Что такое контрпример в математике
Контрпримеры в математике
На основании некоторого числа примеров, наблюдений, в том числе и в математике, можно сделать некоторое общее предположение — выдвинуть гипотезу. Как бы ни правдоподобно она выглядела, каждая гипотеза нуждается в доказательстве или в опровержении. Доказанные гипотезы в математике — это теоремы, доказательства некоторых из них вы видели в школьных учебниках.
Классический способ опровержения гипотез — построение контрпримера. Если, например, имеется утверждение типа «Для любого х из множества А выполняется свойство Р(х)», то контрпримером для этого утверждения будет любой объект х из множества А, для которого свойство Р(х) не выполняется.
Контрпример — это не математическое понятие, это прежде всего и не более чем пример чего-либо, а приставка контр… описывает назначение этого примера — опровержение некоторого общего утверждения. Так, утверждение «квадрат любого числа есть число положительное» ложно, потому что есть такое число, квадрат которого не является положительным числом. В данном случае это число х=0 называют контрпримером (более точно — контрпримером к гипотезе об истинности общего утверждения).
Однако бывают и такие гипотезы, которые очень сложно, а то и вовсе невозможно доказать или опровергнуть. Недоказанные и неопровергнутые гипотезы в математике называют проблемами. Например, самая известная проблема — великая теорема Ферма оставалась недоказанной и неопровергнутой более трехсот лет.
Контрпример
Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.
Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется».
Часто найти контрпример вручную очень сложно. В таких случаях можно воспользоваться компьютером. Программа для нахождения контрпримера может просто перебирать элементы множества M и проверять выполнения свойства A. Более сложный, но и более эффективный, подход заключается в построении контрпримера «по частям». При этом при выборе очередной «части» сразу отбрасываются варианты, которые заведомо не ведут к опровержению рассматриваемого утверждения. Это позволяет значительно ускорить работу, зачастую на порядки.
Необходимо помнить, что отсутствие контрпримера не служит доказательством гипотезы. Доказательство такого рода можно строить, только если рассматриваемое множество конечно. В этом случае, достаточно перебрать все его элементы, и, если контрпримера среди них нет, то утверждение будет доказано.
Классические контрпримеры в математике
Литература
 | Это заготовка статьи о науке. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. Это примечание по возможности следует заменить более точным. |
Полезное
Смотреть что такое «Контрпример» в других словарях:
контрпример — контрпример … Орфографический словарь-справочник
контрпример — противоречащий пример Словарь русских синонимов … Словарь синонимов
контрпример — Syn: противоречащий пример … Тезаурус русской деловой лексики
контрпример \(в науке\) — КОНТРПРИМЕР (В НАУКЕ) факт, противоречащий логическим выводам из некоторой научной теории. Обнаружение такого факта ставит ученых перед методологическим выбором: восстановить соответствие между логическими следствиями из теории и данным… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
Гипотеза Эйлера — утверждает, что для любого натурального числа никакую n ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения: не имеют решения в натуральных числах. Гипотеза была высказана в 1769… … Википедия
Гипотеза Пойа — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия
Хвостовая рекурсия — Хвостовая рекурсия специальный случай рекурсии, при котором рекурсивный вызов функцией самой себя является её последней операцией.[1] Подобный вид рекурсии примечателен тем, что может быть легко заменён на итерацию, что реализовано во… … Википедия
Гипотеза Зейферта — в теории динамических систем утверждала, что у векторного поля без особых точек на трёхмерной сфере найдётся периодическая траектория. В своей работе 1950 года Герберт Зейферт доказал[1], что периодическими траекториями обладают гладкие векторные … Википедия
Функция Вейерштрасса — График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику … Википедия
В математике контрпример используется для опровержения утверждения. Если вы хотите доказать, что утверждение верно, вы должны написать доказательство, чтобы продемонстрировать, что оно всегда верно; привести пример не достаточно. По сравнению с написанием доказательства написать контрпример намного проще; если вы хотите показать, что утверждение неверно, вам нужно предоставить только один пример сценария, в котором утверждение ложно. Большинство контрпримеров в алгебре связаны с числовыми манипуляциями.
