Что такое композиция в математике

Композиция отображений

Компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) в математике — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций F и G обычно обозначается .

Содержание

Определение

Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:

Связанные определения

Свойства композиции

Дополнительные свойства

Полезное

Смотреть что такое «Композиция отображений» в других словарях:

Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

ХОПФА ИНВАРИАНТ — инвариант гомотопич. класса отображений топологич. пространств. Впервые был определенX. Хопфом ([1], [2]) для отображений сфер Пусть непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение… … Математическая энциклопедия

МЕРОМОРФНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — комплексных пространств обобщение понятия мероморфной функции. Пусть Xи Y комплексные пространства, А открытое подмножество в X такое, что нигде не плотное аналитич. одмпожество, и пусть дано аналитич. отображение Отображение f наз. мероморфным… … Математическая энциклопедия

ПОЧТИКОЛЬЦО — одно из обобщений понятия ассоциативного кольца. П. это кольцоид над группой, т. е. универсальная алгебра, в к рой имеется ассоциативная операция умножения и операция сложения; относительно сложения П. должно быть группой (не обязательно… … Математическая энциклопедия

ОПЕРАТОР — отображение одного множества на другое, каждое из к рых наделено нек рой структурой (алгебраич. операциями, топологией, отношением порядка). Общее определение О. совпадает с определением отображения или функции: пусть Xи Y два множества;… … Математическая энциклопедия

Непрерывное отображение — или непрерывная функция в математике это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений. Наиболее общее определение формулируется для отображений… … Википедия

ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ — топологических пространств часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств… … Математическая энциклопедия

Источник

Сложная функция (композиция функций)

Термин сложная функция в действительности в математическом языке является «чисто рабочим»: так называют функцию, если она задана в виде у=f(g(x)) с внешней функцией f и внутренней функцией g. Из самого задания этой функции ясно, что для вычисления значения у сложной функции к значению аргумента х сначала применяется функция g, а затем к полученному значению g(x) применяется функция f — тогда и получается значение f(g(x)).

Владение этим термином, умение видеть сложную функцию для начал математического анализа исключительно — чтобы найти производную, функцию часто следует представить в виде сложной функции, причем функция может быть еще более «сложной», когда ее «история» более длинная, т.е., например, если функция задается формулой у=f(g(h(р(х))).

Интересно, что сочетательный (в математике говорят ассоциативный) закон остается в силе:

(мы здесь не стали рассматривать детали, связанные с областью определения рассматриваемых функций), а распределительный закон (в математике говорят дистрибутивный) распадается на два — из-за отсутствия перестановочного закона:

и, что удивительно, один из них выполняется в алгебре функций, а второй — нет.

Интересующиеся этими вопросами легко могут узнать, какой из них именно выполняется, рассмотрев какой-нибудь простой пример, и почти со стопроцентной вероятностью вы найдете ответ с первой попытки, если, конечно, вам не повезет попасть как раз на те функции, для которых выполняются оба закона. А доказать верный закон тоже будет небесполезным — с точки зрения будущего изучения высшей алгебры в вузе: для студентов она вовсе не проще, чем математический анализ, однако с его идеями вы более или менее знакомитесь в школе, а основные идеи алгебры, связанные со свойствами операций, полностью остаются в стороне.

Ну, а если вы хотели бы подтянуть разговорный английский язык, или вам нужна курсовая по английскому, обращайтесь. Так как этот язык уже стал международным и его знания будут полезны любому современному человеку.

Источник

Композиция функций на F# и Scala

Проще говоря о чем все это

Я начал думать о написании данной статьи несколько недель назад, после того, когда я старался объяснить моему 7 летнему чаду что такое математические функции. Мы начали с рассмотрения очень простых вещей. Это прозвучит безумно и наверное несуразно, но я закончил мое вводное объяснение повествованием о композиции функций. Это казалось настолько логичным разъясняя что такое функции, приводя примеры их использования из окружающего мира, говорить о композиции. Цель данной статьи — показать насколько простой и мощной является композиция функций. Начну я с рассмотрения понятия чистой композиции и приземленного разъяснения, после чего мы попробуем немного карри и позабавимся с монадами. Надеюсь вам понравится.

