Что такое комплексная плоскость
Комплексная плоскость
Комплексная плоскость — это плоскость с прямоугольной декартовой системой координат xOy.
Комплексные числа на этой плоскости изображаются в виде точек либо в виде векторов.
I. Геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде точек на комплексной плоскости
Каждому комплексному числу z=a+bi на комплексной плоскости соответствует точка z(a;b).
И наоборот, каждую точку z(a;b) плоскости можно считать изображением комплексного числа z=a+bi.
Таким образом, геометрическое изображение комплексных чисел в виде точек координатной плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости.
Действительные числа z=a+0i на комплексной плоскости изображаются точками с координатами (a;0) (лежащими на оси Ox), чисто мнимые числа z=0+bi — точками с координатами (0;b) (на оси Oy).
Поэтому ось абсцисс Ox называют действительной осью, а ось ординат Oy — мнимой осью.
Комплексно-сопряженные числа на плоскости изображаются точками, симметричными относительно оси Ox; противоположные комплексные числа — точками, симметричными относительно точки O (начала координат).
Комплексную плоскость называют также плоскостью Гаусса.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде радиус-векторов
Комплексные числа изображаются также векторами с началом в точке O и концом в точке z(a:b) (радиус-векторами).
Соответствие между комплексными числами и радиус-векторами также является взаимно однозначным.
Геометрически сумма комплексных чисел в виде радиус-векторов строятся по правилу параллелограмма сложения векторов.
Геометрически комплексные числа также можно вычитать, как векторы.
На комплексной плоскости удобно изображать различные множества комплексных чисел, удовлетворяющие заданным условиям.
Комплексная плоскость и элементарные частицы
Числа не управляют Миром, но показывают как управляется Мир. (И. Гете)
У классической математики таких моделей немало. Но далеко не все они приобрели физическую интерпретацию, физическое наполнение, физический смысл. Одной из таких математических моделей является круг.
На этой простейшей геометрической модели, хотя и в первом приближении, можно вычислить, скорости света и вакуума, величины элементарных зарядов и масс, постоянную тонкой структуры, постоянную Планка и, наверное, что-нибудь еще.
Другой такой классической моделью является, так называемая, “комплексная плоскость”. И хотя, “комплексная плоскость” считается некоторой сугубо абстрактной моделью математики, она, тем не менее, может получить одну из конкретных физических интерпретаций.
Простейшие же физические объекты, возникшие на начальном этапе зарождения нашего Мира, по всей видимости, должны описываться простейшими математическими моделями. И если математики нашли некоторую простейшую классическую модель, значит существует некоторый природный, физический аналог, соответствующий этой элементарной математической модели.
Точно также и большой Мир(комплексный) начинается с “мнимой единицы”. “Арифметика” мнимых чисел отлична от арифметики чисел вещественных. У чисел вещественных все “процедуры”, операции происходят на прямой линии, на вещественной оси. У мнимых чисел все операции выполняются на круге. Это более глубокое проникновение в реальные процессы. Здесь уже проявляются потенциалы, энергии, массы и прочее.
Получается, что из “мнимости” можно получить некоторое “первовещество”(в форме вещественной единицы), если эту “мнимость” повернуть на 270 градусов( 3/4 оборота) против часовой стрелки. А если “мнимость” повернуть только на 1/4 оборота, т. е. существенно не докрутить до “вещества”, получим “отрицательное первовещество”(в форме отрицательной единицы), как бы его отсутствие.
Аналогичный поворот ( выполненному здесь на простейшей модели), возможно, произошел где-то в глубинах мнимого состояния Материи, и возникли первоначала вещества, так называемые “элементарные частицы”, частицы “первовещества”.
Итак, при повороте(закручивании) “мнимости” образуются “поля” и “частицы”. Но частиц возникает в реальности несколько больше, чем было описано, которые возникли на граничной окружности круга. А в круге (при вращении) возникают еще некоторые “характеристические окружности”, соответствующие “гармонической пропорции.