Два класса математики
Написание доказательств и нахождение контрпримеров являются двумя основными классами математики. Большинство математиков сосредотачиваются на корректуре, чтобы развить новые теоремы и свойства. Когда утверждения или предположения не могут быть доказаны, математики опровергают их, приводя контрпримеры.
Контрпримеры Бетонные
Вместо использования переменных и абстрактных обозначений вы можете использовать числовые примеры для опровержения аргумента. В алгебре большинство контрпримеров включают манипуляции с использованием различных положительных и отрицательных или нечетных и четных чисел, крайних случаев и специальных чисел, таких как 0 и 1.
Достаточно одного контрпримера
Философия контрпримера состоит в том, что если в одном сценарии утверждение не выполняется, то утверждение является ложным. Нематематический пример: «Том никогда не лгал». Чтобы показать, что это утверждение верно, вы должны предоставить «доказательство» того, что Том никогда не лгал, отслеживая каждое заявление, которое Том когда-либо делал. Однако, чтобы опровергнуть это утверждение, вам нужно показать только одну ложь, которую когда-либо говорил Том.
Знаменитые контрпримеры
«Каждая непрерывная функция дифференцируема». Абсолютная функция | x | непрерывно для всех положительных и отрицательных чисел; но это не дифференцируемо в x = 0; поскольку | х | является непрерывной функцией, этот контрпример доказывает, что не каждая непрерывная функция дифференцируема.
Что такое целое число в алгебре математики?
В математике целые числа считаются числами. Это целые числа, а не дроби, и вы следуете основным правилам арифметики при их сложении, вычитании, умножении и делении. В алгебре вы позволяете буквам обозначать числа, а когда числа целые, применяются правила арифметики.
Что такое закон Ома и что он говорит нам?
Что такое мутность и что это означает в микробиологии?
Презентация к уроку математики в 5 классе на тему «Понятие контрпримера».
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Метапредмет – Хаос и порядок КОНТРПРИМЕР ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ ОБРАЗЕЦ ЗАГОЛОВКА
Цель урока целеполагание подсказка Реши анаграмму и подумай над темой и целью урока контрпример приконтрмер
Математическая разминка Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. 1) Делится ли произведение 8 ∙ 26 на 8, 4, 13, 16, 20? 2) Докажите, что произведение 12 ∙ 42 делится на 9. 3) Укажите несколько чисел, которые можно подставить вместо буквы b, чтобы произведение 14 ∙ b делилось на 6. 4) Делится ли сумма 50000 + 8000 + 700 + 20 на 10? 5) Подберите такие 3 числа, чтобы при подстановке каждого из них вместо буквы а сумма а + 72 была кратна 9. 6) Назовите 5 делителей разности 41 ∙ 7 – 17 ∙ 7.
Делимость суммы Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. 238 = 220 + 18; Число 18 не делится на 22. решение б) Не выполняя деления, докажите, что число 238 не делится на 22. Подсказка. Представьте рассматриваемое число в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится на указанное число.
Контрпример Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи К контрпримерам прибегают не только в математике, но и в жизни. Вот пример вполне реальной ситуации. Магомед получил за контрольную работу по математике двойку и сказал маме: «Эту контрольную написали плохо все». На это мама возразила: «Как мне известно, твой друг Али получил за эту контрольную работу пятерку».
Работаем с текстом Проверка полученных результатов. Коррекция. Округлим число 7996 до разряда десятков: 7996 ≈ 8000. опровержение Опровергните утверждение: Если при округлении числа получилось число с тремя нулями на конце, то округление выполнили до разряда тысяч.
Делимость суммы (для продвинутых) Проверка полученных результатов. Коррекция. 512 + 17 = 17 ∙ 3 ∙ 51 + 17 = 17 ∙ (3 ∙ 51 +1) – число составное! доказательство а) 512 + 17; 11 + 222 + 333 = 11 ∙ (1 + 2 ∙ 22 + 3 ∙ 332) – число составное! доказательство б) 11 + 222 + 333; Докажите, что значение данного выражения есть число составное:
Делимость суммы (для продвинутых) Проверка полученных результатов. Коррекция. 358 = 340 + 18; Число 18 не делится на 17 доказательство а) Число 358 не делится на 17; Не выполняя деления, докажите, что:
Вопросы и задания Проверка полученных результатов. Коррекция.