Функция как небольшой ящик

Давайте представим математические функции в виде небольших ящиков(коробок), где каждый ящик способен принимать любое положительное число аргументов, выполнять какую либо задачу и возвращать результат. Короче говоря, мы могли бы представить функцию сложения как показано ниже:

Изображение 1, буквенно-числовое представление функции сложения

Изображение 2, символьное представление функции сложения

Давайте рассмотрим ситуацию когда нам нужно собрать и запустить хлебную фабрику а ля все в одном. Эта фабрика будет построена на принципе запросов, где каждый такой запрос будет активизировать цепь специфических операций и на конечном этапе будет выдавать нам результат в виде готового хлеба. В начале нам необходимо определить эти самые специфические операции, мы будем представлять каждую операцию в виде функции/ящика. Вот список операций высшего порядка, которые могли бы нам понадобиться:

Пришло время организовать хлебную фабрику, собрав во едино производственную цепочку как показано ниже:

Изображение 3, представление собранной цепи

На этом пока все, наша цепь готова к работе, она собрана из маленьких кусочков, где каждый кусочек может быть разобран на отдельные под-кусочки, итд. Вы можете моделировать огромное количество вещей из окружающего нас мира, просто используя понятие композиции функций. Это на самом деле очень просто. Вы можете ознакомится с более теоретическими аспектами здесь.

Выражение композиции

Давайте рассмотрим как представить производственную цепочку, описанную выше, используя javascript:

Попробуйте представить как будет выглядеть цепь из 10 — 15 функций, и это только одна из возможных проблем с которой вы можете столкнуться. Так же это не совсем композиция, т.к. в математике, композиция функций это по-точечное применение одной функции к результату другой для получения третьей функции. Мы можем достичь этого следующим способом:

Это выглядит как-то нелепо, не так ли? Давайте призовем мощь функционального программирования и реализуем это в более удобоваримой форме. Мы будем оперировать более понятными примерами. Для начала нам нужно определить что есть композиция в функциональном понятии.

Версия Scala

Версия F

Вообще-то, F# уже имеет по умолчанию оператор композиции, вам не нужно ничего объявлять. Но если вам все таки понадобится переопределить его, вы сможете это сделать, так:

Компилятор F# достаточно умен, что бы предположить что вы имеете дело с функциями, так что, тип вышеописанной функции (>>) будет выглядеть как:

Сцепляем все вместе

Решение для предыдущей задачи будет выглядеть на Scala как:

Версия на F# будет более лаконичной:

Вывод на консоль будет:

Карринг

Если вы не знакомы с понятием карринга, вы можете найти больше информации здесь. В этой части мы совместим два мощных механизма родом из мира функционального программирования — карринг и композицию. Давайте рассмотрим ситуацию когда вам нужно работать с функциями которые имеют более одного параметра и большая часть этих параметров известна до выполнения самой функции. Например функция bake из предыдущей части может иметь такие параметры как температура и длительность запекания, которые в свою очередь хорошо известны заранее.

Карринг это наш друг, давайте определим один рецепт для выпекания хлеба.

Вывод в обоих случаях будет следующим:

Монадические цепочки

Вывод будет выглядеть так:

Если один из элементов вашей цепи вернет Right с соответствующим индикатором ошибки, то последующие элементы цепи будут попросту игнорированы и рабочий процесс пропустит их все и будет попросту распространять выброшенное исключение от предыдущего звена к последующему. Вы можете самостоятельно попробовать поиграть со сценариями в которых присутствуют ошибки.