Для единичного радиуса “гармоническая пропорция” будет:
R = 1 = 0.618 + 0.382
И на “характеристических” окружностях с радиусами 0.618 и 0.382 также будут возникать элементарные порции “первовещества”. На каждой окружности получится по три частицы. Всего на круге при повороте “мнимости” на 270 градусов получится 9-ть элементарных частиц.
Частицы, возникшие на круге будут отличаться углом поворота(энергией) и радиусом(скоростью). Их можно классифицировать следующим образом:
на радиусе R=1,
электрон, электрон фотонный, электрон протонный;
на радиусе R=0.618,
фотон электронный, фотон, фотон протонный;
на радиусе R=0.382,
протон электронный, протон фотонный, протон.
Радиус возникновения и, следовательно скорость, определяют тип частицы: электрон, фотон, протон. А угол поворота определяет величину энергии. Электрон, электронный фотон и электронный протон обладают минимальной энергией в своем ряду. Они и являются квантами для этих величин.
Аналогичные выводы можно получить, использовав аналитическое представление “мнимой единицы” через экспоненту:
i = exp(i* pi/2),
-1 = exp(i* pi),
-i = exp(i* pi*3/2),
1 = exp(i* pi*2)
Для получения числовых значений рассмотренных величин в соответствующих единицах измерения необходимо перейти к вещественному кругу, что было представлено в других работах, или к вещественным экспонентам. Единицы измерения всех рассмотренных величин получаются, как некоторые “массы”:
секунда в квадрате/(радиан*ед. длины),
или градус/(радиан*ед. длины)^2
На комплексной плоскости, круге с перпендикулярными диаметрами: вещественным и «мнимым», многое можно заметить еще. Например, в какие стороны вращаются положительные и отрицательные «частицы». Частица «посредине» вращаться не должна? Конструкция типа: «А», «и», «Б», напоминают молекулу ДНК. На этой плоскости можно выделить Время, как Прошлое, Настоящее и Будущее, и, наверное, что-нибудь и другое.
Комплексная плоскость
Содержание
Условные обозначения [ править ]
z = x + i y = | z | ( cos θ + i sin θ ) = | z | e i θ <\displaystyle z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^
Диаграмма Аргана [ править ]
Диаграмма Аргана относится к геометрическому графику комплексных чисел в виде точек z = x + iy с использованием оси x в качестве действительной оси и оси Y в качестве мнимой оси. [3] Такие участки названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые они были описаны норвежско-датским землеустроителем и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). [примечание 4] Диаграммы Аргана часто используются для построения положений нулей и полюсов функции на комплексной плоскости.
Стереографические проекции [ править ]
Может быть полезно думать о комплексной плоскости, как если бы она занимала поверхность сферы. Для сферы единичного радиуса поместите ее центр в начало комплексной плоскости, сориентировав ее так, чтобы экватор на сфере совпадал с единичным кругом на плоскости, а северный полюс находился «над» плоскостью.
Это не единственная возможная, но правдоподобная стереографическая ситуация проекции сферы на плоскость, состоящую из двух или более значений. Например, северный полюс сферы может быть помещен поверх начала координат z = −1 в плоскости, касательной к окружности. Детали особого значения не имеют. Любая стереографическая проекция сферы на плоскость создаст одну «точку в бесконечности», и она отобразит линии широты и долготы на сфере в круги и прямые линии, соответственно, на плоскости.
Разрезание самолета [ править ]
При обсуждении функций комплексной переменной часто бывает удобно думать о разрезе в комплексной плоскости. Эта идея естественно возникает в нескольких различных контекстах.
Многозначные отношения и точки ветвления [ править ]
Рассмотрим простое двузначное отношение
y = g ( x ) = x = x 1 / 2 <\displaystyle y=g(x)=<\sqrt
Очевидно, что когда z движется полностью по кругу, w очерчивает только половину круга. Таким образом, одно непрерывное движение в комплексной плоскости преобразовало положительный квадратный корень e 0 = 1 в отрицательный квадратный корень e iπ = −1.