Немного о медведях и не только… Подведение итогов, рефлексия, домашнее задание. Например выдвинуто утверждение «Все медведи являются бурыми». Для его опровержения мы формулируем противоречащее ему положение: «Некоторые медведи не являются бурыми». Затем находим в Арктике белого медведя и тем самым доказываем это положение, опровергая первоначальное утверждение. Приведите свои подобные ситуации.. Домашнее задание У: п 6.3;№№467,474,475
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-052618
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ
Время чтения: 1 минута
Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов
Время чтения: 3 минуты
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
В Оренбурге школьников переведут на дистанционное обучение с 9 декабря
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Статья по математике «Контрпример»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
«Контрпример, как средство развития аналитического и логического мышления»
«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы,
Но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»
Школа должна научить выпускника находить пути к решению проблем, а это значит – формировать у учащихся способность к самостоятельному, творческому мышлению. Важнейшая задача школы – давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания, вырабатывать навыки и умения применять их на практике
Обучать этому их надо постепенно, начиная с несложных заданий. Уменьшение объема изучаемого понятия приводит к расширению его содержания. Поэтому этот прием позволяет открывать новые факты. Обучая приему конкретизации, учитель создает для своих учеников, условия, в которых они учатся задавать себе наиболее простые вопросы, сопровождающие творческий процесс. Вопросы типа:
«А почему?», «А если предположить обратное?» т.е. привести контрпример.
Контрпримеры употребляют с целью опровергнуть неверное суждение или показать отличие «определения», данного учеником, от определения, принятого в литературе.
/. Контрпример к неверному утверждению
Обычный урок. Ученик отвечает: «Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны».
Если учитель добавит «между ними», ученик останется в неведении: «И чего он придирается по пустякам?»
Результат будет совсем иным, если учитель начертит на доске два треугольника АВС и А D С (рис. 1) и покажет, что две стороны и угол одного равны двум сторонам и углу другого, но треугольники не равны. Пример убеждает, что выпустить слова «между ними» нельзя.
Важно, чтобы утверждение ученика сразу же было записано на доске. Иначе все, кто не заметил ошибку, могут не понять, о чем речь, и считать, что учитель придирается. Да и сам отвечавший, не зная своей ошибки, нередко потом заявляет: «Ведь я так и говорил!»
Лучше, на мой взгляд, начать объяснение с такого утверждения: «Если число делится (нацело) на 2, то оно делится и на 4». На вопрос: «Как доказать, что это неверно?», ученики сразу скажут: «Число 6 (или 10) делится на 2, но не на 4». Целесообразно тут же спросить: «Почему достаточно одного противоречащего примера, чтобы опровергнуть неверное утверждение?» И учащиеся должны понять, что в этом утверждении имеется в виду, что всякое число, делящееся на 2, должно делиться на 4, а вот число 6 удовлетворяет условию утверждения и не удовлетворяет его заключению.
Еще пример: «Если углы равны, то они вертикальные». Разобрав, в чем состоит условие и в чем заключение, можно попросить построить два угла, удовлетворяющие условию и не удовлетворяющие заключению. После этого вместе с учениками формулируется определение контрпримера. Необходимость в рассмотрении контрпримеров к неверным суждениям возникает не только при опросе, а также при:
изучении новой теоремы (для доказательства необходимости каждого условия);
использовании известной теоремы, которую ученик не усвоил;
рассмотрении обратных утверждений, необходимых и достаточных условий;
поиске решений задач, доказательств теорем, когда оценивают гипотезу — правдоподобное предположение.
Убедительны для учеников контрпримеры к ошибкам, которые можно рассматривать как неверные суждения.
Так, к ошибке 1 g (а + b ) = 1 g а + lg Ь можно привести контрпример 1 g 11= 1 g 10 + 1 g 1 и, следовательно , 11 = 10.
2. Контрпримеры к «новым» определениям
Нередко на уроке можно услышать, как ученик, не разобравшись в определении, изменяет его. Чаще всего опускается какое-то условие (признак). Это естественно: при первом знакомстве одно из условий не произвело впечатления или не было понято и потом забылось. Например: «Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения». Как видно, ученик опустил слово «любой».