Заключительная часть

Как вы могли заметить, есть некоторая волшебная связь между теорией категорий(истоки монад) и композицией функций. Задача данной статьи сводится к тому что бы показать как управляться на практике с представленными механизмами и как организовать ваш код в более функциональном виде. Вы можете погрузится в более фундаментальные аспекты по представленному материалу самостоятельно. Надеюсь эта статья будет полезной для тех из вас кто ищет как отказаться от императивного программирования и понять манеру функционального мышления, или же кто просто хочет открыть для себя практические аспекты монад и функциональной композиции.

Источник

Композиционные функции: основные понятия, формулы и примеры

Формулы функции композиции

В композиции функция также известна как отдельная функция.

Что такое отдельная функция?

Тогда функция (fog) (x) = f (g (x)) → функция g (x) составляется как функция f (x)

Чтобы понять эту функцию, рассмотрите изображение ниже:

Из приведенной выше схемы формул мы получили следующее определение:

Если f: A → B определяется формулой y = f (x)

Если g: B → C определяется формулой y = g (x)

Тогда мы получаем результат функций g и f:

h (x) = (gof) (x) = g (f (x))

Из приведенного выше определения можно сделать вывод, что функции, включающие функции f и g, можно записать:

Свойства функции композиции

У функции композиции есть несколько свойств, которые описаны ниже.

Если f: A → B, g: B → C, h: C → D, то:

Пример проблем

Проблема 1

Даны две функции, каждая f (x) и g (x), соответственно, а именно:

е (х) = 3х + 2

а) ( ф о г ) (х)

б) ( г о ж ) (х)

Ответ

е (х) = 3х + 2

( ф о г ) (х)

«Подключите g (x) к f (x)»

( ж о г ) (х) = е ( г (х))

( г о ж ) (х)

«Подключите f (x) к g (x)»

( ж о г ) (х) = г ( е (х))

= г (3x + 2)

Проблема 2

Если известно, что f (x) = 3x + 4 и g (x) = 3x, каково значение (fog) (2).

Ответ:

Проблема 3

Ответ

( g o f ) (1) =…?

Вставьте f (x) в g (x), затем заполните 1

Проблема 4

Ему даны две функции:

Если (туман) (а) равно 33, найдите значение 5а.

Ответ:

Искать сначала (туман) (x)

(туман) (x) равно 2 × 2 4x + 6-3

(туман) (x) равно 2 × 2 4x + 3

33 то же самое, что 2a2 4a + 3

Также прочтите: Бизнес-формулы: объяснение материала, примеры вопросов и обсуждение

5a = 5 (−5) = −25 или 5a = 5 (3) = 15

Проблема 5

Ответ:

(туман) (x) равно x² + 3x + 4

f (g (x)) равно x² + 3x + 4

f (g (x)) = x² + 3x + 4 и для g (x), равного 3, получаем x равным 2

Пока: f (3) = 2² + 3. 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

Таким образом, объяснение формулы функции композиции является примером проблемы. Может быть полезно.

Источник

Презентация по математике «Композиция функций»

Описание разработки

Цели работы:

— Разобраться, что такое композиция функций, и как применить это новое понятие на практике.

— Потренироваться в решении заданий с функциональными уравнениями и с построениями графиков.

— Закрепить пройденный материал по производным.

— Заинтересовать учащихся, привлечь их внимание к данной теме.

Функция – соответствие между множествами Х и У, при котором каждому элементу первого множества Х соответствует не более одного элемента другого множества У.

Композиция функций – сложная функция – сложенная функция.

Формула для задания сложной функции.

y=f(g(x)) – сложная функция.

g(x) – внутренняя функция.

f(t) – внешняя функция.

f(t) =√t – внешняя функция.

Содержимое разработки

ученики 10 б класса

Руководитель Фомичёва Валентина Николаевна

Функция – соответствие между множествами Х и У, при котором каждому элементу первого множества Х соответствует не более одного элемента другого множества У.