Отрезок ветви в этом примере не обязательно должен лежать вдоль действительной оси. Это даже не обязательно должна быть прямая линия. Подойдет любая непрерывная кривая, соединяющая начало координат z = 0 с бесконечно удаленной точкой. В некоторых случаях отрезок ветви даже не должен проходить через бесконечно удаленную точку. Например, рассмотрим отношения
Ограничение области мероморфных функций [ править ]
Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ [ ( 1 + z n ) − 1 e z / n ] <\displaystyle \Gamma (z)=<\frac
Рассмотрим функцию, определяемую бесконечным рядом
Склеивание отрезанных плоскостей обратно вместе [ править ]
Мы уже видели, как отношения
w = f ( z ) = ± z = z 1 / 2 <\displaystyle w=f(z)=\pm <\sqrt
может быть преобразована в однозначную функцию, разделив область определения f на два несвязанных листа. Также возможно «склеить» эти два листа вместе, чтобы сформировать единую риманову поверхность, на которой f ( z ) = z 1/2 может быть определена как голоморфная функция, образ которой представляет собой всю w- плоскость (за исключением точки w = 0 ). Вот как это работает.
Формальная дифференциация показывает, что
f ( z ) = z 1 / 2 ⇒ f ′ ( z ) = 1 2 z − 1 / 2 <\displaystyle f(z)=z^<1>\quad \Rightarrow \quad f^<\prime >(z)=<\textstyle <\frac <1><2>>>z^<-1/2>>
из чего мы можем заключить, что производная f существует и конечна всюду на римановой поверхности, за исключением случая, когда z = 0 (то есть f голоморфна, кроме случая z = 0 ).
Каким образом риманова поверхность функции
Использование комплексной плоскости в теории управления [ править ]
Квадратичные пространства [ править ]
Другие значения «комплексной плоскости» [ править ]
В предыдущих разделах этой статьи комплексная плоскость рассматривается с точки зрения геометрического представления комплексных чисел. Хотя такое использование термина «комплексная плоскость» имеет долгую и богатую математически историю, это ни в коем случае не единственное математическое понятие, которое можно охарактеризовать как «комплексная плоскость». Есть как минимум три дополнительных возможности.
Терминология [ править ]
Расширенная комплексная плоскость
Содержание
Координаты
Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:
Переход от одних координат к другим задаётся формулами:
задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.
Преобразования Мёбиуса
Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть a,b,c,d — матрица из 
. Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:
Приложения
Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.
В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.
Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту θ отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. 0 (см. рис.)
В таком случае верны соотношения:
Внутренность сферы
Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, т.е. фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3 а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.
Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.
Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.
Полезное
Смотреть что такое «Расширенная комплексная плоскость» в других словарях:
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ — а н а л и т и ч е с к ой ф у н к ц и и w=f(z) к о м п л е к с н о г о п е р ем е н н о г о z поверхность R такая, что данная полная аналитическая функция w=f(z), вообще говоря многозначная, может рассматриваться как однозначная аналитич. ция… … Математическая энциклопедия
РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КЛАССИФИКАЦИЯ — изучение римановых поверхностей (р. п.), связанное с рассмотрением поведения функций различных классов на этих поверхностях. Комплексная функция на р. п. Rназ. а н а л и т и ч е с к о й на R, если для любой точки существуют окрестность Uи… … Математическая энциклопедия
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом; из нек рой точки Sна сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы S0 (на рис. эта плоскость экваториальная,… … Математическая энциклопедия
РИМАНА СФЕРА — сфера в евклидовом пространстве (x, h, t), на к рую расширенная комплексная плоскость отображается взаимно однозначно и конформно при помощи стереографической проекции. Напр., в качестве Р. с. можно взять единичную сферу а плоскость совместить с… … Математическая энциклопедия
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, локально устроеннаякак область комплексной плоскости (комплексное аналитич. многообразие). Если X нек рая поверхность(многообразие), представимая в виде объединения открытых подмножеств
система — 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
относительная — 3.1.24 относительная vmin или Y (relative vmin or Y): Отношение максимальной нагрузки Emax к минимальному поверочному интервалу весоизмерительного датчика vmin. Это отношение характеризует разрешающую способность весоизмерительного датчика, не… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
В математика, то комплексная плоскость или же z-самолет является геометрическим представлением сложные числа установленный реальная ось и перпендикуляр мнимая ось. Его можно рассматривать как модифицированный Декартова плоскость, с реальная часть комплексного числа, представленного смещением по оси x, и мнимая часть перемещением по оси ординат. [примечание 1]
Комплексную плоскость иногда называют Самолет Арганд или же Самолет Гаусса.