Ученика можно поправить, добавив необходимое слово. Но где гарантия, что ошибка не повторится? Напоминая, как «надо говорить», учитель ориентирует класс на запоминание. Но захотят ли ученики после этого изучать определение, разбираться в нем? Задача состоит в том, чтобы обратить внимание учеников на это слово, разъяснить его значение, показать, к каким последствиям приводит изменение, сделанное ими в определении. С этой целью можно показать прямую / на рис. 2 или, более наглядно, при помощи модели: тетради и карандаша, перпендикулярного к одному краю тетради и наклоненного к другому. На этом примере ученики увидят, что прямая / соответствует их «определению», но не тому (правильному) представлению о перпендикуляре к плоскости, которое у них сложилось: теперь они лично убеждаются, что в их определении «что-то не так», и у них самих возникает потребность внести изменения.
Критику никто не любит. Но, увидев контрпример к своему «определению», ученик улыбается и спешит исправить его.
Многие учителя и методисты пользуются в подобной ситуации контрпримером, некоторые так и называют его. Но возникают вопросы: «Чему он противоречит? Что опровергает?» Поскольку в литературе мне не удалось встретить прямого ответа, хочу предложить один из возможных путей разрешения этой коллизии.
Введем два понятия.
а) Пусть в некотором определении сделано изменение, вызвавшее увеличение объема понятия. (Подобная логическая ошибка квалифицируется как слишком широкое определение понятия.) Это определение я иронически называю «новым» или просто беру слово «определение» в кавычки. Кавычки здесь только подчеркивают иронию.
б) Назовем контрпримером к «новому» определению объект (класс объектов), который удовлетворяет «новому» определению, но не отвечает принятому в литературе.
Как видно из предыдущего, прямая / является контрпримером к «новому» определению, данному учеником: эта прямая перпендикулярна прямой т, но не перпендикулярна плоскости. Теперь можно ответить на вопрос, чему противоречит этот контрпример? Он противоречит «новому» определению. А что он опровергает? Представление ученика о том, что он хорошо разобрался в определении и что его определение равносильно принятому в литературе.
Рассмотрим на рис. 3 еще несколько контрпримеров к «новым» определениям.
Рис. 3, а: в определении хорды слово «отрезок» заменено словом «линия».
Рис. 3, б: в определении вписанного многоугольника опущено слово «все».
Рис. 3, в: в определении угла опущена фраза «исходящих из этой точки».
Рис. 3, г: в определении диаметра опущено «проходящая через центр».
Рис. 3, д: в определении параллелограмма опущено слово «четырехугольник».
Рис. 3, е: в определении средней линии трапеции опущено слово «боковых».
В определении квадратного уравнения ученики нередко опускают условие а * 0. Контрпример: Ьх + с = 0.
Нередко ученики, решая уравнение или неравенство, упускают часть решений. Одна из причин — они не усвоили, что слово «все» в определении необходимое.
Число 6 является контрпримером к «определению» простого числа, в котором нет слова «только».
В работах [1—9] рассмотрено много контрпримеров. Приведу один из них [7, с. 63]: «Прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки, называются параллельными». Кажется, все верно, не так ли? Но рис. 4 показывает, что это определение не годится. Что же упущено? — одно слово: «две».
Прекрасный контрпример (рис. 5) приведен в учебнике А.Н. Колмогорова и других [10, с. 48]. Он доказывает непригодность
«определения» точки максимума функции как точки, в которой возрастание функции сменяется убыванием. К сожалению, об этом прямо не сказано, а необходимость есть, потому что такое описание есть в тексте.
В Математическом энциклопедическом справочнике (М.. 1988, с. 153) дано определение гиперболы. В нем опущено требование г,-г 2 *0. Этому «определению» отвечает также и мнимая ось. (В канонической системе координат — это ось игрек.) Думаю, автор не заметил этого, так как большая часть статьи (уравнение, свойства) теряет смысл, если мнимую ось тоже считать гиперболой.
Первые контрпримеры к «новым» определениям учитель приводит сам и сразу же объясняет, как они составляются. В дальнейшем он систематически привлекает к этому учеников.
Желая обратить внимание на тот или иной признак (то или иное слово или условие), преподаватель сам составляет «новые» определения и предлагает ученикам (в классной и домашней работе) подыскать к ним контрпримеры.
