Что такое комплексное сопряжение
Комплексное сопряжение
Содержание
Обозначение [ править ]
Свойства [ править ]
Для любых двух комплексных чисел сопряжение является распределительным по сравнению с сложением, вычитанием, умножением и делением:
z \ in \ mathbb 
Композиция сопряжения с модулем эквивалентна только модулю.
Произведение комплексного числа и его сопряженного числа равно квадрату модуля числа. Это позволяет легко вычислить мультипликативную обратную величину комплексного числа, заданного в прямоугольных координатах.
Сопряжение коммутативно относительно композиции с возведением в степень до целых степеней, с экспоненциальной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов:
Использовать как переменную [ править ]
Кроме того, может использоваться для указания линий на плоскости: набор z ¯ <\displaystyle <\overline
z − z 0 z ¯ − z 0 ¯ = u 2 <\displaystyle <\frac
Такое использование конъюгата z в качестве переменной проиллюстрировано в книге Фрэнка Морли « Инверсивная геометрия» (1933), написанной вместе с его сыном Фрэнком Вигором Морли.
Обобщения [ править ]
Другие плоские вещественные алгебры, двойственные числа и расщепленные комплексные числа также анализируются с помощью комплексного сопряжения.
Все эти обобщения мультипликативны, только если факторы поменять местами:
Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования сложных матриц, определенная выше. Однако в общих комплексных векторных пространствах нет канонического понятия комплексного сопряжения.
Комплексное сопряжение
Содержание
Обозначение [ править ]
Свойства [ править ]
Для любых двух комплексных чисел сопряжение является распределительным по сравнению с сложением, вычитанием, умножением и делением:
z \ in \ mathbb
Композиция сопряжения с модулем эквивалентна только модулю.
Произведение комплексного числа и его сопряженного числа равно квадрату модуля числа. Это позволяет легко вычислить мультипликативную обратную величину комплексного числа, заданного в прямоугольных координатах.
Сопряжение коммутативно относительно композиции с возведением в степень до целых степеней, с экспоненциальной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов:
Использовать как переменную [ править ]
Кроме того, может использоваться для указания линий на плоскости: набор z ¯ <\displaystyle <\overline
z − z 0 z ¯ − z 0 ¯ = u 2 <\displaystyle <\frac
Такое использование конъюгата z в качестве переменной проиллюстрировано в книге Фрэнка Морли « Инверсивная геометрия» (1933), написанной вместе с его сыном Фрэнком Вигором Морли.
Обобщения [ править ]
Другие плоские вещественные алгебры, двойственные числа и расщепленные комплексные числа также анализируются с помощью комплексного сопряжения.
Все эти обобщения мультипликативны, только если факторы поменять местами:
Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования сложных матриц, определенная выше. Однако в общих комплексных векторных пространствах нет канонического понятия комплексного сопряжения.
Комплексные числа
 Алгебраическая форма записи комплексных чисел |
| Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
| Комплексно сопряженные числа |
| Модуль комплексного числа |
| Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
| Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости |
| Аргумент комплексного числа |
| Тригонометрическая форма записи комплексного числа |
| Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа |
| Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме |
| Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа |
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Комплексно сопряженные числа
|  |
|  |
|  |
|  |
|  |
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
|  |
|  |
|  |
|  |
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Тогда оказывается справедливым равенство:
 | (3) |
 | (4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
| Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
| Положительная вещественная полуось |  |  |  | |
| Положительная мнимая полуось |  |  |  | |
| Второй квадрант |  |  |  | |
| Отрицательная вещественная полуось | Положительная вещественная полуось | |||
| Знаки x и y | ||||
| Главное значение аргумента | 0 | |||
| Аргумент | φ = 2kπ | |||
| Примеры |  |
значение
аргумента
значение
аргумента
значение
аргумента
x z
квадрант
x z
мнимая
полуось
y z
квадрант
Положительная вещественная полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Положительная мнимая полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Отрицательная вещественная полуось
Отрицательная мнимая полуось
x z = x + i y может быть записано в виде
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел 
и 
записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть 
— произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
следствием которых являются равенства
 | (9) |
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
 | (10) |
то по формуле (10) получаем:
Комплексно-сопряжённое пространство
Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе — термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств.
Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно-сопряжённое пространство, т.е. пространство линейных функционалов.
Содержание
Линейно-сопряжённое пространство — определение
Для линейных функционалов на линейном пространстве E можно определить операции сложения и умножения на число:
Свойства
Обозначения
Обычно элементы пространства E обозначают вектором-строкой, а элементы E * — вектором-столбцом. В тензорном исчислении применяется обозначение x k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и xk для элементов E * (нижний, или ковариантный индекс).
Трудности в бесконечномерном случае
Попытка прямо применить вышеприведённое определение в случае бесконечномерных линейных пространств приводит к неконструктивным и малополезным алгебраически сопряжённым пространствам. Для важного случая топологических линейных пространств рассматриваются топологически сопряжённые пространства, состоящие только из непрерывных функционалов. Однако, для топологического линейного сопряжения пространство, сопряжённое к сопряжённому, вообще говоря, с исходным не совпадает. Пространства, для которых E * * = E называются рефлексивными — только для них, строго говоря, можно употреблять термин двойственное пространство.
Комплексно-сопряжённое пространство
Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство 
, совпадающее с E как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа (см. en:Complex conjugate vector space):
При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно- и комплексно-сопряжённые пространства совпадают.
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Комплексно-сопряжённое пространство» в других словарях:
Сопряжённое пространство — или двойственное пространство пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве. Содержание 1 Линейно сопряжённое пространство определение 2 Свойства … Википедия
Двойственное пространство — Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств. Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно сопряжённое пространство, т … Википедия
Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия
Скалярное произведение — (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product ) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия
Внутреннее произведение — определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства[1], делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия
Спинор — (англ. spin вращаться) специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства. Смысл спинорного описания пространства V построение вспомогательного комплексного… … Википедия
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия
Кватернион — Кватернионы (от лат. quaterni, по четыре) система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернионы минимальное расширение комплексных чисел, образующее тело,… … Википедия
Операция сопряжения и ее свойства. Модуль комплексного числа.
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Операция сопряжения и ее свойства. Модуль комплексного числа.
Комплексное число называется сопряженным комплексному числу 
,
e сли 
.
Пример. 
Свойства операции сопряжения.
1. 
.
2. Для любого действительного числа а справедливо равенство 
.
3. Для любого действительного числа b справедливо равенство 
.
Справедливость свойств 1-3 следует непосредственно из определения операции сопряжения.
4. 
.
5. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами. Действительно,
Модулем комплексного числа z = а + bi называется действительное число вида 
.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДВ-211157
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В Оренбурге школьников переведут на дистанционное обучение с 9 декабря
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
Утверждено стратегическое направление цифровой трансформации образования
Время чтения: 2 минуты
Для школьников к 1 сентября разработают короткие экскурсионные маршруты
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.