность.

Обозначается с помощью трех черточек или ⟺.

Порядок выполнения операций

Логические операции выполняются в следующем порядке:

Если в формуле указаны скобки, то порядок выполнения действий в скобках точно такой же, как написано выше.

Пример

Дано два отрезка B = [2,10], C = [6,14]. Из предложенных вариантов ответа выберите такой отрезок A, что формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) истинна при любом значении z. Варианты ответа:

Решение: Подставим в уравнение \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) =1 значения B и C и составим таблицу истинности:

Получившаяся формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in [2,10])) \vee (z \in [6,14])=1 \). По условию ​​​\( z \in A \)=1.

Таблица истинности для всех отрезков:

Ответ: A = [3,11].

Видео

Заключение

Вот Вы и познакомились с основными логическими операциями и понятиями и знаете, что такое булево сложение и умножение. Если вас заинтересовала данная тема, то можете изучить булевы законы. Эти законы не проходятся в рамках школьной программы и служат для упрощения сложных выражений.

Источник

Логика

НЕКОТОРЫЕ

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

1. Обозначения

1.1. Обозначения для логических связок (операций):

a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);

b) конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\
(например, А /\ В) либо & (например, А & В);

c) дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/
(например, А \/ В);

d) следование (импликация) обозначается → (например, А → В);

e) тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);

f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 – для обозначения лжи (ложного высказывания).

1.2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

1.3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

2. Свойства

Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.

2.1. Общие свойства

2.2.Дизъюнкция

2.3. Конъюнкция

2.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции

Назовем (для удобства) конъюнкцию простой, если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой, если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.

2.5. Импликация

Источник

Информатика не может существовать без такого важного раздела математики, который называется алгеброй логики. В данной статье будет рассказана основополагающая информация по данной теме, обозначены её главные правила и законы.

Что такое алгебра и алгебра логики

Алгебра — это раздел математики, который обобщенно можно охарактеризовать, как расширение и обобщение арифметики.

Алгебра логики — это раздел математической логики, который исследует операции над высказываниями.

Законы алгебры логики

Имеется большое количество правил в данной сфере деятельности, но сегодня будет рассмотрено несколько основных.

Основные законы алгебры логики представлены в таблице:

Логические выражения

В информатике предоставляется два вида высказываний: простое и сложное.

Простое — это утверждение, которое обычно обозначается в виде предложения и про него можно сказать — ложное оно или истинное.

Нью-Йорк — столица США (ложное);

в России 1117 городов (верное).

Сложное высказывание обозначает некий набор простых утверждений, которые связаны логическими процессами.

Идёт дождь, а у меня нет зонта.

Основные логические операции

Логические процессы подразделяются на несколько классов. Рассмотрим их последовательно.

Логическое отрицание (инверсия) —НЕ

Таблица истинности инверсии:

Результаты операции НЕ следующие:

если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Логическое сложение (дизъюнкция, объединение) — ИЛИ

Понятие «Логическое ИЛИ» также можно заменить понятием «Дизъюнкция». Данная операция обозначается знаками — ИЛИ, OR, ||, |.

Но есть небольшое отличие: в «Логическом И» результат отрицания равен единице, если оба обозначения равны единице, а в «Логическом ИЛИ» итог равен единице, если одно из обозначений равно единице.

Таблица истинности операции ИЛИ:

Логическое умножение(конъюнкция) — И

В истории данная операция также обозначается как логическое умножение и конъюнкция. Данная операция обозначается элементами — И, AND, &&, &.

За объект описания возьмём А и В. Оба данных выражения могут иметь или неверное значение, или правдивое значение. Для применения операции логическое умножение, и А, и В должны является истинными (то есть равными единице).

При всех остальных значениях операция будет ложной.

Таблица истинности операции И приведена ниже:

Логическое следование (импликация) — ЕСЛИ ТО

Данная программа имеет также название «Импликация». Она образуется из двух высказываний, которые соединяет: «если. то».

Необходимо запомнить, что данная операция ложна только тогда, когда из первого ложного утверждения следует ложный итог. На компьютерном языке данный процесс обозначается формулой: if. then.

Таблица истинности операции ЕСЛИ ТО выглядит так:

Данная операция определяется так: сложное высказывание будет истинно тогда и только тогда, когда и А, и В — истинные.

И наоборот: сложное высказывание будет ложным тогда и только тогда, когда и А, и В — ложные.

Таблица истинности операции эквивалентности:

Источник