Содержание
Условные обозначения
В комплексный анализ, комплексные числа обычно обозначаются символом z, который можно разделить на его реальные (Икс) и мнимой (у) части:
Например: z = 4 + 5я, куда Икс и у настоящие числа, и я это мнимая единица. В этой привычной записи комплексное число z соответствует точке (Икс, у) в Декартова плоскость.
На декартовой плоскости точка (Икс, у) также могут быть представлены в полярные координаты в качестве
z = Икс + я у = | z | ( потому что θ + я грех θ ) = | z | е я θ < displaystyle z = x + iy = | z | left ( cos theta + i sin theta right) = | z | e ^ >
и часто думаю о функции ж как преобразование из z-плоскость (с координатами (Икс, у)) в ш-плоскость (с координатами (ты, v)).
Диаграмма Аргана
Диаграмма Аргана относится к геометрическому участок комплексных чисел как точки z = x + iy, используя ось x как действительную ось и ось y как мнимую ось. [3] Такие участки названы в честь Жан-Робер Арган (1768–1822), хотя впервые они были описаны норвежско-датским землемером и математиком. Каспар Вессель (1745–1818). [примечание 4] Диаграммы Аргана часто используются для определения положения нули и полюсы функции на комплексной плоскости.
Стереографические проекции
Может быть полезно думать о комплексной плоскости, как если бы она занимала поверхность сферы. Учитывая сфера единичного радиуса, поместите его центр в начало комплексной плоскости, ориентируя так, чтобы экватор на сфере совпадал с единичным кругом в плоскости, а северный полюс находился «над» плоскостью.
Это не единственная возможная, но правдоподобная стереографическая ситуация проекции сферы на плоскость, состоящую из двух или более значений. Например, северный полюс сферы может быть помещен поверх начала координат. z = −1 в плоскости, касательной к окружности. Детали особого значения не имеют. Любая стереографическая проекция сферы на плоскость создаст одну «точку в бесконечности», и она отобразит линии широты и долготы на сфере в окружности и прямые линии, соответственно, на плоскости.
Режем самолет
При обсуждении функций комплексной переменной часто удобно думать о резать в комплексной плоскости. Эта идея естественно возникает в нескольких различных контекстах.
Многозначные отношения и точки ветвления
Рассмотрим простое двузначное отношение
Прежде чем мы сможем рассматривать эти отношения как однозначные функция, диапазон результирующего значения нужно как-то ограничить. Когда имеешь дело с квадратными корнями из неотрицательных действительных чисел, это легко сделать. Например, мы можем просто определить
у = грамм ( Икс ) = Икс = Икс 1 / 2 < Displaystyle у = г (х) = < sqrt
быть неотрицательным действительным числом у такой, что у 2 = Икс. Эта идея не так хорошо работает в двумерной комплексной плоскости. Чтобы понять почему, давайте подумаем о том, как ценность ж(z) меняется в зависимости от точки z перемещается по единичному кругу. Мы можем написать
Очевидно, как z движется по кругу, ш очерчивает только половину круга. Таким образом, одно непрерывное движение в комплексной плоскости преобразовало положительный квадратный корень е 0 = 1 в отрицательный квадратный корень е я = −1.