Спросите ученика: «Зачем в определении стоит это слово (или условие)? В чем его значение?» Если ученик специально не разбирался — не ответит или скажет, что так написано в учебнике. Спросите: «Можно ли это слово (условие) опустить?» — скажет: «Будет неправильно». Но почему — не объяснит. Не разбираясь с каждым условием, входящим в определение, мы толкаем учеников к формальному запоминанию.
Без преувеличения можно сказать, что пока ученик не рассмотрел контрпримеры к «новому» определению, он по существу определение не усвоил.
Составление контрпримеров — нестандартная задача. Решение этих задач развивает эвристические способности и критичность мышления, приучает следить за своей речью, повышает математическую культуру учащихся, способствует развитию интереса к математике.
Умение приводить контрпримеры необходимо не только для усвоения устоявшихся (известных) понятий. Контрпримеры применяют и в процессе становления понятия, когда «определением» охватываются лишние объекты — те, которые не имел в виду автор «определения». Рассказывают, что Диоген, услышав слова Платона: «Человек есть двуногое животное без перьев», ощи пал петуха, принес его в Академию и заявил: «Вот человек Платона».
3. Возрастающая функция
В учебнике «Алгебра 9» (под ред. С.А. Теляковского, 2012) дано такое определе ние: «Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции».
Текст выделен жирным шрифтом, чтобы подчеркнуть его значимость.
После приведенного «определения» авто ры дают второе (но уже обычным шрифтом, никак его не выделяя): «Иными словами: функцию у = >(х) называют возрастающей в некотором промежутке, если для любых х х и х 2 из этого промежутка, таких, что х 2 > х х выполняется неравенство [(х 2 ) > [ <х х )».
Поясняющее описание бывает очень по лезным, но нельзя выдавать его за определение.
Выдающийся математик и педагог А.Я. Хинчин считал методической ошибкой за ставлять учащихся заучивать наизусть такие «определения», которые на самом деле вовсе определениями не являются. Он писал: «Поясняющее описание не обязано, конеч но, вскрывать всей полноты смысла нового понятия (иначе оно было бы определением);оно может ограничиться указанием на те или другие моменты этого смысла». И далее: «рекомендуемое нами тщательное методическое разграничение между определениями и простыми описаниями будет иметь еще и тот важный эффект, что с ранних лет приучит детей предъявлять к определениям те строгие логические требования, которые по отношению к ним являются обязательными. Этим будет устранен один из тя желейших дефектов логической культуры, распространенных в наше время среди оканчивающих среднюю школу,—дефект, злокачественные последствия которого тяго теют подчас над учащимися на всем про тяжении высшей школы, а в отдельных случаях даже и за ее пределами». (Педа гогические статьи. С. 100, 101, 104).
Не раз мне приходилось приводить учи телям и студентам этот пример <у = х 2 ). Как правило, они приходили в замешательство (это и предсказывал А.Я. Хинчин), никак не ожидая, что определение, данное в учебнике и прочно усвоенное, может так их подвести.
Почему же они так обманулись? Потому, думаю, что, доверившись авторской фразе «иными словами», не заметили разницы между определением и описанием. Описание и определение не станут равносильными, даже если их соединить фразой «иными словами».
Авторы учебника [10] сначала дали оп ределение, а потом описание. Но они не объяснили, что описание не годится в качестве определения. Более того, они тоже связали определение и описание фразой «иными словами», вводящей в заблуждение.
Гастева С.А. и др. Методика преподавания математики/Под ред. С.Е.Ляпина. Л., 2005.
Гелбаум В., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М., 2007.
Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М., 2001.
Демидов В.П., Саранцев Г.И. Методика преподавания математики. Саранск, 2006.
Пойа Д. Как решить задачу. М., «Математическое открытие. М., 2010. »
Никитин В.В., Рупасов К.А. Определения ма тематических понятий в курсе средней школы. М., 2013.
Финкелыитейн В.М. О воспитании и развитии интереса к математике на практических занятиях в вузе. Кемерово, 2015; он же. О работе над опреде лением//Воспитание учащихся при обучении матема тике/Сост. Л.Ф. Пичурин. М., 2017. С. 25—28.
Хитрина Н.А. О применении контрпримеров// 2014.
10. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10—11. М.: Просвещение, 2011.