Отрезок ветви в этом примере не обязательно должен лежать вдоль действительной оси. Это даже не обязательно должна быть прямая линия. Любая непрерывная кривая, соединяющая начало координат z = 0 с точкой на бесконечности будет работать. В некоторых случаях отрезок ветви даже не должен проходить через бесконечно удаленную точку. Например, рассмотрим отношения
Эту ситуацию легче всего визуализировать с помощью стереографическая проекция, описанная выше. На сфере один из этих разрезов проходит в продольном направлении через южное полушарие, соединяя точку на экваторе (z = −1) с другой точкой на экваторе (z = 1), и проходя через южный полюс (начало координат, z = 0) в пути. Второй вариант разреза проходит в продольном направлении через северное полушарие и соединяет те же две экваториальные точки, проходя через северный полюс (то есть точку на бесконечности).
Ограничение области определения мероморфных функций
А мероморфная функция сложная функция, которая голоморфный и поэтому аналитический везде в своей области, кроме конечного, или счетно бесконечный, количество баллов. [примечание 5] Точки, в которых такая функция не может быть определена, называются полюса мероморфной функции. Иногда все эти полюса лежат на одной прямой. В этом случае математики могут сказать, что функция «голоморфна на плоскости сечения». Вот простой пример.
Γ ( z ) = е − γ z z ∏ п = 1 ∞ [ ( 1 + z п ) − 1 е z / п ] < Displaystyle Gamma (z) = < frac
Многие сложные функции определяются бесконечная серия, или непрерывные дроби. Фундаментальным соображением при анализе этих бесконечно длинных выражений является определение части комплексной плоскости, в которой они сходятся к конечному значению. Как показывают следующие примеры, разрез в плоскости может облегчить этот процесс.
Рассмотрим функцию, определяемую бесконечным рядом
С z 2 = (−z) 2 для каждого комплексного числа z, ясно что ж(z) является даже функция из z, поэтому анализ можно ограничить половиной комплексной плоскости. А поскольку серия не определена, когда
имеет смысл разрезать плоскость по всей мнимой оси и установить сходимость этого ряда там, где действительная часть z не равняется нулю, прежде чем приступить к более трудной задаче исследования ж(z) когда z это чисто мнимое число. [примечание 7]
Это можно показать который ж(z) сходится к конечному значению тогда и только тогда, когда z не является отрицательным действительным числом такое, что z [8]
Склеивание отрезанной плоскости обратно вместе
У нас есть уже видел как отношения
ш = ж ( z ) = ± z = z 1 / 2 < displaystyle w = f (z) = pm < sqrt
можно преобразовать в однозначную функцию, разделив область определения ж на два несвязанных листа. Также можно «склеить» эти два листа вместе, чтобы сформировать единый Риманова поверхность на котором ж(z) = z 1/2 можно определить как голоморфную функцию, образ которой есть весь ш-плоскость (кроме точки ш = 0 ). Вот как это работает.
Формальная дифференциация показывает, что
откуда можно заключить, что производная от ж существует и конечна всюду на римановой поверхности, кроме тех случаев, когда z = 0 (то есть, ж голоморфно, кроме случаев, когда z = 0 ).
Каким образом риманова поверхность функции
Использование комплексной плоскости в теории управления
Еще одно связанное использование комплексной плоскости с Критерий устойчивости Найквиста. Это геометрический принцип, который позволяет определить стабильность замкнутой системы обратной связи путем проверки Сюжет Найквиста амплитуды разомкнутого контура и фазовой характеристики как функции частоты (или контура функция передачи) в комплексной плоскости.
Квадратичные пространства
Другие значения слова «комплексная плоскость»
В предыдущих разделах этой статьи комплексная плоскость рассматривается с точки зрения геометрического представления комплексных чисел.Хотя такое использование термина «комплексная плоскость» имеет долгую и богатую математически историю, это ни в коем случае не единственное математическое понятие, которое можно охарактеризовать как «комплексная плоскость». Есть как минимум три дополнительных возможности.
Терминология
Хотя терминология «сложная плоскость» является исторически принятой, объект можно было бы более уместно назвать «сложная линия», поскольку он является одномерным. комплексное векторное пространство.